Panal de 16 celdas

Panal de 16 celdas
Proyección en perspectiva : la primera capa de facetas adyacentes de 16 celdas.
Escribe	Regular 4 panal Uniforme 4 panal
Familia	Nido de abeja hipercubo alterno
Símbolo de Schläfli	{3,3,4,3}
Diagramas de Coxeter	= =
Tipo de 4 caras	{3,3,4}
Tipo de célula	{3,3}
Tipo de cara	{3}
Figura de borde	cubo
Figura de vértice	24 celdas
Grupo Coxeter	$$ F ~ 4 {\ Displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}} = [3,3,4,3]
Doble	{3,4,3,3}
Propiedades	vértice-transitivo, borde-transitivo, cara-transitiva, celda-transitiva, 4-cara-transitiva

En la geometría euclidiana de cuatro dimensiones, el panal de 16 celdas es una de las tres teselaciones regulares que llenan el espacio (o panales ), representadas por el símbolo de Schläfli {3,3,4,3}, y construido por un empaquetamiento de 4 dimensiones de Facetas de 16 celdas, tres alrededor de cada rostro.

Su doble es el panal de 24 celdas. Su figura de vértice es de 24 celdas. La disposición de los vértices se llama celosía B 4, D 4 o F 4.

• 1 Nombres alternativos
• 2 Coordenadas
• 3 D 4 celosía
• 4 construcciones de simetría
• 5 panales relacionados
• 6 Véase también
• 7 notas
• 8 referencias

Nombres Alternativos

• Tetrapanal / panal hexadecachórico
• Demitasseractic tetracomb / nido de abeja

Coordenadas

Los vértices se pueden colocar en todas las coordenadas enteras (i, j, k, l), de modo que la suma de las coordenadas sea par.

D 4 celosía

La disposición del vértice del panal de 16 celdas se llama celosía D 4 o celosía F 4. Los vértices de esta red son los centros de las 3 esferas en el empaquetamiento más denso conocido de esferas iguales en 4 espacios; su número de besos es 24, que también es el mismo que el número de besos en R ⁴, como lo demostró Oleg Musin en 2003.

El relacionado D⁺ _{4 celosía (también llamada D² 4) se puede construir mediante la unión de dos celosías D 4, y es idéntica a la celosía C 4:}

∪ = =

El número de besos para D⁺ _{4es 2 ³ = 8, (2 ^{n - 1} para n lt;8, 240 para n = 8 y 2 n ( n - 1) para n gt; 8).}

El relacionado D^* _{4 celosía (también llamada D⁴ 4 y C² 4) se puede construir mediante la unión de las cuatro celosías D 4, pero es idéntica a la celosía D 4: también es el cuerpo tetradimensional centrado cúbico, la unión de dos panales de 4 cubos en posiciones duales.}

∪ ∪ ∪ = = ∪ .

El número de besos de la D^* _{4celosía (y celosía D 4) es 24 y su teselación Voronoi es un panal de 24 celdas,, que contiene todas las células Voronoi rectificadas de 16 celdas ( 24 celdas ), o .}

Construcciones de simetría

Hay tres construcciones de simetría diferentes de esta teselación. Cada simetría se puede representar mediante diferentes disposiciones de facetas de 16 celdas coloreadas.

Grupo Coxeter	Símbolo de Schläfli	Diagrama de Coxeter	Simetría de la figura del vértice	Facetas / verf
$$ F ~ 4 {\ Displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}= [3,3,4,3]	{3,3,4,3}		[3,4,3], orden 1152	24: 16 celdas
$$ B ~ 4 {\ Displaystyle {\ tilde {B}} _ {4}}= [3 1,1, 3,4]	= h {4,3,3,4}	=	[3,3,4], orden 384	16 + 8: 16 celdas
$$ D ~ 4 {\ Displaystyle {\ tilde {D}} _ {4}}= [3 1,1,1,1 ]	{3,3 1,1,1 } = h {4,3,3 1,1 }	=	[3 1,1,1 ], orden 192	8 + 8 + 8: 16 celdas
2 × ½ = [[(4,3,3,4,2 +)]]$$ C ~ 4 {\ Displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{4}}	ht 0,4 {4,3,3,4}			8 + 4 + 4: 4-demicube 8: 16-célula

Panales relacionados

Está relacionado con el panal hiperbólico de 5 espacios y 5 ortoplex regular, {3,3,3,4,3}, con facetas de 5 ortoplex, el 4-polytope regular de 24 celdas, {3,4,3} con celda octaédrica (3-ortoplex) y cubo {4,3}, con caras cuadradas (2-ortoplex).

Tiene un análogo bidimensional, {3,6}, y como una forma alterna (el panal demitasseractic, h {4,3,3,4}) se relaciona con el panal cúbico alternado.

Este panal es uno de los 20 panales uniformes construidos por el grupo Coxeter, todos menos 3 repetidos en otras familias por simetría extendida, que se ve en la simetría gráfica de anillos en los diagramas de Coxeter-Dynkin. Las 20 permutaciones se enumeran con su relación de simetría extendida más alta: $$

Panales D5
Simetría extendida	Diagrama extendido	Grupo extendido	Panales
[3 1,1, 3,3 1,1 ]		$$ D ~ 5 {\ Displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}
lt;[3 1,1, 3,3 1,1 ]gt; ↔ [3 1,1, 3,3,4]	↔	$$ D ~ 5 {\ Displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}× 2 1 =$$ B ~ 5 {\ Displaystyle {\ tilde {B}} _ {5}}	, , , , , ,
[[3 1,1, 3,3 1,1 ]]		$$ D ~ 5 {\ Displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}× 2 2	,
lt;2 [3 1,1, 3,3 1,1 ]gt; ↔ [4,3,3,3,4]	↔	$$ D ~ 5 {\ Displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}× 4 1 =$$ C ~ 5 {\ Displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{5}}	, , , , ,
[lt;2 [3 1,1, 3,3 1,1 ]gt;] ↔ [[4,3,3,3,4]]	↔	$$ D ~ 5 {\ Displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}× 8 = × 2 $$ C ~ 5 {\ Displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{5}}	, ,

Ver también

Panales regulares y uniformes en 4 espacios:

• Nido de abeja tesseractic
• Panal de 24 celdas
• Nido de abeja truncado de 24 celdas
• Nido de abeja de 24 celdas Snub
• Panal de 5 celdas
• Nido de abeja truncado de 5 celdas
• Nido de abeja omnitruncado de 5 celdas

Notas

Referencias

• Coxeter, HSM Regular Polytopes, (3.a edición, 1973), edición Dover, ISBN   0-486-61480-8
  • pp. 154-156: truncamiento parcial o alternancia, representada por h prefijo: h {4,4} = {4,4}; h {4,3,4} = {3 ^1,1, 4}, h {4,3,3,4} = {3,3,4,3},...
• Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter, editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN   978-0-471-01003-6 [1]
  • (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
• George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) (Lista completa de 11 teselaciones uniformes convexas, 28 panales uniformes convexos y 143 tetracumbas uniformes convexas)
• Klitzing, Richard. "Teselaciones euclidianas 4D". x3o3o4o3o - hext - O104
• Conway JH, Sloane NJH (1998). Empaquetaduras, celosías y grupos de esferas (3ª ed.). ISBN   0-387-98585-9.

v t mi Panales regulares y uniformes convexos fundamentales en las dimensiones 2-9
Espacio	Familia	$$ A ~ norte - 1 {\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {n-1}}	$$ C ~ norte - 1 {\ Displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{n-1}}	$$ B ~ norte - 1 {\ Displaystyle {\ tilde {B}} _ {n-1}}	$$ D ~ norte - 1 {\ Displaystyle {\ tilde {D}} _ {n-1}}	$$ GRAMO ~ 2 {\ Displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}/ /$$ F ~ 4 {\ Displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$$ mi ~ norte - 1 {\ Displaystyle {\ tilde {E}} _ {n-1}}
E 2	Azulejos uniformes	{3 [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Hexagonal
E 3	Nido de abeja convexo uniforme	{3 [4] }	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	Uniforme de 4 panales	{3 [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	Panal de 24 celdas
E 5	Uniforme de 5 panales	{3 [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	Uniforme de 6 panales	{3 [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Uniforme de 7 panales	{3 [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Uniforme de 8 panal	{3 [9] }	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Uniforme de 9 panales	{3 [10] }	δ 10	hδ 10	qδ 10
E 10	Uniforme de 10 panal	{3 [11] }	δ 11	hδ 11	qδ 11
E n -1	Uniforme ( n -1) - panal	{3 [n] }	δ n	hδ n	qδ n	1 k2 • 2 k1 • k 21