Coordenadas bipolares

Ver también: coordenadas bipolares de dos centros Sistema de coordenadas bipolar

Las coordenadas bipolares son un sistema de coordenadas ortogonales bidimensionales basado en los círculos apolíneos. De manera confusa, el mismo término también se usa a veces para las coordenadas bipolares de dos centros. También existe un tercer sistema, basado en dos polos ( coordenadas biangulares ).

El término "bipolar" se utiliza además en ocasiones para describir otras curvas que tienen dos puntos singulares (focos), como elipses, hipérbolas y óvalos de Cassini. Sin embargo, el término coordenadas bipolares se reserva para las coordenadas descritas aquí y nunca se usa para sistemas asociados con esas otras curvas, como las coordenadas elípticas.

Interpretación geométrica de las coordenadas bipolares. El ángulo σ está formado por los dos focos y el punto P, mientras que τ es el logaritmo de la relación de distancias a los focos. Los círculos correspondientes de constante σ y τ se muestran en rojo y azul, respectivamente, y se encuentran en ángulos rectos (caja magenta); son ortogonales.

• 1 Definición
• 2 Prueba de que el sistema de coordenadas es ortogonal
• 3 Curvas de constante σ y τ
• 4 Relaciones recíprocas
• 5 factores de escala
• 6 aplicaciones
• 7 Ampliación a 3 dimensiones
• 8 referencias

Definición

El sistema se basa en dos focos F 1 y F 2. Con referencia a la figura de la derecha, la coordenada σ de un punto P es igual al ángulo F 1  P  F 2, y la coordenada τ es igual al logaritmo natural de la razón de las distancias d 1 y d 2:

$$τ=en⁡ D 1 D 2. {\ Displaystyle \ tau = \ ln {\ frac {d_ {1}} {d_ {2}}}.}

Si, en el sistema cartesiano, se considera que los focos se encuentran en (- a, 0) y ( a, 0), las coordenadas del punto P son

$$X=a  pecado ⁡ τ aporrear ⁡ τ - porque ⁡ σ,y=a  pecado ⁡ σ aporrear ⁡ τ - porque ⁡ σ. {\ Displaystyle x = a \ {\ frac {\ sinh \ tau} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}}, \ qquad y = a \ {\ frac {\ sin \ sigma} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}}.}

La coordenada τ varía de (para puntos cercanos a F 1) a (para puntos cercanos a F 2). La coordenada σ solo se define módulo 2π, y es mejor tomarla en el rango de -π a π, tomándola como el negativo del ángulo agudo F 1 P F 2 si P está en el semiplano inferior. $$

-∞ {\ Displaystyle - \ infty}$$∞ {\ Displaystyle \ infty}  

Prueba de que el sistema de coordenadas es ortogonal

Las ecuaciones para x y y se pueden combinar para dar

$$X+Iy=aIcuna⁡ ( σ + I τ 2 ). {\ Displaystyle x + iy = ai \ cot \ left ({\ frac {\ sigma + i \ tau} {2}} \ right).}

(Esto se puede probar diferenciando primero xey con respecto a sigma y tau y luego invirtiendo la lógica de la sección siguiente para encontrar los factores de escala). Esta ecuación muestra que σ y τ son las partes real e imaginaria de una función analítica de x + iy (con puntos de ramificación logarítmicos en los focos), lo que a su vez prueba (apelando a la teoría general del mapeo conforme ) (el Cauchy- Ecuaciones de Riemann ) que estas curvas particulares de σ y τ se intersecan en ángulos rectos, es decir, que el sistema de coordenadas es ortogonal. Esto se puede probar diferenciando primero xey con respecto a sigma y tau y luego invirtiendo la lógica de la sección siguiente para encontrar los factores de escala.

Curvas de constante σ y τ

Las curvas de constante σ corresponden a círculos no concéntricos

$$ X 2+ ( y - a cuna ⁡ σ ) 2= a 2 pecado 2 ⁡ σ {\ Displaystyle x ^ {2} + \ left (ya \ cot \ sigma \ right) ^ {2} = {\ frac {a ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ sigma}}}

que se cruzan en los dos focos. Los centros de los círculos constantes σ se encuentran en el eje y. Los círculos de σ positivo están centrados sobre el eje x, mientras que los de σ negativo se encuentran debajo del eje. Como la magnitud | σ | - π / 2 disminuye, el radio de los círculos disminuye y el centro se acerca al origen (0, 0), que se alcanza cuando | σ | = π / 2. (De la geometría elemental, todos los triángulos de un círculo con 2 vértices en los extremos opuestos de un diámetro son triángulos rectángulos).

Las curvas de constante son círculos que no se cruzan de diferentes radios. $$

τ {\ Displaystyle \ tau}

$$ y 2+ ( X - a coth ⁡ τ ) 2= a 2 pecado 2 ⁡ τ {\ Displaystyle y ^ {2} + \ left (xa \ coth \ tau \ right) ^ {2} = {\ frac {a ^ {2}} {\ sinh ^ {2} \ tau}}}

que rodean los focos pero nuevamente no son concéntricos. Los centros de los círculos constantes- τ se encuentran en el eje x. Los círculos de τ positivo se encuentran en el lado derecho del plano ( x  gt; 0), mientras que los círculos de τ negativo se encuentran en el lado izquierdo del plano ( x  lt;0). La  curva τ = 0 corresponde al eje y ( x  = 0). A medida que aumenta la magnitud de τ, el radio de los círculos disminuye y sus centros se acercan a los focos.

Relaciones recíprocas

El paso de las coordenadas cartesianas hacia las coordenadas bipolares se puede realizar mediante las siguientes fórmulas:

$$τ= 1 2en⁡ ( X + a ) 2 + y 2 ( X - a ) 2 + y 2 {\ Displaystyle \ tau = {\ frac {1} {2}} \ ln {\ frac {(x + a) ^ {2} + y ^ {2}} {(xa) ^ {2} + y ^ { 2}}}}

y

$$π-σ=2arctan⁡ 2 a y a 2 - X 2 - y 2 + ( a 2 - X 2 - y 2 ) 2 + 4 a 2 y 2. {\ Displaystyle \ pi - \ sigma = 2 \ arctan {\ frac {2ay} {a ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} + {\ sqrt {(a ^ {2} -x ^) {2} -y ^ {2}) ^ {2} + 4a ^ {2} y ^ {2}}}}}.}

Las coordenadas también tienen las identidades:

$$tanh⁡τ= 2 a X X 2 + y 2 + a 2 {\ Displaystyle \ tanh \ tau = {\ frac {2ax} {x ^ {2} + y ^ {2} + a ^ {2}}}}

y

$$broncearse⁡σ= 2 a y X 2 + y 2 - a 2. {\ Displaystyle \ tan \ sigma = {\ frac {2ay} {x ^ {2} + y ^ {2} -a ^ {2}}}.}

que es el límite que uno obtendría ax = 0 de la definición en la sección anterior. Y todos los límites parecen bastante normales en x = 0.

Factores de escala

Para obtener los factores de escala para las coordenadas bipolares, tomamos el diferencial de la ecuación para, que da $$

X+Iy {\ Displaystyle x + iy}

$$DX+IDy= - I a pecado 2 ⁡ ( 1 2 ( σ + I τ ) ) ( D σ + I D τ ) . {\ Displaystyle dx + i \, dy = {\ frac {-ia} {\ sin ^ {2} {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}} (\ sigma + i \ tau) {\ bigr)}}} (d \ sigma + i \, d \ tau).}

Multiplicando esta ecuación con su complejo conjugado se obtiene

$$(DX ) 2+(Dy ) 2= a 2 [ 2 pecado ⁡ 1 2 ( σ + I τ ) pecado ⁡ 1 2 ( σ - I τ ) ] 2 ( ( D σ ) 2 + ( D τ ) 2 ) . {\ Displaystyle (dx) ^ {2} + (dy) ^ {2} = {\ frac {a ^ {2}} {{\ bigl [} 2 \ sin {\ tfrac {1} {2}} {\ bigl (} \ sigma + i \ tau {\ bigr)} \ sin {\ tfrac {1} {2}} {\ bigl (} \ sigma -i \ tau {\ bigr)} {\ bigr]} ^ {2 }}} {\ bigl (} (d \ sigma) ^ {2} + (d \ tau) ^ {2} {\ bigr)}.}

Empleando las identidades trigonométricas para productos de senos y cosenos, obtenemos

$$2pecado⁡ 1 2 ( σ + I τ ) pecado ⁡ 1 2 ( σ - I τ ) = porque ⁡ σ - aporrear ⁡ τ , {\ Displaystyle 2 \ sin {\ tfrac {1} {2}} {\ bigl (} \ sigma + i \ tau {\ bigr)} \ sin {\ tfrac {1} {2}} {\ bigl (} \ sigma -i \ tau {\ bigr)} = \ cos \ sigma - \ cosh \ tau,}

de lo que se sigue que

$$(DX ) 2+(Dy ) 2= a 2 ( aporrear ⁡ τ - porque ⁡ σ ) 2 ((Dσ ) 2+(Dτ ) 2 ). {\ Displaystyle (dx) ^ {2} + (dy) ^ {2} = {\ frac {a ^ {2}} {(\ cosh \ tau - \ cos \ sigma) ^ {2}}} {\ bigl (} (d \ sigma) ^ {2} + (d \ tau) ^ {2} {\ bigr)}.}

Por tanto, los factores de escala para σ y τ son iguales, y están dados por

$$ h σ= h τ= a aporrear ⁡ τ - porque ⁡ σ. {\ Displaystyle h _ {\ sigma} = h _ {\ tau} = {\ frac {a} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}}.}

Muchos resultados siguen ahora en rápida sucesión a partir de las fórmulas generales para coordenadas ortogonales. Por lo tanto, el elemento de área infinitesimal es igual a

$$DA= a 2 ( aporrear ⁡ τ - porque ⁡ σ ) 2DσDτ, {\ Displaystyle dA = {\ frac {a ^ {2}} {\ left (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma \ right) ^ {2}}} \, d \ sigma \, d \ tau,}

y el laplaciano está dado por

$$ ∇ 2Φ= 1 a 2 ( aporrear ⁡ τ - porque ⁡ σ ) 2 ( ∂ 2 Φ ∂ σ 2 + ∂ 2 Φ ∂ τ 2 ). {\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = {\ frac {1} {a ^ {2}}} \ left (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma \ right) ^ {2} \ left ({\ frac {\ parcial ^ {2} \ Phi} {\ parcial \ sigma ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Phi} {\ parcial \ tau ^ {2}}} \ derecha).}

Las expresiones para, y se pueden obtener sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales. $$

∇F {\ Displaystyle \ nabla f}$$∇⋅ F {\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F}}$$∇× F {\ Displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F}}

Aplicaciones

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas bipolares se encuentran en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales, por ejemplo, la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz, para las cuales las coordenadas bipolares permiten una separación de variables. Un ejemplo es el campo eléctrico que rodea a dos conductores cilíndricos paralelos con diámetros desiguales.

Los trazadores polares utilizan coordenadas bipolares para describir las rutas de dibujo necesarias para dibujar una imagen de destino.

Ampliación a 3 dimensiones

Las coordenadas bipolares forman la base de varios conjuntos de coordenadas ortogonales tridimensionales.

• Las coordenadas cilíndricas bipolares se producen traduciendo las coordenadas bipolares a lo largo del eje z, es decir, el eje fuera del plano.

• Las coordenadas bisféricas se producen girando las coordenadas bipolares alrededor del eje x, es decir, el eje que conecta los focos.

• Las coordenadas toroidales se producen girando las coordenadas bipolares alrededor del eje y, es decir, el eje que separa los focos.

Referencias

• "Coordenadas bipolares", Enciclopedia de Matemáticas, EMS Press, 2001 [1994]
• Korn GA y Korn TM. (1961) Manual de matemáticas para científicos e ingenieros, McGraw-Hill.