en norte ! ≈ norte en norte - norte + en ( norte ( 1 + 4 norte ( 1 + 2 norte ) ) ) 6 + en π 2 ⟹ norte ! ≈ 2 π norte ( norte mi ) norte ( 1 + 1 2 norte + 1 8 norte 2 ) 1 / 6 .
{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ ln n! amp; \ approx n \ ln n-n + {\ frac {\ ln {\ Bigl (} n {\ bigl (} 1 + 4n (1 + 2n) {\ bigr)} {\ Bigr)}} {6}} + {\ frac {\ ln \ pi} {2}} \\ [6px] \ Longrightarrow \; n! amp; \ Approx {\ sqrt {2 \ pi n}} \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n} \ left (1 + {\ frac {1} {2n}} + {\ frac {1} {8n ^ {2}}} \ right) ^ {1/6} \,. \ end {alineado}}} Tanto esto como la aproximación de Stirling dan un error relativo del orden de 1/n 3 , pero el de Ramanujan es aproximadamente cuatro veces más preciso. Sin embargo, si usamos dos términos de corrección en una aproximación de tipo Stirling, como con la aproximación de Ramanujan, el error relativo será de orden1/n 5 :
norte ! ≈ 2 π norte ( norte mi ) norte Exp ( 1 12 norte - 1 360 norte 3 ) .
{\ Displaystyle n! \ approx {\ sqrt {2 \ pi n}} \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n} \ exp \ left ({{\ frac {1} { 12n}} - {\ frac {1} {360n ^ {3}}}} \ right) \,.} Cálculo Si la eficiencia no es una preocupación, calcular factoriales es trivial desde un punto de vista algorítmico: multiplicando sucesivamente una variable inicializada en 1 por los enteros hasta n (si los hay) calculará n !, siempre que el resultado se ajuste a la variable. En los lenguajes funcionales , la definición recursiva a menudo se implementa directamente para ilustrar funciones recursivas.
La principal dificultad práctica para calcular factoriales es el tamaño del resultado. Para asegurar que el resultado exacto se ajuste a todos los valores legales, incluso del tipo integral más pequeño de uso común ( enteros de 8 bits con signo), se requerirían más de 700 bits, por lo que ninguna especificación razonable de una función factorial que utilice tipos de tamaño fijo puede evitar preguntas. de desbordamiento . ¡Los valores 12! y 20! son los factoriales más grandes que se pueden almacenar, respectivamente, en los enteros de 32 y 64 bits que se utilizan comúnmente en las computadoras personales ; sin embargo, muchos lenguajes admiten tipos de enteros de longitud variable capaces de calcular valores muy grandes. La representación en coma flotante de un resultado aproximado permite ir un poco más allá, pero esto también queda bastante limitado por un posible desbordamiento. La mayoría de las calculadoras usan notación científica con exponentes decimales de 2 dígitos, y el factorial más grande que se ajusta es ¡69 !, porque ¡ 69! lt; 10 100 lt;70!. Otras implementaciones (como software de computadora, como programas de hoja de cálculo) a menudo pueden manejar valores más grandes.
La mayoría de las aplicaciones de software calcularán factoriales pequeños mediante multiplicación directa o búsqueda en tablas. Los valores factoriales más grandes se pueden aproximar usando la fórmula de Stirling . Wolfram Alpha puede calcular resultados exactos para la función de techo y la función de piso aplicadas al logaritmo binario , natural y común de n ! para valores de n hasta249 999, y hasta20 000 000 ! para los enteros.
Si se necesitan los valores exactos de factoriales grandes, se pueden calcular utilizando aritmética de precisión arbitraria . En vez de hacer las multiplicaciones secuenciales ((1 x 2) x 3) x 4..., un programa puede particionar la secuencia en dos partes, cuyos productos son más o menos del mismo tamaño, y se multiplican utilizando un divide y vencerás método. Suele ser más eficaz.
La mejor eficiencia asintóticamente se obtiene calculando n ! de su factorización prima. Como documenta Peter Borwein , la factorización prima permite n ! se calculará en el tiempo O ( n (log n log log n) 2 ), siempre que se utilice un algoritmo de multiplicación rápida (por ejemplo, el algoritmo de Schönhage-Strassen ). Peter Luschny presenta código fuente y puntos de referencia para varios algoritmos factoriales eficientes, con o sin el uso de un tamiz principal .
Teoría de los números Los factoriales tienen muchas aplicaciones en la teoría de números. En particular, n ! es necesariamente divisible por todos los números primos hasta n inclusive . Como consecuencia, n gt; 5 es un número compuesto si y solo si
( norte - 1 ) ! ≡ 0 ( modificación norte ) .
{\ displaystyle (n-1)! \ equiv 0 {\ pmod {n}}.} Un resultado más fuerte es el teorema de Wilson , que establece que
( pag - 1 ) ! ≡ - 1 ( modificación pag )
{\ Displaystyle (p-1)! \ equiv -1 {\ pmod {p}}} ¡La fórmula de Legendre da la multiplicidad del primo p que ocurre en la factorización prima de n ! como
∑ I = 1 ∞ ⌊ norte pag I ⌋
{\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ left \ lfloor {\ frac {n} {p ^ {i}}} \ right \ rfloor} norte - s pag ( norte ) pag - 1 ,
{\ Displaystyle {\ frac {n-s_ {p} (n)} {p-1}},} Sumando 1 a un factorial n ! produce un número que solo es divisible por números primos mayores que n. Este hecho puede usarse para probar el teorema de Euclides de que el número de primos es infinito. Primas de la forma n ! ± 1 se denominan primos factoriales .
Serie de recíprocos Los recíprocos de factoriales producen una serie convergente cuya suma es la base exponencial e :
∑ norte = 0 ∞ 1 norte ! = 1 1 + 1 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24 + 1 120 + ⋯ = mi .
{\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} = {\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {24}} + {\ frac {1} {120}} + \ cdots = e \,.} número irracional , es posible multiplicar los factoriales por enteros positivos para producir una serie convergente con una suma racional: ∑ norte = 0 ∞ 1 ( norte + 2 ) norte ! = 1 2 + 1 3 + 1 8 + 1 30 + 1 144 + ⋯ = 1 .
{\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(n + 2) n!}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {30}} + {\ frac {1} {144}} + \ cdots = 1 \,.} sumas parciales son. Por tanto, los factoriales no forman una secuencia de irracionalidad . {\ Displaystyle {\ frac {k! -1} {k!}}} Factorial de valores no enteros Las funciones gamma y pi relación de recurrencia generalizada a un dominio continuo. Artículo principal: función Gamma Además de los enteros no negativos, el factorial también se puede definir para valores no enteros, pero esto requiere herramientas más avanzadas del análisis matemático .
Una función que completa los valores del factorial (pero con un desplazamiento de 1 en el argumento), que se usa a menudo, se llama función gamma , denotada Γ ( z). Se define para todos los números complejos z excepto para los enteros no positivos, y se da cuando la parte real de z es positiva por
Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z - 1 mi - t D t .
{\ Displaystyle \ Gamma (z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {z-1} e ^ {- t} \, dt.} Su relación con el factorial es que n ! = Γ ( n + 1) para cada entero no negativo n.
La fórmula original
de Euler para la función gamma era Γ ( z ) = lim norte → ∞ norte z norte ! .
{\ Displaystyle \ Gamma (z) = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {n ^ {z} n!} {\ Displaystyle \ prod _ {k = 0} ^ {n} (z + k)}}.} Carl Friedrich Gauss usó la notación Π ( z) para denotar la misma función, pero con el argumento desplazado por 1, de modo que concuerde con el factorial para enteros no negativos. Esta función pi está definida por
Π ( z ) = ∫ 0 ∞ t z mi - t D t .
{\ Displaystyle \ Pi (z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {z} e ^ {- t} \, dt.} La función pi y la función gamma están relacionadas por la fórmula Π ( z) = Γ ( z + 1). Asimismo, Π ( n) = n ! para cualquier número entero no negativo n.
Además de esto, la función pi satisface la misma recurrencia que los factoriales, pero en cada valor complejo z donde se define
Π ( z ) = z Π ( z - 1 ) .
{\ Displaystyle \ Pi (z) = z \ Pi (z-1) \,.} ecuación funcional . En términos de la función gamma, es Γ ( norte + 1 ) = norte Γ ( norte ) .
{\ Displaystyle \ Gamma (n + 1) = n \ Gamma (n) \,.} medio enteros están determinados por una sola de ellas: Γ ( 1 2 ) = ( - 1 2 ) ! = Π ( - 1 2 ) = π ,
{\ Displaystyle \ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = \ left (- {\ frac {1} {2}} \ right)! = \ Pi \ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) = {\ sqrt {\ pi}} \,,} Γ ( 1 2 + norte ) = ( - 1 2 + norte ) ! = Π ( - 1 2 + norte ) = π ∏ k = 1 norte 2 k - 1 2 = ( 2 norte ) ! 4 norte norte ! π = ( 2 norte - 1 ) ! 2 2 norte - 1 ( norte - 1 ) ! π .
{\ Displaystyle {\ begin {alineado} amp; \ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} + n \ right) = \ left (- {\ frac {1} {2}} + n \ right) ! = \ Pi \ left (- {\ frac {1} {2}} + n \ right) \\ [5pt] = {} amp; {\ sqrt {\ pi}} \ prod _ {k = 1} ^ { n} {\ frac {2k-1} {2}} = {\ frac {(2n)!} {4 ^ {n} n!}} {\ sqrt {\ pi}} = {\ frac {(2n- 1)!} {2 ^ {2n-1} (n-1)!}} {\ Sqrt {\ pi}} \,. \ End {alineado}}} Por ejemplo,
Γ ( 9 2 ) = 7 2 ! = Π ( 7 2 ) = 1 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 2 ⋅ 7 2 π = 8 ! 4 4 4 ! π = 7 ! 2 7 3 ! π = 105 dieciséis π ≈ 11.631 728 ...
{\ Displaystyle \ Gamma \ left ({\ frac {9} {2}} \ right) = {\ frac {7} {2}}! = \ Pi \ left ({\ frac {7} {2}} \ derecha) = {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {3} {2}} \ cdot {\ frac {5} {2}} \ cdot {\ frac {7} {2}} { \ sqrt {\ pi}} = {\ frac {8!} {4 ^ {4} 4!}} {\ sqrt {\ pi}} = {\ frac {7!} {2 ^ {7} 3!} } {\ sqrt {\ pi}} = {\ frac {105} {16}} {\ sqrt {\ pi}} \ approx 11.631 \, 728 \ ldots} También se deduce que para n ∈ N,
Γ ( 1 2 - norte ) = ( - 1 2 - norte ) ! = Π ( - 1 2 - norte ) = π ∏ k = 1 norte 2 1 - 2 k = ( - 4 ) norte norte ! ( 2 norte ) ! π .
{\ Displaystyle \ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} - n \ right) = \ left (- {\ frac {1} {2}} - n \ right)! = \ Pi \ left ( - {\ frac {1} {2}} - n \ right) = {\ sqrt {\ pi}} \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {2} {1-2k}} = {\ frac {\ left (-4 \ right) ^ {n} n!} {(2n)!}} {\ sqrt {\ pi}} \,.} Γ ( - 5 2 ) = ( - 7 2 ) ! = Π ( - 7 2 ) = 2 - 1 ⋅ 2 - 3 ⋅ 2 - 5 π = ( - 4 ) 3 3 ! 6 ! π = - 8 15 π ≈ - 0,945 308 ...
{\ Displaystyle \ Gamma \ left (- {\ frac {5} {2}} \ right) = \ left (- {\ frac {7} {2}} \ right)! = \ Pi \ left (- {\ frac {7} {2}} \ right) = {\ frac {2} {- 1}} \ cdot {\ frac {2} {- 3}} \ cdot {\ frac {2} {- 5}} { \ sqrt {\ pi}} = {\ frac {\ left (-4 \ right) ^ {3} 3!} {6!}} {\ sqrt {\ pi}} = - {\ frac {8} {15 }} {\ sqrt {\ pi}} \ approx -0.945 \, 308 \ ldots} La función pi ciertamente no es la única forma de extender factoriales a una función definida en casi todos los valores complejos, y ni siquiera la única que es analítica dondequiera que se defina. No obstante, generalmente se considera la forma más natural de extender los valores de los factoriales a una función compleja. Por ejemplo, el teorema de Bohr-Mollerup establece que la función gamma es la única función que toma el valor 1 en 1, satisface la ecuación funcional Γ ( n + 1) = n Γ ( n), es meromórfica en los números complejos y es logarítmico-convexo en el eje real positivo. Una afirmación similar también se aplica a la función pi, utilizando la ecuación funcional Π ( n) = n Π ( n - 1).
Sin embargo, existen funciones complejas que probablemente sean más simples en el sentido de la teoría de funciones analíticas y que interpolan los valores factoriales. Por ejemplo, la función 'gamma' de Hadamard (
Hadamard 1894) que, a diferencia de la función gamma, es una función completa . error de harv: sin destino: CITEREFHadamard1894 ( ayuda ) Euler también desarrolló una aproximación de producto convergente para los factoriales no enteros, que puede verse como equivalente a la fórmula para la función gamma anterior:
norte ! = Π ( norte ) = ∏ k = 1 ∞ ( k + 1 k ) norte k norte + k = [ ( 2 1 ) norte 1 norte + 1 ] [ ( 3 2 ) norte 2 norte + 2 ] [ ( 4 3 ) norte 3 norte + 3 ] ⋯
{\ Displaystyle {\ begin {alineado} n! = \ Pi (n) amp; = \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {k + 1} {k}} \ right) ^ {n} \! \! {\ frac {k} {n + k}} \\ amp; = \ left [\ left ({\ frac {2} {1}} \ right) ^ {n} {\ frac {1} {n + 1}} \ right] \ left [\ left ({\ frac {3} {2}} \ right) ^ {n} {\ frac {2} {n + 2}} \ right] \ left [\ left ({\ frac {4} {3}} \ right) ^ {n} {\ frac {3} {n + 3}} \ right] \ cdots \ end {alineado}}} Sin embargo, esta fórmula no proporciona un medio práctico para calcular la función pi o la función gamma, ya que su tasa de convergencia es lenta.
Aplicaciones de la función gamma El volumen de una
hiperesfera n- dimensional de radio R es V norte = π norte / 2 Γ ( norte 2 + 1 ) R norte .
{\ Displaystyle V_ {n} = {\ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} + 1 \ right)}} R ^ {n} \,.} Factorial en el plano complejo La representación a través de la función gamma permite la evaluación de factorial de argumento complejo. Los equilinos de amplitud y fase del factorial se muestran en la figura. Dejar
F = ρ mi I φ = ( X + I y ) ! = Γ ( X + I y + 1 ) .
{\ Displaystyle f = \ rho e ^ {i \ varphi} = (x + iy)! = \ Gamma (x + iy + 1) \,.} Las líneas finas muestran niveles intermedios de módulo constante y fase constante. En los polos de cada entero negativo, la fase y la amplitud no están definidas. Los equilinos son densos en las proximidades de las singularidades a lo largo de los valores enteros negativos del argumento.
Para | z | lt;1, las expansiones de Taylor se pueden utilizar:
z ! = ∑ norte = 0 ∞ gramo norte z norte .
{\ Displaystyle z! = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} g_ {n} z ^ {n} \,.} norte g n Aproximación 0 1 1 1 - γ −0,577 215 6649 2 π 2 /12 + γ 2 /2 0,989 055 9955 3 -ζ (3)/3 - π 2 /12 - γ 3 /6 −0,907 479 0760
donde γ es la constante de Euler-Mascheroni y ζ es la función zeta de Riemann . Los sistemas informáticos de álgebra pueden generar muchos términos de esta expansión.
Aproximaciones del factorial Para los valores grandes del argumento, el factorial se puede aproximar mediante el logaritmo de la función gamma, utilizando una representación de fracción continua . Este enfoque se debe a TJ Stieltjes (1894). Escribiendo
en Γ ( z ) = pag ( z ) + en 2 π 2 - z + ( z + 1 2 ) en ( z ) ,
{\ Displaystyle \ ln \ Gamma (z) = p (z) + {\ frac {\ ln 2 \ pi} {2}} - z + \ left (z + {\ frac {1} {2}} \ right) \ ln (z) \,,} {\ Displaystyle p (z)} {\ displaystyle p (z) = {\ cfrac {a_ {0}} {z + {\ cfrac {a_ {1}} {z + {\ cfrac {a_ {2}} {z + {\ cfrac {a_ {3}} " {z + \ ddots}}}}}}}}} {\ Displaystyle a_ {n}} norte un n 0 1/12 1 1/30 2 53/210 3 195/371 4 22 999/22 737 5 29 944 523/19 733 142 6 109 535 241 009/48 264 275 462
La fracción continua converge si f. La convergencia es pobre en las proximidades del eje imaginario. Cuando, los seis coeficientes anteriores son suficientes para la evaluación del factorial con compleja doble precisión. Para una mayor precisión, se pueden calcular más coeficientes mediante un esquema QD racional (algoritmo QD de Rutishauser). {\ Displaystyle \ Re (z)gt; 0} {\ Displaystyle \ Re (z)gt; 2}
No extensibilidad a números enteros negativos La relación n ! = n × ( n - 1)! permite calcular el factorial para un número entero dado el factorial para un número entero más pequeño. La relación se puede invertir para que se pueda calcular el factorial para un número entero dado el factorial para un número entero mayor:
( norte - 1 ) ! = norte ! norte .
{\ displaystyle (n-1)! = {\ frac {n!} {n}}.} Sin embargo, esta recursividad no nos permite calcular el factorial de un entero negativo; uso de la fórmula para calcular (−1)! requeriría una división de un valor distinto de cero por cero y, por lo tanto, nos impide calcular un valor factorial para cada entero negativo. De manera similar, la función gamma no está definida para números enteros cero o negativos, aunque está definida para todos los demás números complejos.
Productos y funciones de tipo factorial Hay varias otras secuencias de enteros similares al factorial que se utilizan en matemáticas:
Factorial al revés La notación se usa a veces para representar el producto de los
n números enteros que cuentan hasta e incluyendo x (es decir). {\ Displaystyle x ^ {(n)}} X ! ( X - ( norte - 1 ) ) !
{\ textstyle {\ frac {x!} {(x- (n-1))!}}} Esto también se conoce como factorial descendente .
Doble factorial Artículo principal: Doble factorial El producto de todos los enteros impares hasta algún entero positivo impar n se llama factorial doble de n, y se denota por n !!. Es decir,
( 2 k - 1 ) ! ! = ∏ I = 1 k ( 2 I - 1 ) = ( 2 k ) ! 2 k k ! = 2 k PAG k 2 k = ( 2 k ) k _ 2 k .
{\ displaystyle (2k-1) !! = \ prod _ {i = 1} ^ {k} (2i-1) = {\ frac {(2k)!} {2 ^ {k} k!}} = { \ frac {_ {2k} P_ {k}} {2 ^ {k}}} = {\ frac {\ left (2k \ right) ^ {\ underline {k}}} {2 ^ {k}}} \,.} Por ejemplo, 9 !! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945.
La secuencia de factoriales dobles para n = 1, 3, 5, 7,... comienza como
1, 3, 15, 105, 945, 10 395,135 135,... (secuencia A001147 en la OEIS ) La notación factorial doble se puede usar para simplificar la expresión de ciertas integrales trigonométricas , para proporcionar una expresión para los valores de la función gamma en argumentos de medio entero y el volumen de hiperesferas , y para resolver muchos problemas de conteo en combinatoria, incluido el conteo de árboles binarios con hojas etiquetadas y emparejamientos perfectos en gráficos completos .
Multifactoriales Una notación relacionada común es usar múltiples signos de exclamación para denotar un multifactorial, el producto de números enteros en pasos de dos ( n !!), tres ( n !!!) o más (ver generalizaciones del factorial doble ). El factorial doble es la variante más utilizada, pero se puede definir de forma similar el factorial triple ( n !!!) y así sucesivamente. Se puede definir el factorial k -tupla, denotado por n ! ( k) , recursivamente para enteros positivos como
norte ! ( k ) = { norte si 0 lt; norte ≤ k , norte ( ( norte - k ) ! ( k ) ) si norte gt; k .
{\ Displaystyle n! ^ {(k)} = {\ begin {cases} n amp; {\ text {if}} 0 lt;n \ leq k, \\ n \ left ({(nk)!} ^ {(k) } \ right) amp; {\ text {if}} ngt; k. \ end {cases}}} norte ! ( k ) = 1 si - k lt; norte ≤ 0.
{\ Displaystyle {n!} ^ {(k)} = 1 \ quad {\ text {if}} \ {-k} lt;n \ leq 0.} Para n suficientemente grande
≥ 1, la función factorial simple ordinaria se expande a través de las funciones multifactoriales de la siguiente manera: norte ! = norte ! ! ⋅ ( norte - 1 ) ! ! , norte ≥ 1 = norte ! ! ! ⋅ ( norte - 1 ) ! ! ! ⋅ ( norte - 2 ) ! ! ! , norte ≥ 2 = ∏ I = 0 k - 1 ( norte - I ) ! ( k ) , por k ∈ Z + , norte ≥ k - 1.
{\ displaystyle {\ begin {alineado} n! amp; = n !! \ cdot (n-1) !! \,, amp; n amp; \ geq 1 \\ [5px] amp; = n !!! \ cdot (n-1) !!! \ cdot (n-2) !!! \,, amp; n amp; \ geq 2 \\ [5px] amp; = \ prod _ {i = 0} ^ {k-1} (ni)! ^ {(k) }, \ quad {\ text {para}} k \ in \ mathbb {Z} ^ {+} \,, amp; n amp; \ geq k-1. \ end {alineado}}} De la misma forma que n ! no está definido para enteros negativos, y n !! no se define para enteros pares negativos, n ! ( k) no está definido para enteros negativos divisibles por k.
Primordial Artículo principal: Primorial El primorial de un número natural n (secuencia A002110 en la OEIS ), denotado n #, es similar al factorial, pero con el producto tomado solo sobre los números primos menores o iguales an. Es decir,
norte # = ∏ pag ≤ norte pag ,
{\ Displaystyle n \ # = \ prod _ {p \ leq n} p,} 11 # = 11 × 7 × 5 × 3 × 2 = 2310.
{\ Displaystyle 11 \ # = 11 \ times 7 \ times 5 \ times 3 \ times 2 = 2310.} Compositoria La composición de un número natural n (secuencia A036691 en la OEIS ) es similar al factorial, pero con el producto tomado solo sobre los números compuestos menores o iguales an. Por ejemplo, la compositoria de 11 es
10 × 9 × 8 × 6 × 4 = 17280.
{\ Displaystyle 10 \ times 9 \ times 8 \ times 6 \ times 4 = 17280.} Fibonorial Artículo principal: Fibonorial El fibonorial es el producto de los primeros n números de Fibonacci positivos.
La secuencia de fibonoriales comienza como
1, 1, 1, 2, 6, 30, 240, 3120,65 520,... (secuencia A003266 en la OEIS ) Subfactorial El subfactorial da como resultado el número de alteraciones de un conjunto de objetos. Su valor es: {\ Displaystyle n}
! norte = nint ( norte ! mi )
{\ Displaystyle! n = \ operatorname {nint} \ left ({\ frac {n!} {e}} \ right)}
donde y "nint" denota la función que redondea su entrada al entero más cercano (nunca habrá ambigüedad / empate en este caso porque siempre es un entero y es un trascendental algebraicamente independiente, es decir, la base natural / número de Euler). {\ Displaystyle n \ in \ mathbb {Z} ^ {+} \ cup \ {0 \}} {\ Displaystyle n!} {\ Displaystyle e}
Superfactorial Ver también: Grandes números "N $" vuelve a dirigir aquí. Para la moneda, consulte dólar de Namibia . Neil Sloane y Simon Plouffe definieron un superfactorial en The Encyclopedia of Integer Sequences (Academic Press, 1995) como el producto de los primeros n factoriales. Entonces el superfactorial de 4 es
sf ( 4 ) = 1 ! × 2 ! × 3 ! × 4 ! = 288 .
{\ Displaystyle \ operatorname {sf} (4) = 1! \ times 2! \ times 3! \ times 4! = 288 \,.} En general
sf ( norte ) = ∏ k = 1 norte k ! = ∏ k = 1 norte k norte - k + 1 = 1 norte ⋅ 2 norte - 1 ⋅ 3 norte - 2 ⋯ ( norte - 1 ) 2 ⋅ norte 1 .
{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ operatorname {sf} (n) = \ prod _ {k = 1} ^ {n} k! amp; = \ prod _ {k = 1} ^ {n} k ^ {n -k + 1} \\ amp; = 1 ^ {n} \ cdot 2 ^ {n-1} \ cdot 3 ^ {n-2} \ cdots (n-1) ^ {2} \ cdot n ^ {1} \,. \ end {alineado}}} De manera equivalente, el superfactorial viene dado por la fórmula
sf ( norte ) = ∏ 0 ≤ I lt; j ≤ norte ( j - I )
{\ Displaystyle \ operatorname {sf} (n) = \ prod _ {0 \ leq i lt;j \ leq n} (ji)} determinante de una matriz de Vandermonde . Los superfactoriales se pueden extender a todos los números complejos con la función G de Barnes , de modo que para todos los enteros positivos
n. La secuencia de superfactoriales comienza (desde n = 0) como GRAMO ( norte ) = sf ( norte )
{\ Displaystyle G (n) = \ operatorname {sf} (n)} A000178 en la OEIS ) Por esta definición, podemos definir el k -superfactorial de n (denotado sf k ( n)) como:
sf k ( norte ) = { norte si k = 0 ∏ r = 1 norte sf k - 1 ( r ) si k ≥ 1
{\ Displaystyle \ operatorname {sf} _ {k} (n) = {\ begin {cases} n amp; {\ text {if}} k = 0 \\\ prod _ {r = 1} ^ {n} \ operatorname { sf} _ {k-1} (r) amp; {\ text {if}} k \ geq 1 \ end {cases}}} Los 3 superfactoriales de n son
1, 1, 2, 24, 6 912,238 878 720,5 944 066 965 504 000,745 453 331 864 786 829 312 000 000,... (secuencia A055462 en la OEIS ) El superfactorial 0 de n es n.
Superfactorial de Pickover En su libro de 1995 Keys to Infinity, Clifford Pickover definió una función diferente n $ que llamó superfactorial. Está definido por
norte PS ≡ norte ! norte ! ⋅ ⋅ ⋅ norte ! ⏟ norte ! norte ! .
{\ Displaystyle n \ $ \ equiv {\ begin {matrix} \ underbrace {n! ^ {{n!} ^ {{\ cdot} ^ {{\ cdot} ^ {{\ cdot} ^ {n!}}} }}} \\ n! {\ mbox {copias de}} n! \ end {matriz}}.} 1 PS = 1 , 2 PS = 2 2 = 4 , 3 PS = 6 6 6 6 6 6 .
{\ Displaystyle {\ begin {alineado} 1 \ $ amp; = 1 \,, \\ 2 \ $ amp; = 2 ^ {2} = 4 \,, \\ 3 \ $ amp; = 6 ^ {6 ^ {6 ^ {6 ^ {6 ^ {6}}}}} \,. \ End {alineado}}} exponenciación compuesta, se entiende que la agrupación es de derecha a izquierda: a b c = a ( b c ) .) Esta operación también puede expresarse como la tetración
norte PS = norte ! ( norte ! ) ,
{\ Displaystyle n \ $ = {} ^ {n!} (n!) \,,} la notación de flecha hacia arriba de Knuth como norte PS = ( norte ! ) ↑↑ ( norte ! ) = ( norte ! ) ↑↑↑ 2 .
{\ Displaystyle n \ $ = (n!) \ uparrow \ uparrow (n!) = (n!) \ uparrow \ uparrow \ uparrow 2 \,.} Hiperfactorial Ocasionalmente se considera el hiperfactorial de n. Está escrito como H ( n) y definido por
H ( norte ) = ∏ k = 1 norte k k = 1 1 ⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋯ ( norte - 1 ) norte - 1 ⋅ norte norte .
{\ Displaystyle {\ begin {alineado} H (n) amp; = \ prod _ {k = 1} ^ {n} k ^ {k} \\ amp; = 1 ^ {1} \ cdot 2 ^ {2} \ cdot 3 ^ {3} \ cdots (n-1) ^ {n-1} \ cdot n ^ {n}. \ End {alineado}}} Para n = 1, 2, 3, 4,... los valores de H ( n) son 1, 4, 108,27 648,... (secuencia A002109 en la OEIS ).
La tasa de crecimiento asintótica es
H ( norte ) ∼ A norte ( 6 norte 2 + 6 norte + 1 ) / 12 mi - norte 2 / 4
{\ Displaystyle H (n) \ sim An ^ {(6n ^ {2} + 6n + 1) / 12} e ^ {- n ^ {2} / 4}} donde A = 1,2824... es la constante Glaisher-Kinkelin . H (14) ≈ 1.8474 × 10 99 ya es casi igual a un googol , y H (15) ≈ 8.0896 × 10 116 es casi de la misma magnitud que el número de Shannon , el número teórico de posibles juegos de ajedrez. En comparación con la definición de Pickover del superfactorial, el hiperfactorial crece relativamente lentamente.
La función hiperfactorial se puede generalizar a números complejos de manera similar a la función factorial. La función resultante se denomina K -Función .
Ver también Referencias Citas Fuentes Bostock, Linda; Chandler, Suzanne ; Rourke, C. (1 de noviembre de 2014), Más matemáticas puras, Nelson Thornes, ISBN 9780859501033 Graham, Ronald L . ; Knuth, Donald E . ; Patashnik, Oren (1988), Matemáticas concretas , Lectura, MA: Addison-Wesley, ISBN 0-201-14236-8 Guy, Richard K. (2004), "E24 Secuencias de irracionalidad", Problemas no resueltos en teoría de números (3ª ed.), Springer-Verlag , ISBN 0-387-20860-7 , Zbl 1058.11001 Higgins, Peter (2008), Historia numérica: del conteo a la criptografía, Nueva York: Copérnico, ISBN 978-1-84800-000-1 Stedman, Fabian (1677), Campanalogia, Londres El editor se da como "WS", que pudo haber sido William Smith, posiblemente actuando como agente de la Sociedad de Jóvenes Universitarios , a la que se dirige la "Dedicatoria". Otras lecturas enlaces externos Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Factorial (función).
Contactos: mail@wikibrief.org
El contenido está disponible bajo la licencia CC BY-SA 3.0 (a menos que se indique lo contrario).
Por ejemplo, 
para el número entero n ≥ 1. Esto puede escribirse en 
Por ejemplo,