Número de Fibonacci

La "secuencia de Fibonacci" vuelve a dirigir aquí. Para el conjunto de cámara, consulte Secuencia de Fibonacci (conjunto). Un mosaico con cuadrados cuyas longitudes de lado son números de Fibonacci sucesivos: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 y 21.

En matemáticas, los números de Fibonacci, comúnmente denominados F n, forman una secuencia, llamada secuencia de Fibonacci, tal que cada número es la suma de los dos precedentes, comenzando por 0 y 1. Es decir,

$$$$ F 0=0, F 1=1, {\ Displaystyle F_ {0} = 0, \ quad F_ {1} = 1,} y $$$$ F norte= F norte - 1+ F norte - 2 {\ Displaystyle F_ {n} = F_ {n-1} + F_ {n-2}} para n gt; 1.

La secuencia comienza:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...

En algunas definiciones más antiguas, el valor se omite, por lo que la secuencia comienza con y la recurrencia es válida para n gt; 2. En su definición original, Fibonacci comenzó la secuencia con$$

F 0=0 {\ Displaystyle F_ {0} = 0}$$ F 1= F 2=1, {\ Displaystyle F_ {1} = F_ {2} = 1,}$$ F norte= F norte - 1+ F norte - 2 {\ Displaystyle F_ {n} = F_ {n-1} + F_ {n-2}}$$ F 1=1, F 2=2 {\ Displaystyle F_ {1} = 1, F_ {2} = 2}

La espiral de Fibonacci: una aproximación de la espiral dorada creada al dibujar arcos circulares que conectan las esquinas opuestas de los cuadrados en el mosaico de Fibonacci; (ver imagen anterior)

Los números de Fibonacci están fuertemente relacionados con la proporción áurea : la fórmula de Binet expresa el número n de Fibonacci en términos de ny la proporción áurea, e implica que la proporción de dos números de Fibonacci consecutivos tiende a la proporción áurea a medida que n aumenta.

Los números de Fibonacci llevan el nombre del matemático italiano Leonardo de Pisa, más tarde conocido como Fibonacci. En su libro de 1202, Liber Abaci, Fibonacci introdujo la secuencia en las matemáticas de Europa occidental, aunque la secuencia había sido descrita anteriormente en las matemáticas indias, ya en el año 200 a.C.en un trabajo de Pingala sobre la enumeración de posibles patrones de poesía sánscrita formados a partir de sílabas de dos longitudes.

Los números de Fibonacci aparecen inesperadamente a menudo en matemáticas, tanto que hay una revista completa dedicada a su estudio, Fibonacci Quarterly. Las aplicaciones de los números de Fibonacci incluyen algoritmos informáticos como la técnica de búsqueda de Fibonacci y la estructura de datos del montón de Fibonacci, y gráficos llamados cubos de Fibonacci que se utilizan para interconectar sistemas paralelos y distribuidos.

También aparecen en entornos biológicos, como la ramificación de los árboles, la disposición de las hojas en un tallo, los brotes frutales de una piña, la floración de una alcachofa, un helecho que se desenrolla y la disposición de las brácteas de una piña.

Los números de Fibonacci también están estrechamente relacionados con los números de Lucas, ya que los números de Fibonacci y Lucas forman un par complementario de secuencias de Lucas : y. $$

L norte {\ Displaystyle L_ {n}} $$ U norte(1,-1)= F norte {\ Displaystyle U_ {n} (1, -1) = F_ {n}}$$ V norte(1,-1)= L norte {\ Displaystyle V_ {n} (1, -1) = L_ {n}}

• 1 Historia
• 2 propiedades de la secuencia
• 3 Relación con la proporción áurea
  • 3.1 Expresión de forma cerrada
  • 3.2 Cálculo por redondeo
  • 3.3 Límite de cocientes consecutivos
  • 3.4 Descomposición de poderes
• 4 Forma de matriz
• 5 Identificación
• 6 identidades combinatorias
  • 6.1 Pruebas combinatorias
  • 6.2 Método simbólico
  • 6.3 Pruebas de inducción
  • 6.4 Demostraciones de fórmulas de Binet
• 7 Otras identidades
  • 7.1 Identidades de Cassini y Catalán
  • 7.2 identidad de d'Ocagne
• 8 Función de generación
• 9 Sumas recíprocas
• 10 Primas y divisibilidad
  • 10.1 Propiedades de divisibilidad
  • 10.2 Prueba de primalidad
  • 10.3 números primos de Fibonacci
  • 10.4 Divisores primos
  • 10.5 Periodicidad módulo n
• 11 Magnitud
• 12 generalizaciones
• 13 Aplicaciones
  • 13.1 Matemáticas
  • 13.2 Ciencias de la computación
  • 13.3 Naturaleza
  • 13.4 Otro
• 14 Véase también
• 15 referencias
  • 15.1 Obras citadas
• 16 Enlaces externos

Historia

Ver también: Proporción áurea § Historia Trece ( F 7) formas de ordenar las sílabas largas (mostradas por las baldosas rojas) y cortas (mostradas por los cuadrados grises) en una cadencia de longitud seis. Cinco ( F 5) terminan con una sílaba larga y ocho ( F 6) terminan con una sílaba corta.

La secuencia de Fibonacci aparece en las matemáticas indias en conexión con la prosodia sánscrita, como señaló Parmanand Singh en 1986. En la tradición poética sánscrita, había interés en enumerar todos los patrones de sílabas largas (L) de 2 unidades de duración, yuxtapuestos con cortos ( S) sílabas de 1 unidad de duración. Al contar los diferentes patrones de L y S sucesivos con una duración total dada, se obtienen los números de Fibonacci: el número de patrones de duración m unidades es F m + 1.

El conocimiento de la secuencia de Fibonacci se expresó ya en Pingala ( c.  450 aC-200 aC). Singh cita la fórmula críptica de Pingala misrau cha ("los dos están mezclados") y los estudiosos que la interpretan en contexto dicen que el número de patrones para m beats ( F m +1) se obtiene sumando uno [S] a F m casos y uno [L] a los casos F m −1. Bharata Muni también expresa conocimiento de la secuencia en el Natya Shastra (c. 100 a. C. - c. 350 d. C.). Sin embargo, la exposición más clara de la secuencia surge en la obra de Virahanka (c. 700 d. C.), cuyo propio trabajo se pierde, pero está disponible en una cita de Gopala (c. 1135):

Variaciones de dos metros anteriores [es la variación]... Por ejemplo, para [un metro de longitud] cuatro, las variaciones de metros de dos [y] tres se mezclan, suceden cinco. [resuelve los ejemplos 8, 13, 21]... De esta manera, el proceso debe seguirse en todas las mātrā-vṛttas [combinaciones prosódicas].

A Hemachandra (c. 1150) también se le atribuye el conocimiento de la secuencia, escribiendo que "la suma del último y el anterior al último es el número... del siguiente mātrā-vṛtta".

Una página de Fibonacci 's Liber Abaci de la Biblioteca Nazionale di Firenze mostrando (en la caja a la derecha) la secuencia de Fibonacci con la posición en la secuencia marcada en latín y en números romanos y el valor en números indo-arábigos. El número de parejas de conejos forman la secuencia de Fibonacci.

Fuera de la India, la secuencia de Fibonacci aparece por primera vez en el libro Liber Abaci ( The Book of Calculation, 1202) de Fibonacci, donde se utiliza para calcular el crecimiento de las poblaciones de conejos. Fibonacci considera el crecimiento de una población de conejos idealizada (biológicamente irreal), asumiendo que: una pareja de conejos reproductores recién nacidos se coloca en un campo; cada pareja reproductora se aparea a la edad de un mes, y al final del segundo mes siempre produce otra pareja de conejos; y los conejos nunca mueren, pero continúan reproduciéndose para siempre. Fibonacci planteó el rompecabezas: ¿cuántos pares habrá en un año?

• Al final del primer mes, se aparean, pero solo queda 1 pareja.
• Al final del segundo mes, producen un nuevo par, por lo que hay 2 pares en el campo.
• Al final del tercer mes, la pareja original produce una segunda pareja, pero la segunda pareja solo se aparean sin reproducirse, por lo que hay 3 parejas en total.
• Al final del cuarto mes, el par original ha producido otro par nuevo, y el par nacido hace dos meses también produce su primer par, formando 5 pares.

Al final de la n º mes, el número de pares de conejos es igual al número de pares maduros (es decir, el número de pares en meses n - 2) más el número de pares vivo mes pasado (mes n - 1). El número en el n º mes es el n ésimo número de Fibonacci.

El nombre "secuencia de Fibonacci" fue utilizado por primera vez por el teórico de números del siglo XIX Édouard Lucas.

Propiedades de la secuencia

Los primeros 21 números de Fibonacci F n son:

F 0	F 1	F 2	F 3	F 4	F 5	F 6	F 7	F 8	F 9	F 10	F 11	F 12	F 13	F 14	F 15	F 16	F 17	F 18	F 19	F 20
0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	4181	6765

La secuencia también se puede extender al índice negativo n usando la relación de recurrencia reordenada

$$$$ F norte - 2= F norte- F norte - 1, {\ Displaystyle F_ {n-2} = F_ {n} -F_ {n-1},}

que produce la secuencia de números "negafibonacci" que satisfacen

$$$$ F - norte=(-1 ) norte + 1 F norte. {\ Displaystyle F _ {- n} = (- 1) ^ {n + 1} F_ {n}.}

Por tanto, la secuencia bidireccional es

F −8

F −7

F −6

F −5

F −4

F −3

F −2

F −1

F 0

F 1

F 2

F 3

F 4

F 5

F 6

F 7

F 8

−21

13

−8

5

−3

2

−1

1

0

1

1

2

3

5

8

13

21

Relación con la proporción áurea

Artículo principal: Proporción áurea

Expresión de forma cerrada

Como toda secuencia definida por una recurrencia lineal con coeficientes constantes, los números de Fibonacci tienen una expresión de forma cerrada. Se ha dado a conocer como la fórmula de Binet, que lleva el nombre del matemático francés Jacques Philippe Marie Binet, aunque ya la conocían Abraham de Moivre y Daniel Bernoulli :

$$$$ F norte= φ norte - ψ norte φ - ψ= φ norte - ψ norte 5, {\ Displaystyle F_ {n} = {\ frac {\ varphi ^ {n} - \ psi ^ {n}} {\ varphi - \ psi}} = {\ frac {\ varphi ^ {n} - \ psi ^ { n}} {\ sqrt {5}}},} dónde $$$$φ= 1 + 5 2≈1,6180339887... {\ Displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ approx 1.61803 \, 39887 \ ldots} es la proporción áurea ( OEIS :  A001622 ), y $$$$ψ= 1 - 5 2=1-φ=- 1 φ≈-0,6180339887.... {\ Displaystyle \ psi = {\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {2}} = 1- \ varphi = - {1 \ over \ varphi} \ approx -0.61803 \, 39887 \ ldots.}

Dado que, esta fórmula también se puede escribir como $$

ψ=- φ - 1 {\ Displaystyle \ psi = - \ varphi ^ {- 1}}

$$$$ F norte= φ norte - ( - φ ) - norte 5= φ norte - ( - φ ) - norte 2 φ - 1. {\ Displaystyle F_ {n} = {\ frac {\ varphi ^ {n} - (- \ varphi) ^ {- n}} {\ sqrt {5}}} = {\ frac {\ varphi ^ {n} - (- \ varphi) ^ {- n}} {2 \ varphi -1}}.} Para ver esto, tenga en cuenta que φ y ψ son ambas soluciones de las ecuaciones $$$$ X 2=X+1 y X norte= X norte - 1+ X norte - 2, {\ Displaystyle x ^ {2} = x + 1 \ quad {\ text {y}} \ quad x ^ {n} = x ^ {n-1} + x ^ {n-2},} por lo que las potencias de φ y ψ satisfacen la recursividad de Fibonacci. En otras palabras, $$$$ φ norte= φ norte - 1+ φ norte - 2 {\ Displaystyle \ varphi ^ {n} = \ varphi ^ {n-1} + \ varphi ^ {n-2}} y $$$$ ψ norte= ψ norte - 1+ ψ norte - 2. {\ Displaystyle \ psi ^ {n} = \ psi ^ {n-1} + \ psi ^ {n-2}.}

Se deduce que para cualquier valor de un y b, la secuencia definida por

$$$$ U norte=a φ norte+B ψ norte {\ Displaystyle U_ {n} = a \ varphi ^ {n} + b \ psi ^ {n}} satisface la misma recurrencia. $$$$ U norte - 1+ U norte - 2=a φ norte - 1+B ψ norte - 1+a φ norte - 2+B ψ norte - 2=a φ norte - 1+a φ norte - 2+B ψ norte - 1+B ψ norte - 2= U norte {\ Displaystyle U_ {n-1} + U_ {n-2} = a \ varphi ^ {n-1} + b \ psi ^ {n-1} + a \ varphi ^ {n-2} + b \ psi ^ {n-2} = a \ varphi ^ {n-1} + a \ varphi ^ {n-2} + b \ psi ^ {n-1} + b \ psi ^ {n-2} = U_ {n }}

Si a y b se eligen de modo que U 0 = 0 y U 1 = 1, entonces la secuencia resultante U n debe ser la secuencia de Fibonacci. Este es el mismo que requiere un y b satisfacer el sistema de ecuaciones:

$$$$ { a + B = 0 φ a + ψ B = 1 {\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} a + b = 0 \\\ varphi a + \ psi b = 1 \ end {array}} \ right.} que tiene solución $$$$a= 1 φ - ψ= 1 5,B=-a, {\ Displaystyle a = {\ frac {1} {\ varphi - \ psi}} = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}}, \ quad b = -a,} produciendo la fórmula requerida.

Tomando los valores iniciales U 0 y U 1 como constantes arbitrarias, una solución más general es:

$$$$ U norte=a φ norte+B ψ norte {\ Displaystyle U_ {n} = a \ varphi ^ {n} + b \ psi ^ {n}} dónde $$$$a= U 1 - U 0 ψ 5 {\ Displaystyle a = {\ frac {U_ {1} -U_ {0} \ psi} {\ sqrt {5}}}} $$$$B= U 0 φ - U 1 5. {\ Displaystyle b = {\ frac {U_ {0} \ varphi -U_ {1}} {\ sqrt {5}}}.}

Cálculo por redondeo

Ya que

$$$$ | ψ norte 5 |lt; 1 2 {\ Displaystyle \ left | {\ frac {\ psi ^ {n}} {\ sqrt {5}}} \ right | lt;{\ frac {1} {2}}}

para todo n ≥ 0, el número F n es el entero más cercano a. Por lo tanto, se puede encontrar redondeando, usando la función entera más cercana: $$

φ norte 5 {\ Displaystyle {\ frac {\ varphi ^ {n}} {\ sqrt {5}}}}

$$$$ F norte= [ φ norte 5 ], norte≥0. {\ Displaystyle F_ {n} = \ left [{\ frac {\ varphi ^ {n}} {\ sqrt {5}}} \ right], \ n \ geq 0.}

De hecho, el error de redondeo es muy pequeño, menor de 0,1 para n ≥ 4 y menor de 0,01 para n ≥ 8.

Los números de Fibonacci también se pueden calcular mediante truncamiento, en términos de la función de piso :

$$$$ F norte= ⌊ φ norte 5 + 1 2 ⌋, norte≥0. {\ Displaystyle F_ {n} = \ left \ lfloor {\ frac {\ varphi ^ {n}} {\ sqrt {5}}} + {\ frac {1} {2}} \ right \ rfloor, \ n \ geq 0.}

Como la función de piso es monótona, la última fórmula se puede invertir para encontrar el índice n ( F) del número de Fibonacci más grande que no sea mayor que un número real F gt; 1:

$$$$norte(F)= ⌊ Iniciar sesión φ ⁡ ( F ⋅ 5 + 1 2 ) ⌋, {\ Displaystyle n (F) = \ left \ lfloor \ log _ {\ varphi} \ left (F \ cdot {\ sqrt {5}} + {\ frac {1} {2}} \ right) \ right \ rfloor,} dónde $$ Iniciar sesión φ⁡(X)=en⁡(X) /en⁡(φ)= Iniciar sesión 10⁡(X) / Iniciar sesión 10⁡(φ). {\ Displaystyle \ log _ {\ varphi} (x) = \ ln (x) / \ ln (\ varphi) = \ log _ {10} (x) / \ log _ {10} (\ varphi).}

Límite de cocientes consecutivos

Johannes Kepler observó que la proporción de números de Fibonacci consecutivos converge. Escribió que "como 5 es a 8, también es 8 a 13, prácticamente, y como 8 es a 13, también es 13 a 21 casi", y concluyó que estas proporciones se acercan a la proporción áurea.$$

φ: {\ Displaystyle \ varphi \ colon}

$$$$ lim norte → ∞ F norte + 1 F norte=φ. {\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {F_ {n + 1}} {F_ {n}}} = \ varphi.}

Esta convergencia se mantiene independientemente de los valores iniciales, excluyendo 0 y 0, o cualquier par en la proporción áurea conjugada. Esto se puede verificar usando la fórmula de Binet. Por ejemplo, los valores iniciales 3 y 2 generan la secuencia 3, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, 131, 212, 343, 555,... La razón de términos consecutivos en esta secuencia muestra la misma convergencia hacia la proporción áurea. $$

-1 /φ. {\ Displaystyle -1 / \ varphi.}

Mosaicos sucesivos del plano y una gráfica de aproximaciones a la proporción áurea calculada dividiendo cada número de Fibonacci por el anterior.

Descomposición de poderes

Dado que la proporción áurea satisface la ecuación

$$$$ φ 2=φ+1, {\ Displaystyle \ varphi ^ {2} = \ varphi +1,}

esta expresión se puede utilizar para descomponer potencias superiores como una función lineal de potencias inferiores, que a su vez se puede descomponer hasta una combinación lineal de y 1. Las relaciones de recurrencia resultantes producen números de Fibonacci como coeficientes lineales: $$

φ norte {\ Displaystyle \ varphi ^ {n}}$$φ {\ Displaystyle \ varphi}

$$$$ φ norte= F norteφ+ F norte - 1. {\ Displaystyle \ varphi ^ {n} = F_ {n} \ varphi + F_ {n-1}.} Esta ecuación se puede demostrar por inducción en n.

Esta expresión también es cierta para n lt;1 si la secuencia de Fibonacci F n se extiende a enteros negativos usando la regla de Fibonacci$$

F norte= F norte - 1+ F norte - 2. {\ Displaystyle F_ {n} = F_ {n-1} + F_ {n-2}.}

Forma de matriz

Un sistema bidimensional de ecuaciones en diferencias lineales que describe la secuencia de Fibonacci es

$$$$ ( F k + 2 F k + 1 )= ( 1 1 1 0) ( F k + 1 F k ) {\ displaystyle {F_ {k + 2} \ choose F_ {k + 1}} = {\ begin {pmatrix} 1 amp; 1 \\ 1 amp; 0 \ end {pmatrix}} {F_ {k + 1} \ choose F_ {k}} } alternativamente denotado $$$$ F → k + 1= A F → k, {\ Displaystyle {\ vec {F}} _ {k + 1} = \ mathbf {A} {\ vec {F}} _ {k},}

que cede. Los autovalores de la matriz A son y correspondientes a los respectivos autovectores $$

F → norte= A norte F → 0 {\ Displaystyle {\ vec {F}} _ {n} = \ mathbf {A} ^ {n} {\ vec {F}} _ {0}} $$φ= 1 2(1+ 5) {\ Displaystyle \ varphi = {\ frac {1} {2}} (1 + {\ sqrt {5}})}$$- φ - 1= 1 2(1- 5) {\ Displaystyle - \ varphi ^ {- 1} = {\ frac {1} {2}} (1 - {\ sqrt {5}})}

$$$$ μ →= ( φ 1 ) {\ displaystyle {\ vec {\ mu}} = {\ varphi \ choose 1}} y $$$$ ν →= ( - φ - 1 1 ). {\ displaystyle {\ vec {\ nu}} = {- \ varphi ^ {- 1} \ elige 1}.} Como el valor inicial es $$$$ F → 0= ( 1 0 )= 1 5 μ →- 1 5 ν →, {\ displaystyle {\ vec {F}} _ {0} = {1 \ choose 0} = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} {\ vec {\ mu}} - {\ frac {1 } {\ sqrt {5}}} {\ vec {\ nu}},} se deduce que el n- ésimo término es $$$$ F → norte = 1 5 A norte μ → - 1 5 A norte ν → = 1 5 φ norte μ → - 1 5 ( - φ ) - norte ν →   = 1 5 ( 1 + 5 2 ) norte ( φ 1 ) - 1 5 ( 1 - 5 2 ) norte ( - φ - 1 1 ) , {\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ vec {F}} _ {n} amp; = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} A ^ {n} {\ vec {\ mu}} - {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} A ^ {n} {\ vec {\ nu}} \\ amp; = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ varphi ^ {n } {\ vec {\ mu}} - {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} (- \ varphi) ^ {- n} {\ vec {\ nu}} ~ \\ amp; = {\ cfrac {1} {\ sqrt {5}}} \ left ({\ cfrac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ right) ^ {n} {\ varphi \ choose 1} - {\ cfrac {1} {\ sqrt {5}}} \ left ({\ cfrac {1 - {\ sqrt {5}}} {2}} \ right) ^ {n} {- \ varphi ^ {- 1} \ choose 1}, \ end {alineado}}} A partir de esto, el n- ésimo elemento de la serie de Fibonacci se puede leer directamente como una expresión de forma cerrada : $$$$ F norte= 1 5 ( 1 + 5 2 ) norte - 1 5 ( 1 - 5 2 ) norte . {\ Displaystyle F_ {n} = {\ cfrac {1} {\ sqrt {5}}} \ left ({\ cfrac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ right) ^ {n} - {\ cfrac {1} {\ sqrt {5}}} \ left ({\ cfrac {1 - {\ sqrt {5}}} {2}} \ right) ^ {n}.}

De manera equivalente, el mismo cálculo se puede realizar mediante la diagonalización de A mediante el uso de su descomposición propia :

$$$$ A = S Λ S - 1 , A norte = S Λ norte S - 1 , {\ displaystyle {\ begin {alineado} A amp; = S \ Lambda S ^ {- 1}, \\ A ^ {n} amp; = S \ Lambda ^ {n} S ^ {- 1}, \ end {alineado}} } donde y La expresión de forma cerrada para el n- ésimo elemento de la serie de Fibonacci viene dada por $$Λ= ( φ 0 0 - φ - 1) {\ displaystyle \ Lambda = {\ begin {pmatrix} \ varphi amp; 0 \\ 0 amp; - \ varphi ^ {- 1} \ end {pmatrix}}}$$S= ( φ - φ - 1 1 1). {\ Displaystyle S = {\ begin {pmatrix} \ varphi amp; - \ varphi ^ {- 1} \\ 1 amp; 1 \ end {pmatrix}}.} $$$$ ( F norte + 1 F norte ) = A norte ( F 1 F 0 ) = S Λ norte S - 1 ( F 1 F 0 ) = S ( φ norte 0 0 ( - φ ) - norte) S - 1 ( F 1 F 0 ) = ( φ - φ - 1 1 1) ( φ norte 0 0 ( - φ ) - norte) 1 5 ( 1 φ - 1 - 1 φ) ( 1 0 ), {\ Displaystyle {\ begin {alineado} {F_ {n + 1} \ elige F_ {n}} amp; = A ^ {n} {F_ {1} \ elige F_ {0}} \\ amp; = S \ Lambda ^ {n} S ^ {- 1} {F_ {1} \ choose F_ {0}} \\ amp; = S {\ begin {pmatrix} \ varphi ^ {n} amp; 0 \\ 0 amp; (- \ varphi) ^ {- n} \ end {pmatrix}} S ^ {- 1} {F_ {1} \ choose F_ {0}} \\ amp; = {\ begin {pmatrix} \ varphi amp; - \ varphi ^ {- 1} \\ 1 amp; 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ varphi ^ {n} amp; 0 \\ 0 amp; (- \ varphi) ^ {- n} \ end {pmatrix}} {\ frac {1} {\ sqrt {5} }} {\ begin {pmatrix} 1 amp; \ varphi ^ {- 1} \\ - 1 amp; \ varphi \ end {pmatrix}} {1 \ choose 0}, \ end {alineado}}}

que de nuevo cede

$$$$ F norte= φ norte - ( - φ ) - norte 5 . {\ Displaystyle F_ {n} = {\ cfrac {\ varphi ^ {n} - (- \ varphi) ^ {- n}} {\ sqrt {5}}}.}

La matriz A tiene un determinante de −1 y, por lo tanto, es una matriz unimodular de 2 × 2.

Esta propiedad se puede entender en términos de la representación de fracción continua para la proporción áurea:

$$$$φ=1+ 1 1 + 1 1 + 1 1 + ⋱ . {\ Displaystyle \ varphi = 1 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {1+ \ ddots}}}}}}.}

Los números de Fibonacci ocurren como la proporción de convergentes sucesivos de la fracción continua para φ, y la matriz formada a partir de convergentes sucesivos de cualquier fracción continua tiene un determinante de +1 o -1. La representación matricial da la siguiente expresión de forma cerrada para los números de Fibonacci:

$$$$ ( 1 1 1 0) norte= ( F norte + 1 F norte F norte F norte - 1). {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 amp; 1 \\ 1 amp; 0 \ end {pmatrix}} ^ {n} = {\ begin {pmatrix} F_ {n + 1} amp; F_ {n} \\ F_ {n} amp; F_ {n- 1} \ end {pmatrix}}.}

Tomando el determinante de ambos lados de esta ecuación se obtiene la identidad de Cassini,

$$$$(-1 ) norte= F norte + 1 F norte - 1- F norte 2. {\ Displaystyle (-1) ^ {n} = F_ {n + 1} F_ {n-1} - {F_ {n}} ^ {2}.}

Además, dado que

A ⁿ A ^m = A ^{n +m} para cualquier matriz cuadrada A, se pueden derivar las siguientes identidades (se obtienen a partir de dos coeficientes diferentes del producto de la matriz, y uno puede deducir fácilmente el segundo del primero por cambiando n en n + 1), $$$$ F metro F norte + F metro - 1 F norte - 1 = F metro + norte - 1 , F metro F norte + 1 + F metro - 1 F norte = F metro + norte . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} {F_ {m}} {F_ {n}} + {F_ {m-1}} {F_ {n-1}} amp; = F_ {m + n-1}, \ \ F_ {m} F_ {n + 1} + F_ {m-1} F_ {n} amp; = F_ {m + n}. \ End {alineado}}}

En particular, con m = n,

$$$$ F 2 norte - 1 = F norte 2 + F norte - 1 2 F 2 norte = ( F norte - 1 + F norte + 1 ) F norte = ( 2 F norte - 1 + F norte ) F norte = ( 2 F norte + 1 - F norte ) F norte . {\ Displaystyle {\ begin {array} {ll} F_ {2n-1} amp; = {F_ {n}} ^ {2} + {F_ {n-1}} ^ {2} \\ F_ {2n} amp; = (F_ {n-1} + F_ {n + 1}) F_ {n} \\ amp; = (2F_ {n-1} + F_ {n}) F_ {n} \\ amp; = (2F_ {n + 1} -F_ {n}) F_ {n}. \ End {matriz}}}

Estas dos últimas identidades proporcionan una forma de calcular números de Fibonacci de forma recursiva en operaciones aritméticas O (log ( n)) y en el tiempo O ( M ( n) log ( n)), donde M ( n) es el tiempo para la multiplicación de dos números de n dígitos. Esto coincide con el tiempo para calcular el n- ésimo número de Fibonacci a partir de la fórmula matricial de forma cerrada, pero con menos pasos redundantes si se evita volver a calcular un número de Fibonacci ya calculado (recursividad con memorización ).

Identificación

Puede surgir la pregunta de si un entero positivo x es un número de Fibonacci. Esto es cierto si y solo si al menos uno de o es un

cuadrado perfecto. Esto se debe a que la fórmula de Binet anterior se puede reorganizar para dar $$5 X 2+4 {\ Displaystyle 5x ^ {2} +4}$$5 X 2-4 {\ Displaystyle 5x ^ {2} -4} $$$$norte= Iniciar sesión φ⁡ ( F norte 5 + 5 F norte 2 ± 4 2 ), {\ Displaystyle n = \ log _ {\ varphi} \ left ({\ frac {F_ {n} {\ sqrt {5}} + {\ sqrt {5 {F_ {n}} ^ {2} \ pm 4} }} {2}} \ derecha),}

lo que le permite a uno encontrar la posición en la secuencia de un número de Fibonacci dado.

Esta fórmula debe devolver un número entero para todo n, por lo que la expresión radical debe ser un número entero (de lo contrario, el logaritmo ni siquiera devuelve un número racional).

Identidades combinatorias

Pruebas combinatorias

La mayoría de las identidades que involucran números de Fibonacci se pueden probar usando argumentos combinatorios usando el hecho de que se puede interpretar como el número de secuencias [posiblemente vacías] de 1s y 2s cuya suma es. Esto se puede tomar como la definición de con las convenciones, lo que significa que no existe tal secuencia cuya suma sea -1, y, lo que significa que la secuencia vacía "suma" 0. A continuación, está la

cardinalidad de un conjunto: $$ F norte {\ Displaystyle F_ {n}}$$norte-1 {\ Displaystyle n-1}$$ F norte {\ Displaystyle F_ {n}}$$ F 0=0 {\ Displaystyle F_ {0} = 0}$$ F 1=1 {\ Displaystyle F_ {1} = 1}$$ | . . . | {\ Displaystyle | {...} |}

$$ F 0=0= |{} | {\ Displaystyle F_ {0} = 0 = | \ {\} |}

$$ F 1=1= |{{}} | {\ Displaystyle F_ {1} = 1 = | \ {\ {\} \} |}

$$ F 2=1= |{{1}} | {\ Displaystyle F_ {2} = 1 = | \ {\ {1 \} \} |}

$$ F 3=2= |{{1,1},{2}} | {\ Displaystyle F_ {3} = 2 = | \ {\ {1,1 \}, \ {2 \} \} |}

$$ F 4=3= |{{1,1,1},{1,2},{2,1}} | {\ Displaystyle F_ {4} = 3 = | \ {\ {1,1,1 \}, \ {1,2 \}, \ {2,1 \} \} |}

$$ F 5=5= |{{1,1,1,1},{1,1,2},{1,2,1},{2,1,1},{2,2}} | {\ Displaystyle F_ {5} = 5 = | \ {\ {1,1,1,1 \}, \ {1,1,2 \}, \ {1,2,1 \}, \ {2,1, 1 \}, \ {2,2 \} \} |}

De esta manera la relación de recurrencia

$$$$ F norte= F norte - 1+ F norte - 2 {\ Displaystyle F_ {n} = F_ {n-1} + F_ {n-2}} puede entenderse dividiendo las secuencias en dos conjuntos no superpuestos donde todas las secuencias comienzan con 1 o 2: $$ F norte {\ Displaystyle F_ {n}} $$$$ F norte= |{{1,...},{1,...},...} |+ |{{2,...},{2,...},...} | {\ Displaystyle F_ {n} = | \ {\ {1,... \}, \ {1,... \},... \} | + | \ {\ {2,... \}, \ {2,... \},... \} |} Excluyendo el primer elemento, los términos restantes en cada secuencia suman o y la cardinalidad de cada conjunto es o da un total de secuencias, lo que muestra que esto es igual a. $$norte-2 {\ Displaystyle n-2}$$norte-3 {\ Displaystyle n-3} $$ F norte - 1 {\ Displaystyle F_ {n-1}}$$ F norte - 2 {\ Displaystyle F_ {n-2}}$$ F norte - 1+ F norte - 2 {\ Displaystyle F_ {n-1} + F_ {n-2}}$$ F norte {\ Displaystyle F_ {n}}

De manera similar, se puede mostrar que la suma de los primeros números de Fibonacci hasta el n- ésimo es igual al ( n + 2) -nd número de Fibonacci menos 1. En símbolos:

$$$$ ∑ I = 1 norte F I= F norte + 2-1 {\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} = F_ {n + 2} -1}

Esto puede verse dividiendo todas las secuencias que suman según la ubicación del primer 2. Específicamente, cada conjunto consta de aquellas secuencias que comienzan hasta los dos últimos conjuntos, cada una con cardinalidad 1. $$

norte+1 {\ Displaystyle n + 1}$${2,...},{1,2,...},..., {\ Displaystyle \ {2,... \}, \ {1,2,... \},...,}$${{1,1,...,1,2}},{{1,1,...,1}} {\ Displaystyle \ {\ {1,1,..., 1,2 \} \}, \ {\ {1,1,..., 1 \} \}}

Siguiendo la misma lógica que antes, sumando la cardinalidad de cada conjunto vemos que

$$ F norte + 2= F norte+ F norte - 1+...+ |{{1,1,...,1,2}} |+ |{{1,1,...,1}} | {\ Displaystyle F_ {n + 2} = F_ {n} + F_ {n-1} +... + | \ {\ {1,1,..., 1,2 \} \} | + | \ {\ {1,1,..., 1 \} \} |}

... donde los dos últimos términos tienen el valor. De esto se sigue que. $$

F 1=1 {\ Displaystyle F_ {1} = 1}$$ ∑ I = 1 norte F I= F norte + 2-1 {\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} = F_ {n + 2} -1}

Un argumento similar, agrupar las sumas por la posición del primer 1 en lugar de los primeros 2 da dos identidades más:

$$$$ ∑ I = 0 norte - 1 F 2 I + 1= F 2 norte {\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} F_ {2i + 1} = F_ {2n}} y $$$$ ∑ I = 1 norte F 2 I= F 2 norte + 1-1. {\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} F_ {2i} = F_ {2n + 1} -1.} En palabras, la suma de los primeros números de Fibonacci con índice impar hasta es el (2 n) ésimo número de Fibonacci, y la suma de los primeros números de Fibonacci con índice par hasta es el (2 n  + 1) ésimo número de Fibonacci menos 1. $$ F 2 norte - 1 {\ Displaystyle F_ {2n-1}}$$ F 2 norte {\ Displaystyle F_ {2n}}

Se puede usar un truco diferente para demostrar

$$$$ ∑ I = 1 norte F I 2= F norte F norte + 1 {\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {F_ {i}} ^ {2} = F_ {n} F_ {n + 1}} o en palabras, la suma de los cuadrados de los primeros números de Fibonacci hasta es el producto de los números de Fibonacci n- ésimo y ( n  + 1) ésimo. Para ver esto, comience con un rectángulo de Fibonacci de tamaño y descompóngalo en cuadrados de tamaño ; de esto se sigue la identidad comparando áreas: $$ F norte {\ Displaystyle F_ {n}}$$ F norte× F norte + 1 {\ Displaystyle F_ {n} \ times F_ {n + 1}}$$ F norte, F norte - 1,..., F 1 {\ Displaystyle F_ {n}, F_ {n-1},..., F_ {1}}

Método simbólico

La secuencia también se considera utilizando el

método simbólico. Más precisamente, esta secuencia corresponde a una clase combinatoria especificable. La especificación de esta secuencia es. De hecho, como se indicó anteriormente, el -ésimo número de Fibonacci es igual al número de composiciones combinatorias ( particiones ordenadas) de los términos 1 y 2. $$( F norte ) norte ∈ norte {\ Displaystyle (F_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}} $$Seq⁡( Z + Z 2) {\ Displaystyle \ operatorname {Seq} ({\ mathcal {Z + Z ^ {2}}})}$$norte {\ Displaystyle n} $$norte-1 {\ Displaystyle n-1}

De ello se deduce que la función generadora ordinaria de la secuencia de Fibonacci, es decir, es la función compleja. $$

∑ I = 0 ∞ F I z I {\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} F_ {i} z ^ {i}}$$ z 1 - z - z 2 {\ Displaystyle {\ frac {z} {1-zz ^ {2}}}}

Pruebas de inducción

Las identidades de Fibonacci a menudo pueden demostrarse fácilmente mediante inducción matemática.

Por ejemplo, reconsidere

$$$$ ∑ I = 1 norte F I= F norte + 2-1. {\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} = F_ {n + 2} -1.} Sumar a ambos lados da $$ F norte + 1 {\ Displaystyle F_ {n + 1}}

$$ ∑ I = 1 norte F I+ F norte + 1= F norte + 1+ F norte + 2-1 {\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} + F_ {n + 1} = F_ {n + 1} + F_ {n + 2} -1}

y entonces tenemos la fórmula para $$

norte+1 {\ Displaystyle n + 1}

$$$$ ∑ I = 1 norte + 1 F I= F norte + 3-1 {\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n + 1} F_ {i} = F_ {n + 3} -1}

De manera similar, agregue a ambos lados de $$

F norte + 1 2 {\ Displaystyle F_ {n + 1} ^ {2}}

$$$$ ∑ I = 1 norte F I 2= F norte F norte + 1 {\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {F_ {i}} ^ {2} = F_ {n} F_ {n + 1}} dar $$$$ ∑ I = 1 norte F I 2+ F norte + 1 2= F norte + 1 ( F norte + F norte + 1 ) {\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {F_ {i}} ^ {2} + F_ {n + 1} ^ {2} = F_ {n + 1} \ left (F_ {n} + F_ {n + 1} \ derecha)} $$$$ ∑ I = 1 norte + 1 F I 2= F norte + 1 F norte + 2 {\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n + 1} {F_ {i}} ^ {2} = F_ {n + 1} F_ {n + 2}}

Pruebas de fórmulas de Binet

La fórmula de Binet es

$$$$ 5 F norte= φ norte- ψ norte. {\ Displaystyle {\ sqrt {5}} F_ {n} = \ varphi ^ {n} - \ psi ^ {n}.} Esto se puede utilizar para probar las identidades de Fibonacci.

Por ejemplo, para probar esa nota que el lado izquierdo multiplicado por se convierte en $$

∑ I = 1 norte F I= F norte + 2-1 {\ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} = F_ {n + 2} -1}$$ 5 {\ Displaystyle {\ sqrt {5}}}

$$$$ 1 + φ + φ 2 + ⋯ + φ norte - ( 1 + ψ + ψ 2 + ⋯ + ψ norte ) = φ norte + 1 - 1 φ - 1 - ψ norte + 1 - 1 ψ - 1 = φ norte + 1 - 1 - ψ - ψ norte + 1 - 1 - φ = - φ norte + 2 + φ + ψ norte + 2 - ψ φ ψ = φ norte + 2 - ψ norte + 2 - ( φ - ψ ) = 5 ( F norte + 2 - 1 ) {\ Displaystyle {\ begin {alineado} 1 + amp; \ varphi + \ varphi ^ {2} + \ dots + \ varphi ^ {n} - \ left (1+ \ psi + \ psi ^ {2} + \ dots + \ psi ^ {n} \ right) \\ amp; = {\ frac {\ varphi ^ {n + 1} -1} {\ varphi -1}} - {\ frac {\ psi ^ {n + 1} -1 } {\ psi -1}} \\ amp; = {\ frac {\ varphi ^ {n + 1} -1} {- \ psi}} - {\ frac {\ psi ^ {n + 1} -1} { - \ varphi}} \\ amp; = {\ frac {- \ varphi ^ {n + 2} + \ varphi + \ psi ^ {n + 2} - \ psi} {\ varphi \ psi}} \\ amp; = \ varphi ^ {n + 2} - \ psi ^ {n + 2} - (\ varphi - \ psi) \\ amp; = {\ sqrt {5}} (F_ {n + 2} -1) \\\ end { alineado}}} según sea necesario, utilizando los hechos y para simplificar las ecuaciones. $$φψ=-1 {\ estilo de texto \ varphi \ psi = -1}$$φ-ψ= 5 {\ estilo de texto \ varphi - \ psi = {\ sqrt {5}}}

Otras identidades

Se pueden derivar muchas otras identidades utilizando varios métodos. Éstos son algunos de ellos:

Identidades de Cassini y Catalán

Artículo principal: Cassini y las identidades catalanas

La identidad de Cassini establece que

$$$$ F norte 2- F norte + 1 F norte - 1=(-1 ) norte - 1 {\ Displaystyle {F_ {n}} ^ {2} -F_ {n + 1} F_ {n-1} = (- 1) ^ {n-1}} La identidad del catalán es una generalización: $$$$ F norte 2- F norte + r F norte - r=(-1 ) norte - r F r 2 {\ Displaystyle {F_ {n}} ^ {2} -F_ {n + r} F_ {nr} = (- 1) ^ {nr} F_ {r} ^ {2}}

la identidad de d'Ocagne

$$$$ F metro F norte + 1- F metro + 1 F norte=(-1 ) norte F metro - norte {\ Displaystyle F_ {m} F_ {n + 1} -F_ {m + 1} F_ {n} = (- 1) ^ {n} F_ {mn}} $$$$ F 2 norte= F norte + 1 2- F norte - 1 2= F norte ( F norte + 1 + F norte - 1 )= F norte L norte {\ Displaystyle F_ {2n} = {F_ {n + 1}} ^ {2} - {F_ {n-1}} ^ {2} = F_ {n} \ left (F_ {n + 1} + F_ { n-1} \ derecha) = F_ {n} L_ {n}} donde L n es el n ° número de Lucas. La última es una identidad para duplicar n ; otras identidades de este tipo son $$$$ F 3 norte=2 F norte 3+3 F norte F norte + 1 F norte - 1=5 F norte 3+3(-1 ) norte F norte {\ Displaystyle F_ {3n} = 2 {F_ {n} ^ {3}} + 3F_ {n} F_ {n + 1} F_ {n-1} = 5 {F_ {n}} ^ {3} +3 (-1) ^ {n} F_ {n}} por la identidad de Cassini. $$$$ F 3 norte + 1= F norte + 1 3+3 F norte + 1 F norte 2- F norte 3 {\ Displaystyle F_ {3n + 1} = F_ {n + 1} ^ {3} + 3F_ {n + 1} {F_ {n}} ^ {2} -F_ {n} ^ {3}} $$$$ F 3 norte + 2= F norte + 1 3+3 F norte + 1 2 F norte+ F norte 3 {\ Displaystyle F_ {3n + 2} = F_ {n + 1} ^ {3} + 3F_ {n + 1} ^ {2} F_ {n} + {F_ {n}} ^ {3}} $$$$ F 4 norte=4 F norte F norte + 1 ( F norte + 1 2 + 2 F norte 2 )-3 F norte 2 ( F norte 2 + 2 F norte + 1 2 ) {\ Displaystyle F_ {4n} = 4F_ {n} F_ {n + 1} \ left ({F_ {n + 1}} ^ {2} +2 {F_ {n}} ^ {2} \ right) -3 {F_ {n}} ^ {2} \ left ({F_ {n}} ^ {2} +2 {F_ {n + 1}} ^ {2} \ right)} Estos se pueden encontrar experimentalmente usando la reducción de celosía y son útiles para configurar el tamiz de campo de números especiales para factorizar un número de Fibonacci.

Más generalmente,

$$$$ F k norte + C= ∑ I = 0 k ( k I ) F C - I F norte I F norte + 1 k - I. {\ Displaystyle F_ {kn + c} = \ sum _ {i = 0} ^ {k} {k \ elige i} F_ {ci} F_ {n} ^ {i} F_ {n + 1} ^ {ki}.}

o alternativamente

$$$$ F k norte + C= ∑ I = 0 k ( k I ) F C + I F norte I F norte - 1 k - I. {\ Displaystyle F_ {kn + c} = \ sum _ {i = 0} ^ {k} {k \ elige i} F_ {c + i} F_ {n} ^ {i} F_ {n-1} ^ { ki}.}

Poniendo k = 2 en esta fórmula, se obtienen nuevamente las fórmulas del final de la sección anterior Forma de matriz.

Función generadora

La función generadora de la secuencia de Fibonacci es la serie de potencias

$$$$s(X)= ∑ k = 0 ∞ F k X k= ∑ k = 1 ∞ F k X k=0+X+ X 2+2 X 3+3 X 4+.... {\ Displaystyle s (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} F_ {k} x ^ {k} = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} F_ {k} x ^ {k} = 0 + x + x ^ {2} + 2x ^ {3} + 3x ^ {4} + \ dots.}

Esta serie es convergente y su suma tiene una forma cerrada simple: $$

|X |lt; 1 φ, {\ Displaystyle | x | lt;{\ frac {1} {\ varphi}},}

$$$$s(X)= X 1 - X - X 2 {\ Displaystyle s (x) = {\ frac {x} {1-xx ^ {2}}}}

Esto se puede demostrar usando la recurrencia de Fibonacci para expandir cada coeficiente en la suma infinita:

$$$$ s ( X ) = ∑ k = 0 ∞ F k X k = F 0 + F 1 X + ∑ k = 2 ∞ F k X k = F 0 + F 1 X + ∑ k = 2 ∞ ( F k - 1 + F k - 2 ) X k = X + ∑ k = 2 ∞ F k - 1 X k + ∑ k = 2 ∞ F k - 2 X k = X + X ∑ k = 2 ∞ F k - 1 X k - 1 + X 2 ∑ k = 2 ∞ F k - 2 X k - 2 = X + X ∑ k = 1 ∞ F k X k + X 2 ∑ k = 0 ∞ F k X k = X + X s ( X ) + X 2 s ( X ) . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} s (x) amp; = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} F_ {k} x ^ {k} \\ amp; = F_ {0} + F_ {1} x + \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} F_ {k} x ^ {k} \\ amp; = F_ {0} + F_ {1} x + \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} \ left (F_ {k-1} + F_ {k-2} \ right) x ^ {k} \\ amp; = x + \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} F_ {k-1} x ^ {k} + \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} F_ {k-2} x ^ {k} \\ amp; = x + x \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} F_ { k-1} x ^ {k-1} + x ^ {2} \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} F_ {k-2} x ^ {k-2} \\ amp; = x + x \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} F_ {k} x ^ {k} + x ^ {2} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} F_ {k} x ^ {k} \\ amp; = x + xs (x) + x ^ {2} s (x). \ end {alineado}}}

Resolver la ecuación

$$$$s(X)=X+Xs(X)+ X 2s(X) {\ Displaystyle s (x) = x + xs (x) + x ^ {2} s (x)} para s ( x) resulta en la forma cerrada.

$$

-s(- 1 X) {\ Displaystyle -s (- {\ frac {1} {x}})}da la función generadora de los números negafibonacci y satisface la

ecuación funcional $$s(X) {\ Displaystyle s (x)} $$$$s(X)=s(- 1 X). {\ Displaystyle s (x) = s (- {\ frac {1} {x}}).}

La descomposición de la fracción parcial está dada por

$$$$s(X)= 1 5 ( 1 1 - φ X - 1 1 - ψ X ) {\ Displaystyle s (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ left ({\ frac {1} {1- \ varphi x}} - {\ frac {1} {1- \ psi x}} \ right)} donde es la proporción áurea y es su conjugado. $$φ= 1 + 5 2 {\ Displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$$ψ= 1 - 5 2 {\ Displaystyle \ psi = {\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {2}}}

Sumas recíprocas

Las sumas infinitas sobre números de Fibonacci recíprocos a veces se pueden evaluar en términos de funciones theta. Por ejemplo, podemos escribir la suma de cada número de Fibonacci recíproco de índice impar como

$$$$ ∑ k = 1 ∞ 1 F 2 k - 1= 5 4 ϑ 2 ( 0 , 3 - 5 2 ) 2, {\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {F_ {2k-1}}} = {\ frac {\ sqrt {5}} {4}} \; \, \ vartheta _ {2} \! \ left (0, {\ frac {3 - {\ sqrt {5}}} {2}} \ right) ^ {2},}

y la suma de los números de Fibonacci recíprocos al cuadrado como

$$$$ ∑ k = 1 ∞ 1 F k 2= 5 24 ( ϑ 2 ( 0 , 3 - 5 2 ) 4 - ϑ 4 ( 0 , 3 - 5 2 ) 4 + 1 ). {\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {{F_ {k}} ^ {2}}} = {\ frac {5} {24}} \ left (\ vartheta _ {2} \! \ left (0, {\ frac {3 - {\ sqrt {5}}} {2}} \ right) ^ {4} - \ vartheta _ {4} \! \ left (0, {\ frac {3 - {\ sqrt {5}}} {2}} \ right) ^ {4} +1 \ right).}

Si sumamos 1 a cada número de Fibonacci en la primera suma, también existe la forma cerrada

$$$$ ∑ k = 1 ∞ 1 1 + F 2 k - 1= 5 2, {\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {1 + F_ {2k-1}}} = {\ frac {\ sqrt {5}} {2}},}

y hay una suma anidada de números de Fibonacci al cuadrado que dan el recíproco de la proporción áurea,

$$$$ ∑ k = 1 ∞ ( - 1 ) k + 1 ∑ j = 1 k F j 2= 5 - 1 2. {\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k + 1}} {\ sum _ {j = 1} ^ {k} {F_ {j}} ^ {2}}} = {\ frac {{\ sqrt {5}} - 1} {2}}.}

La suma de todos los números de Fibonacci recíprocos de índice par es

$$$$ ∑ k = 1 ∞ 1 F 2 k= 5 ( L ( ψ 2 ) - L ( ψ 4 ) ) {\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {F_ {2k}}} = {\ sqrt {5}} \ left (L {\ bigl (} \ psi ^ { 2} {\ bigr)} - L {\ bigl (} \ psi ^ {4} {\ bigr)} \ right)} con la serie Lambert     desde   $$L(q): = ∑ k = 1 ∞ q k 1 - q k, {\ Displaystyle \ textstyle L (q): = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {k}} {1-q ^ {k}}},}$$ 1 F 2 k= 5 ( ψ 2 k 1 - ψ 2 k - ψ 4 k 1 - ψ 4 k ). {\ Displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {F_ {2k}}} = {\ sqrt {5}} \ left ({\ frac {\ psi ^ {2k}} {1- \ psi ^ {2k}} } - {\ frac {\ psi ^ {4k}} {1- \ psi ^ {4k}}} \ derecha).}

Entonces la constante de Fibonacci recíproca es

$$$$ ∑ k = 1 ∞ 1 F k= ∑ k = 1 ∞ 1 F 2 k - 1+ ∑ k = 1 ∞ 1 F 2 k=3.359885666243... {\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {F_ {k}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} { F_ {2k-1}}} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {F_ {2k}}} = 3.359885666243 \ dots}

Por otra parte, este número se ha demostrado irracional por Richard André-Jeannin.

La serie Millin da la identidad

$$$$ ∑ k = 0 ∞ 1 F 2 k= 7 - 5 2, {\ Displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {F_ {2 ^ {k}}}} = {\ frac {7 - {\ sqrt {5}}} {2 }},} que se sigue de la forma cerrada para sus sumas parciales cuando N tiende a infinito: $$$$ ∑ k = 0 norte 1 F 2 k=3- F 2 norte - 1 F 2 norte. {\ Displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {N} {\ frac {1} {F_ {2 ^ {k}}}} = 3 - {\ frac {F_ {2 ^ {N} -1}} {F_ {2 ^ {N}}}}.}

Primas y divisibilidad

Propiedades de divisibilidad

Cada tercer número de la secuencia es par y, de manera más general, cada k- ésimo número de la secuencia es un múltiplo de F k. Por tanto, la secuencia de Fibonacci es un ejemplo de secuencia de divisibilidad. De hecho, la secuencia de Fibonacci satisface la propiedad de divisibilidad más fuerte

$$$$gcd( F metro, F norte)= F gcd ( metro , norte ). {\ Displaystyle \ gcd (F_ {m}, F_ {n}) = F _ {\ gcd (m, n)}.}

Cualesquiera tres números de Fibonacci consecutivos son coprimos por pares, lo que significa que, para cada n,

mcd ( F n, F n +1) = mcd ( F n, F n +2) = mcd ( F n +1, F n +2) = 1.

Cada número primo p divide un número de Fibonacci que puede ser determinado por el valor de p módulo 5. Si p es congruente con 1 o 4 (mod 5), entonces p divide F p  - 1, y si p es congruente con 2 o 3 (mod 5), entonces, p divide F p  + 1. El caso restante es que p  = 5, y en este caso p divide F p.

$$$$ { pag = 5 ⇒ pag ∣ F pag , pag ≡ ± 1 ( modificación 5 ) ⇒ pag ∣ F pag - 1 , pag ≡ ± 2 ( modificación 5 ) ⇒ pag ∣ F pag + 1 . {\ Displaystyle {\ begin {cases} p = 5 amp; \ Rightarrow p \ mid F_ {p}, \\ p \ equiv \ pm 1 {\ pmod {5}} amp; \ Rightarrow p \ mid F_ {p-1}, \\ p \ equiv \ pm 2 {\ pmod {5}} amp; \ Rightarrow p \ mid F_ {p + 1}. \ end {cases}}}

Estos casos se pueden combinar en una única fórmula no dividida por partes, utilizando el símbolo de Legendre :

$$$$pag∣ F pag - ( 5 pag ). {\ Displaystyle p \ mid F_ {p- \ left ({\ frac {5} {p}} \ right)}.}

Prueba de primordialidad

La fórmula anterior se puede utilizar como prueba de primalidad en el sentido de que si

$$$$norte∣ F norte - ( 5 norte ), {\ Displaystyle n \ mid F_ {n- \ left ({\ frac {5} {n}} \ right)},} donde el símbolo de Legendre ha sido reemplazado por el símbolo de Jacobi, entonces esto es evidencia de que n es un primo, y si no se cumple, entonces n definitivamente no es un primo. Si n es compuesto y satisface la fórmula, entonces n es un pseudoprime de Fibonacci. Cuando m es grande, digamos un número de 500 bits, entonces podemos calcular F m (mod n) de manera eficiente usando la forma matricial. Por lo tanto $$$$ ( F metro + 1 F metro F metro F metro - 1)≡ ( 1 1 1 0) metro ( modificación norte ). {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} F_ {m + 1} amp; F_ {m} \\ F_ {m} amp; F_ {m-1} \ end {pmatrix}} \ equiv {\ begin {pmatrix} 1 amp; 1 \\ 1 amp; 0 \ end {pmatrix}} ^ {m} {\ pmod {n}}.} Aquí la matriz de alimentación A ^m se calcula usando exponenciación modular, que puede ser adaptada a las matrices.

Números primos de Fibonacci

Artículo principal: Fibonacci prime

Un número primo de Fibonacci es un número de Fibonacci que es primo. Los primeros son:

2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229,... OEIS :  A005478.

Se han encontrado números primos de Fibonacci con miles de dígitos, pero no se sabe si son infinitos.

F kn es divisible por F n, por lo que, aparte de F 4 = 3, cualquier prima de Fibonacci debe tener un índice de prima. Como hay series arbitrariamente largas de números compuestos, también hay series arbitrariamente largas de números compuestos de Fibonacci.

Ningún número de Fibonacci mayor que F 6 = 8 es uno mayor o uno menor que un número primo.

El único número de Fibonacci cuadrado no trivial es 144. Attila Pethő demostró en 2001 que sólo hay un número finito de números de Fibonacci de potencia perfecta. En 2006, Y. Bugeaud, M. Mignotte y S. Siksek demostraron que 8 y 144 son los únicos poderes perfectos no triviales.

1, 3, 21, 55 son los únicos números triangulares de Fibonacci, que fue conjeturado por Vern Hoggatt y probado por Luo Ming.

Ningún número de Fibonacci puede ser un número perfecto. De manera más general, ningún número de Fibonacci que no sea 1 puede ser perfecto al multiplicar, y ninguna proporción de dos números de Fibonacci puede ser perfecta.

Divisores primos

Con las excepciones de 1, 8 y 144 ( F 1 = F 2, F 6 y F 12), cada número de Fibonacci tiene un factor primo que no es un factor de ningún número de Fibonacci más pequeño ( teorema de Carmichael ). Como resultado, 8 y 144 ( F 6 y F 12) son los únicos números de Fibonacci que son el producto de otros números de Fibonacci OEIS :  A235383.

La divisibilidad de los números de Fibonacci por un primo p está relacionada con el símbolo de Legendre que se evalúa de la siguiente manera: $$

( pag 5 ) {\ Displaystyle \ left ({\ tfrac {p} {5}} \ right)}

$$$$ ( pag 5 )= { 0 si  pag = 5 1 si  pag ≡ ± 1 ( modificación 5 ) - 1 si  pag ≡ ± 2 ( modificación 5 ) . {\ Displaystyle \ left ({\ frac {p} {5}} \ right) = {\ begin {cases} 0 amp; {\ text {if}} p = 5 \\ 1 amp; {\ text {if}} p \ equiv \ pm 1 {\ pmod {5}} \\ - 1 amp; {\ text {if}} p \ equiv \ pm 2 {\ pmod {5}}. \ end {cases}}}

Si p es un número primo, entonces

$$$$ F pag≡ ( pag 5 ) ( modificación pag ) y F pag - ( pag 5 )≡0 ( modificación pag ). {\ Displaystyle F_ {p} \ equiv \ left ({\ frac {p} {5}} \ right) {\ pmod {p}} \ quad {\ text {y}} \ quad F_ {p- \ left ( {\ frac {p} {5}} \ right)} \ equiv 0 {\ pmod {p}}.}

Por ejemplo,

$$$$ ( 2 5 ) = - 1 , F 3 = 2 , F 2 = 1 , ( 3 5 ) = - 1 , F 4 = 3 , F 3 = 2 , ( 5 5 ) = 0 , F 5 = 5 , ( 7 5 ) = - 1 , F 8 = 21 , F 7 = 13 , ( 11 5 ) = + 1 , F 10 = 55 , F 11 = 89. {\ displaystyle {\ begin {alineado} ({\ tfrac {2} {5}}) amp; = - 1, amp; F_ {3} amp; = 2, amp; F_ {2} amp; = 1, \\ ({\ tfrac {3 } {5}}) amp; = - 1, amp; F_ {4} amp; = 3, amp; F_ {3} amp; = 2, \\ ({\ tfrac {5} {5}}) amp; = 0, amp; F_ {5} amp; = 5, \\ ({\ tfrac {7} {5}}) amp; = - 1, amp; F_ {8} amp; = 21, amp; F_ {7} amp; = 13, \\ ({\ tfrac {11} {5} }) amp; = + 1, amp; F_ {10} amp; = 55, amp; F_ {11} amp; = 89. \ end {alineado}}}

No se sabe si existe un primo p tal que

$$$$ F pag - ( pag 5 )≡0 ( modificación pag 2 ). {\ displaystyle F_ {p- \ left ({\ frac {p} {5}} \ right)} \ equiv 0 {\ pmod {p ^ {2}}}.}

Dichos números primos (si los hay) se llamarían números primos Muro-Sol-Sol.

Además, si p ≠ 5 es un número primo impar, entonces:

$$$$5 F pag ± 1 2 2≡ { 1 2 ( 5 ( pag 5 ) ± 5 ) ( modificación pag ) si  pag ≡ 1 ( modificación 4 ) 1 2 ( 5 ( pag 5 ) ∓ 3 ) ( modificación pag ) si  pag ≡ 3 ( modificación 4 ) . {\ displaystyle 5F _ {\ frac {p \ pm 1} {2}} ^ {2} \ equiv {\ begin {cases} {\ tfrac {1} {2}} \ left (5 \ left ({\ frac { p} {5}} \ right) \ pm 5 \ right) {\ pmod {p}} amp; {\ text {if}} p \ equiv 1 {\ pmod {4}} \\ {\ tfrac {1} { 2}} \ left (5 \ left ({\ frac {p} {5}} \ right) \ mp 3 \ right) {\ pmod {p}} amp; {\ text {if}} p \ equiv 3 {\ pmod {4}}. \ end {cases}}}

Ejemplo 1. p = 7, en este caso p ≡ 3 (mod 4) y tenemos:

$$$$( 7 5 ) = - 1 : 1 2 ( 5 ( 7 5 ) + 3 ) = - 1 , 1 2 ( 5 ( 7 5 ) - 3 ) = - 4. {\ displaystyle ({\ tfrac {7} {5}}) = - 1: \ qquad {\ tfrac {1} {2}} \ left (5 ({\ tfrac {7} {5}}) + 3 \ derecha) = - 1, \ quad {\ tfrac {1} {2}} \ left (5 ({\ tfrac {7} {5}}) - 3 \ right) = - 4.} $$$$ F 3=2  y  F 4=3. {\ Displaystyle F_ {3} = 2 {\ text {y}} F_ {4} = 3.} $$$$5 F 3 2=20≡-1 ( modificación 7 )  y 5 F 4 2=45≡-4 ( modificación 7 ) {\ Displaystyle 5F_ {3} ^ {2} = 20 \ equiv -1 {\ pmod {7}} \; \; {\ text {y}} \; \; 5F_ {4} ^ {2} = 45 \ equiv -4 {\ pmod {7}}}

Ejemplo 2. p = 11, en este caso p ≡ 3 (mod 4) y tenemos:

$$$$( 11 5 ) = + 1 : 1 2 ( 5 ( 11 5 ) + 3 ) = 4 , 1 2 ( 5 ( 11 5 ) - 3 ) = 1. {\ displaystyle ({\ tfrac {11} {5}}) = + 1: \ qquad {\ tfrac {1} {2}} \ left (5 ({\ tfrac {11} {5}}) + 3 \ derecha) = 4, \ quad {\ tfrac {1} {2}} \ left (5 ({\ tfrac {11} {5}}) - 3 \ right) = 1.} $$$$ F 5=5  y  F 6=8. {\ Displaystyle F_ {5} = 5 {\ text {y}} F_ {6} = 8.} $$$$5 F 5 2=125≡4 ( modificación 11 )  y 5 F 6 2=320≡1 ( modificación 11 ) {\ Displaystyle 5F_ {5} ^ {2} = 125 \ equiv 4 {\ pmod {11}} \; \; {\ text {y}} \; \; 5F_ {6} ^ {2} = 320 \ equiv 1 {\ pmod {11}}}

Ejemplo 3. p = 13, en este caso p ≡ 1 (mod 4) y tenemos:

$$$$( 13 5 ) = - 1 : 1 2 ( 5 ( 13 5 ) - 5 ) = - 5 , 1 2 ( 5 ( 13 5 ) + 5 ) = 0. {\ displaystyle ({\ tfrac {13} {5}}) = - 1: \ qquad {\ tfrac {1} {2}} \ left (5 ({\ tfrac {13} {5}}) - 5 \ derecha) = - 5, \ quad {\ tfrac {1} {2}} \ left (5 ({\ tfrac {13} {5}}) + 5 \ right) = 0.} $$$$ F 6=8  y  F 7=13. {\ Displaystyle F_ {6} = 8 {\ text {y}} F_ {7} = 13.} $$$$5 F 6 2=320≡-5 ( modificación 13 )  y 5 F 7 2=845≡0 ( modificación 13 ) {\ Displaystyle 5F_ {6} ^ {2} = 320 \ equiv -5 {\ pmod {13}} \; \; {\ text {y}} \; \; 5F_ {7} ^ {2} = 845 \ equiv 0 {\ pmod {13}}}

Ejemplo 4. p = 29, en este caso p ≡ 1 (mod 4) y tenemos:

$$$$( 29 5 ) = + 1 : 1 2 ( 5 ( 29 5 ) - 5 ) = 0 , 1 2 ( 5 ( 29 5 ) + 5 ) = 5. {\ displaystyle ({\ tfrac {29} {5}}) = + 1: \ qquad {\ tfrac {1} {2}} \ left (5 ({\ tfrac {29} {5}}) - 5 \ derecha) = 0, \ quad {\ tfrac {1} {2}} \ left (5 ({\ tfrac {29} {5}}) + 5 \ right) = 5.} $$$$ F 14=377  y  F 15=610. {\ Displaystyle F_ {14} = 377 {\ text {y}} F_ {15} = 610.} $$$$5 F 14 2=710645≡0 ( modificación 29 )  y 5 F 15 2=1860500≡5 ( modificación 29 ) {\ displaystyle 5F_ {14} ^ {2} = 710645 \ equiv 0 {\ pmod {29}} \; \; {\ text {y}} \; \; 5F_ {15} ^ {2} = 1860500 \ equiv 5 {\ pmod {29}}}

Para n impar, todos los divisores primos impares de F n son congruentes con 1 módulo 4, lo que implica que todos los divisores impares de F n (como productos de divisores primos impares) son congruentes con 1 módulo 4.

Por ejemplo,

$$$$ F 1=1, F 3=2, F 5=5, F 7=13, F 9=34=2⋅17, F 11=89, F 13=233, F 15=610=2⋅5⋅61. {\ Displaystyle F_ {1} = 1, F_ {3} = 2, F_ {5} = 5, F_ {7} = 13, F_ {9} = 34 = 2 \ cdot 17, F_ {11} = 89, F_ {13} = 233, F_ {15} = 610 = 2 \ cdot 5 \ cdot 61.}

Todos los factores conocidos de los números de Fibonacci F ( i) para todo i lt;50000 se recopilan en los repositorios relevantes.

Periodicidad módulo n

Artículo principal: período pisano

Si los miembros de la secuencia de Fibonacci se toman mod  n, la secuencia resultante es periódica con un período como máximo  6n. Las longitudes de los períodos para varios n forman los llamados períodos pisanos OEIS :  A001175. Determinar una fórmula general para los períodos pisano es un problema abierto, que incluye como subproblema una instancia especial del problema de encontrar el orden multiplicativo de un entero modular o de un elemento en un campo finito. Sin embargo, para cualquier n particular, el período de Pisano se puede encontrar como una instancia de detección de ciclo.

Magnitud

Dado que F n es asintótico con, el número de dígitos de F n es asintótico con. Como consecuencia, por cada entero d gt; 1 hay 4 o 5 números de Fibonacci con d dígitos decimales. $$

φ norte / 5 {\ Displaystyle \ varphi ^ {n} / {\ sqrt {5}}}$$norte Iniciar sesión 10⁡φ≈0,2090norte {\ Displaystyle n \ log _ {10} \ varphi \ approx 0.2090 \, n}

De manera más general, en la representación de base b, el número de dígitos en F n es asintótico a$$

norte Iniciar sesión B⁡φ. {\ Displaystyle n \ log _ {b} \ varphi.}

Generalizaciones

Artículo principal: Generalizaciones de números de Fibonacci

La secuencia de Fibonacci es una de las secuencias conocidas más simples y tempranas definidas por una relación de recurrencia, y específicamente por una ecuación de diferencia lineal. Todas estas secuencias pueden verse como generalizaciones de la secuencia de Fibonacci. En particular, la fórmula de Binet se puede generalizar a cualquier secuencia que sea una solución de una ecuación en diferencia lineal homogénea con coeficientes constantes.

Algunos ejemplos específicos que están cerca, en cierto sentido, de la secuencia de Fibonacci incluyen:

• Generalizar el índice a números enteros negativos para producir los números de negafibonacci.
• Generalización del índice a números reales mediante una modificación de la fórmula de Binet.
• Comenzando con otros enteros. Los números de Lucas tienen L 1 = 1, L 2 = 3 y L n = L n −1 + L n −2. Las secuencias Primefree utilizan la recursividad de Fibonacci con otros puntos de partida para generar secuencias en las que todos los números son compuestos.
• Dejar que un número sea una función lineal (distinta de la suma) de los 2 números anteriores. Los números de Pell tienen P n = 2 P n - 1 + P n - 2. Si al coeficiente del valor anterior se le asigna un valor variable x, el resultado es la secuencia de polinomios de Fibonacci.
• No sumar los números inmediatamente anteriores. La secuencia de Padovan y los números de Perrin tienen P ( n) = P ( n - 2) + P ( n - 3).
• Generar el siguiente número sumando 3 números (números tribonacci), 4 números (números tetranacci) o más. Las secuencias resultantes se conocen como números de Fibonacci de n pasos.

Aplicaciones

Matemáticas

Los números de Fibonacci son las sumas de las diagonales "superficiales" (mostradas en rojo) del triángulo de Pascal.

Los números de Fibonacci ocurren en las sumas de diagonales "superficiales" en el triángulo de Pascal (ver coeficiente binomial ):

La función generadora se puede expandir a

$$$$ X 1 - X - X 2=X+ X 2(1+X)+ X 3(1+X ) 2+⋯+ X k + 1(1+X ) k+⋯= ∑ norte = 0 ∞ F norte X norte {\ Displaystyle {\ frac {x} {1-xx ^ {2}}} = x + x ^ {2} (1 + x) + x ^ {3} (1 + x) ^ {2} + \ dots + x ^ {k + 1} (1 + x) ^ {k} + \ dots = \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} F_ {n} x ^ {n}} y recopilando términos similares de, tenemos la identidad $$ X norte {\ Displaystyle x ^ {n}} $$$$ F norte= ∑ k = 0 ⌊ norte - 1 2 ⌋ ( norte - k - 1 k ). {\ Displaystyle F_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n-1} {2}} \ right \ rfloor} {\ binom {nk-1} {k} }.}

Para ver cómo se usa la fórmula, podemos ordenar las sumas por el número de términos presentes:

5	= 1 + 1 + 1 + 1 + 1
	= 2 + 1 + 1 + 1	= 1 + 2 + 1 + 1	= 1 + 1 + 2 + 1	= 1 + 1 + 1 + 2
	= 2 + 2 + 1	= 2 + 1 + 2	= 1 + 2 + 2

es decir, donde estamos eligiendo las posiciones de k dos de nk-1 términos. $$

( 5 0 )+ ( 4 1 )+ ( 3 2 ) {\ displaystyle {\ binom {5} {0}} + {\ binom {4} {1}} + {\ binom {3} {2}}}

Uso de la secuencia de Fibonacci para contar composiciones restringidas {1, 2}

Estos números también dan la solución a ciertos problemas enumerativos, el más común de los cuales es el de contar el número de formas de escribir un número dado n como una suma ordenada de 1 y 2 (llamadas composiciones ); hay F n +1 formas de hacer esto (de manera equivalente, también es el número de mosaicos dominó del rectángulo). Por ejemplo, hay F 5 + 1 = F 6 = 8 formas en las que uno puede subir una escalera de 5 escalones, dando uno o dos escalones a la vez: $$

2×norte {\ Displaystyle 2 \ times n}

5	= 1 + 1 + 1 + 1 + 1	= 2 + 1 + 1 + 1	= 1 + 2 + 1 + 1	= 1 + 1 + 2 + 1	= 2 + 2 + 1
	= 1 + 1 + 1 + 2	= 2 + 1 + 2	= 1 + 2 + 2

La figura muestra que 8 se puede descomponer en 5 (el número de formas de subir 4 escalones, seguido de un solo paso) más 3 (el número de formas de subir 3 escalones, seguido de un paso doble). El mismo razonamiento se aplica de forma recursiva hasta un solo escalón, del cual solo hay un camino para subir.

Los números de Fibonacci se pueden encontrar de diferentes formas entre el conjunto de cadenas binarias, o de manera equivalente, entre los subconjuntos de un conjunto dado.

• El número de cadenas binarias de longitud n sin 1 s consecutivos es el número de Fibonacci F n +2. Por ejemplo, de las 16 cadenas binarias de longitud 4, hay F 6 = 8 sin 1 s consecutivos: son 0000, 0001, 0010, 0100, 0101, 1000, 1001 y 1010. De manera equivalente, F n +2 es el número de subconjuntos Sde {1,..., n } sin enteros consecutivos, es decir, aquellos S para los cuales { i, i + 1} ⊈ S para todo i. Una biyección con las sumas an + 1 es reemplazar 1 con 0 y 2 con 10, y eliminar el último cero.
• El número de cadenas binarias de longitud n sin un número impar de 1 s consecutivos es el número de Fibonacci F n + 1. Por ejemplo, de las 16 cadenas binarias de longitud 4, hay F 5 = 5 sin un número impar de 1 s consecutivos ; son 0000, 0011, 0110, 1100, 1111. De manera equivalente, el número de subconjuntos S de {1,..., n } sin un número impar de enteros consecutivos es F n +1. Una biyección con las sumas an es reemplazar 1 con 0 y 2 con 11.
• El número de cadenas binarias de longitud n sin un número par de 0 s o 1 s consecutivos es 2 F n. Por ejemplo, de las 16 cadenas binarias de longitud 4, hay 2 F 4 = 6 sin un número par de 0 s o 1 s consecutivos ; son 0001, 0111, 0101, 1000, 1010, 1110. Hay un equivalente declaración sobre subconjuntos.
• Yuri Matiyasevich pudo demostrar que los números de Fibonacci se pueden definir mediante una ecuación diofántica, lo que lo llevó a resolver el décimo problema de Hilbert.
• Los números de Fibonacci también son un ejemplo de una secuencia completa. Esto significa que cada entero positivo se puede escribir como una suma de números de Fibonacci, donde cualquier número se usa una vez como máximo.
• Además, cada entero positivo se puede escribir de una manera única como la suma de uno o más números de Fibonacci distintos de tal manera que la suma no incluya dos números de Fibonacci consecutivos. Esto se conoce como teorema de Zeckendorf, y una suma de números de Fibonacci que satisface estas condiciones se llama representación de Zeckendorf. La representación de Zeckendorf de un número se puede utilizar para derivar su codificación Fibonacci.
• Comenzando con 5, cada segundo número de Fibonacci es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con lados enteros, o en otras palabras, el número más grande en un triple pitagórico, obtenido de la fórmula $$$$( F norte F norte + 3 ) 2+(2 F norte + 1 F norte + 2 ) 2= F 2 norte + 3 2. {\ Displaystyle (F_ {n} F_ {n + 3}) ^ {2} + (2F_ {n + 1} F_ {n + 2}) ^ {2} = {F_ {2n + 3}} ^ {2 }.} La secuencia de triángulos pitagóricos obtenida de esta fórmula tiene lados de longitudes (3, 4, 5), (5, 12, 13), (16, 30, 34), (39, 80, 89),... El lado de cada uno de estos triángulos es la suma de los tres lados del triángulo anterior.
• El cubo de Fibonacci es un gráfico no dirigido con un número de nodos de Fibonacci que se ha propuesto como topología de red para computación en paralelo.
• Los números de Fibonacci aparecen en el lema del anillo, que se utiliza para probar las conexiones entre el teorema del empaquetamiento circular y los mapas conformes.

Ciencias de la Computación

Árbol de Fibonacci de altura 6. Factores de equilibrio verde; alturas rojo. Las claves en la columna izquierda son números de Fibonacci.

• Los números de Fibonacci son importantes en el análisis computacional en tiempo de ejecución del algoritmo de Euclid para determinar el máximo común divisor de dos enteros: la entrada del peor caso para este algoritmo es un par de números de Fibonacci consecutivos.
• Los números de Fibonacci se utilizan en una versión polifásica del algoritmo de clasificación por fusión en el que una lista sin clasificar se divide en dos listas cuyas longitudes corresponden a números de Fibonacci secuenciales, dividiendo la lista de modo que las dos partes tengan longitudes en la proporción aproximada φ. En The Art of Computer Programming se describió una implementación de unidad de cinta del tipo de fusión polifásica.
• Un árbol de Fibonacci es un árbol binario cuyos árboles hijos (recursivamente) difieren en altura exactamente 1. Por lo tanto, es un árbol AVL, y uno con la menor cantidad de nodos para una altura determinada: el árbol AVL "más delgado". Estos árboles tienen un número de vértices que es un número de Fibonacci menos uno, un hecho importante en el análisis de árboles AVL.
• Los números de Fibonacci son utilizados por algunos generadores de números pseudoaleatorios.
• Los números de Fibonacci surgen en el análisis de la estructura de datos del montón de Fibonacci.
• Un método de optimización unidimensional, llamado técnica de búsqueda de Fibonacci, utiliza números de Fibonacci.
• La serie de números de Fibonacci se utiliza para la compresión con pérdida opcional en el formato de archivo de audio IFF 8SVX utilizado en las computadoras Amiga. La serie numérica compara la onda de audio original de forma similar a los métodos logarítmicos como la ley μ.
• También se utilizan en la planificación del póquer, que es un paso en la estimación de proyectos de desarrollo de software que utilizan la metodología Scrum.

Naturaleza

Más información: Patrones en la naturaleza Ver también: Proporción áurea § Naturaleza Cabeza de manzanilla amarilla que muestra la disposición en 21 espirales (azul) y 13 (aguamarina). Tales arreglos que involucran números de Fibonacci consecutivos aparecen en una amplia variedad de plantas.

Las secuencias de Fibonacci aparecen en entornos biológicos, como la ramificación de los árboles, la disposición de las hojas en un tallo, los frutos de una piña, la floración de una alcachofa, un helecho que se desenrolla y la disposición de una piña, y el árbol genealógico de las abejas. Kepler señaló la presencia de la secuencia de Fibonacci en la naturaleza, usándola para explicar la forma pentagonal ( relacionada con la proporción áurea ) de algunas flores. Las margaritas de campo suelen tener pétalos en números de Fibonacci. En 1754, Charles Bonnet descubrió que la filotaxis en espiral de las plantas se expresaba con frecuencia en series de números de Fibonacci.

Przemysław Prusinkiewicz propuso la idea de que las instancias reales pueden entenderse en parte como la expresión de ciertas restricciones algebraicas en grupos libres, específicamente como ciertas gramáticas de Lindenmayer.

Ilustración del modelo de Vogel's para n = 1... 500

Helmut Vogel propuso en 1979 un modelo para el patrón de floretes en la cabeza de un girasol. Este tiene la forma

$$$$θ= 2 π φ 2norte, r=C norte {\ Displaystyle \ theta = {\ frac {2 \ pi} {\ varphi ^ {2}}} n, \ r = c {\ sqrt {n}}}

donde n es el número índice de la flor yc es un factor de escala constante; las florecillas reposan así en la espiral de Fermat. El ángulo de divergencia, aproximadamente 137,51 °, es el ángulo áureo, que divide el círculo en la proporción áurea. Debido a que esta proporción es irracional, ningún florete tiene un vecino exactamente en el mismo ángulo desde el centro, por lo que los floretes se compactan de manera eficiente. Debido a que las aproximaciones racionales a la proporción áurea son de la forma F ( j): F ( j + 1), los vecinos más cercanos del número de flósculos n son los que están en n ± F ( j) para algún índice j, que depende de r, la distancia desde el centro. Los girasoles y flores similares suelen tener espirales de floretes en el sentido de las agujas del reloj y en sentido contrario a las agujas del reloj en la cantidad de números de Fibonacci adyacentes, normalmente contados por el rango más externo de radios.

Los números de Fibonacci también aparecen en los pedigríes de las abejas idealizadas, de acuerdo con las siguientes reglas:

• Si un huevo es puesto por una hembra sin aparear, eclosiona un macho o una abeja zángano.
• Sin embargo, si un óvulo fue fertilizado por un macho, eclosiona una hembra.

Por lo tanto, una abeja macho siempre tiene un padre y una abeja hembra tiene dos. Si uno rastrea el pedigrí de cualquier abeja macho (1 abeja), tiene 1 padre (1 abeja), 2 abuelos, 3 bisabuelos, 5 tatarabuelos, etc. Esta secuencia de números de padres es la secuencia de Fibonacci. El número de antepasados ​​en cada nivel, F n, es el número de antepasados ​​femeninos, que es F n −1, más el número de antepasados ​​masculinos, que es F n −2. Esto es bajo la suposición poco realista de que los antepasados ​​en cada nivel no están relacionados de otra manera.

El número de posibles ancestros en la línea de herencia del cromosoma X en una generación ancestral determinada sigue la secuencia de Fibonacci. (Después de Hutchison, L. "Cultivando el árbol genealógico: El poder del ADN en la reconstrucción de las relaciones familiares".)

Se ha observado que el número de posibles antepasados ​​en la línea de herencia del cromosoma X humano en una generación ancestral determinada también sigue la secuencia de Fibonacci. Un individuo masculino tiene un cromosoma X, que recibió de su madre, y un cromosoma Y, que recibió de su padre. El macho cuenta como el "origen" de su propio cromosoma X (), y en la generación de sus padres, su cromosoma X proviene de un solo padre (). La madre del varón recibió un cromosoma X de su madre (la abuela materna del hijo) y uno de su padre (el abuelo materno del hijo), por lo que dos abuelos contribuyeron al cromosoma X del descendiente masculino (). El abuelo materno recibió su cromosoma X de su madre y la abuela materna recibió cromosomas X de ambos padres, por lo que tres bisabuelos contribuyeron al cromosoma X del descendiente masculino (). Cinco tatarabuelos contribuyeron al cromosoma X del descendiente masculino (), etc. (Esto supone que todos los antepasados ​​de un descendiente dado son independientes, pero si alguna genealogía se remonta lo suficiente en el tiempo, los antepasados ​​comienzan a aparecer en múltiples líneas de la genealogía, hasta que finalmente aparece un fundador de la población en todas las líneas de la genealogía). $$

F 1=1 {\ Displaystyle F_ {1} = 1}$$ F 2=1 {\ Displaystyle F_ {2} = 1}$$ F 3=2 {\ Displaystyle F_ {3} = 2}$$ F 4=3 {\ Displaystyle F_ {4} = 3}$$ F 5=5 {\ Displaystyle F_ {5} = 5}

Las vías de las tubulinas en los microtúbulos intracelulares se organizan en patrones de 3, 5, 8 y 13.

Otro

• En óptica, cuando un haz de luz brilla en ángulo a través de dos placas transparentes apiladas de diferentes materiales de diferentes índices de refracción, puede reflejarse en tres superficies: las superficies superior, media e inferior de las dos placas. El número de trayectorias de haz diferentes que tienen k reflexiones, para k gt; 1, es el número de Fibonacci. (Sin embargo, cuando k = 1, hay tres trayectorias de reflexión, no dos, una para cada una de las tres superficies).$$k {\ Displaystyle k}
• Los niveles de retroceso de Fibonacci se utilizan ampliamente en el análisis técnico para el comercio del mercado financiero.
• Dado que el factor de conversión 1,609344 de millas a kilómetros está cerca de la proporción áurea, la descomposición de la distancia en millas en una suma de números de Fibonacci se convierte en casi la suma de kilómetros cuando los números de Fibonacci son reemplazados por sus sucesores. Este método equivale a un registro numérico de la raíz 2 en la base de proporción áurea φ que se desplaza. Para convertir kilómetros a millas, mueva el registro hacia abajo en la secuencia de Fibonacci.
• Brasch y col. 2012 muestran cómo una secuencia de Fibonacci generalizada también se puede conectar al campo de la economía. En particular, se muestra cómo una secuencia de Fibonacci generalizada entra en la función de control de problemas de optimización dinámica de horizonte finito con un estado y una variable de control. El procedimiento se ilustra en un ejemplo al que a menudo se hace referencia como modelo de crecimiento económico de Brock-Mirman.
• Mario Merz incluyó la secuencia de Fibonacci en algunas de sus obras de arte a partir de 1970.
• Joseph Schillinger (1895-1943) desarrolló un sistema de composición que utiliza intervalos de Fibonacci en algunas de sus melodías; él los veía como la contraparte musical de la elaborada armonía evidente dentro de la naturaleza. Véase también Proporción áurea § Música.

Ver también

• Principio de onda de Elliott
• Embree-Trefethen constante
• La Asociación Fibonacci
• Números de Fibonacci en la cultura popular
• Palabra de fibonacci
• Ley fuerte de los números pequeños
• Verner Emil Hoggatt Jr.
• Matriz de Wythoff
• Retroceso de Fibonacci

Referencias

Notas al pie

Citas

Trabajos citados

• Ball, Keith M (2003), "8: Los conejos de Fibonacci revisitados", Curvas extrañas, contando conejos y otras exploraciones matemáticas, Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, ISBN   978-0-691-11321-0.
• Beck, Matthias; Geoghegan, Ross (2010), The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics, Nueva York: Springer, ISBN   978-1-4419-7022-0.
• Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics (3.a ed.), Nueva Jersey: World Scientific, ISBN   978-981-4335-23-2.
• Bóna, Miklós (2016), A Walk Through Combinatorics (cuarta edición revisada), Nueva Jersey: World Scientific, ISBN   978-981-3148-84-0.
• Borwein, Jonathan M. ; Borwein, Peter B. (julio de 1998), Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity, Wiley, págs. 91-101, ISBN   978-0-471-31515-5
• Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad: de Euler a Eisenstein, Monografías de Springer en matemáticas, Nueva York: Springer, ISBN   978-3-540-66957-9.
• Livio, Mario (2003) [2002]. La proporción áurea: la historia de Phi, el número más asombroso del mundo (Primera edición comercial en rústica). Ciudad de Nueva York: Broadway Books. ISBN   0-7679-0816-3.
• Lucas, Édouard (1891), Théorie des nombres (en francés), 1, París: Gauthier-Villars, https://books.google.com/books?id=_hsPAAAAIAAJ.
• Pisano, Leonardo (2002), Liber Abaci de Fibonacci: una traducción al inglés moderno del libro de cálculo, fuentes y estudios en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas, Sigler, Laurence E, trans, Springer, ISBN   978-0-387-95419-6

enlaces externos

Wikiquote tiene citas relacionadas con: número de Fibonacci

Wikilibros tiene un libro sobre el tema de: programa numérico de Fibonacci

• Períodos de las secuencias de Fibonacci Mod m en MathPages
• Los científicos encuentran pistas sobre la formación de espirales de Fibonacci en la naturaleza
• Secuencia de Fibonacci en In Our Time en la BBC
• "Números de Fibonacci", Enciclopedia de Matemáticas, EMS Press, 2001 [1994]
• Secuencia OEIS A000045 (números de Fibonacci)