Fuerza ficticia

Ver también: Mecánica del movimiento de partículas planas

Parte de una serie sobre
Mecanica clasica
$$ F= D D t(metro v) {\ Displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})} Segunda ley del movimiento
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Rotación Movimiento circular Marco de referencia giratorio Fuerza centrípeta Fuerza centrífuga reactivo fuerza Coriolis Péndulo Velocidad tangencial Velocidad rotacional Aceleración angular  / desplazamiento  / frecuencia  / velocidad
Científicos Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton Poisson Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
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Una fuerza ficticia (también llamada pseudo fuerza, fuerza de d'Alembert o fuerza de inercia) es una fuerza que parece actuar sobre una masa cuyo movimiento se describe utilizando un marco de referencia no inercial, como un marco de referencia en aceleración o rotación.. Un ejemplo se ve en un vehículo de pasajeros que está acelerando en la dirección de avance: los pasajeros perciben que una fuerza en la dirección hacia atrás actúa sobre ellos y los empuja hacia atrás en sus asientos. Un ejemplo en un marco de referencia giratorio es la fuerza que parece empujar los objetos hacia el borde de una centrífuga. Estas fuerzas aparentes son ejemplos de fuerzas ficticias.

La fuerza ficticia F se debe a la inercia de un objeto cuando el marco de referencia no se mueve inercialmente y, por lo tanto, comienza a acelerar en relación con el objeto libre. Por tanto, la fuerza ficticia no surge de ninguna interacción física entre dos objetos, como el electromagnetismo o las fuerzas de contacto, sino más bien de la aceleración a del propio marco de referencia no inercial, que desde el punto de vista del marco ahora parece ser una aceleración. del objeto, requiriendo una "fuerza" para que esto suceda. Como dijo Iro:

Esta fuerza adicional debida al movimiento relativo no uniforme de dos marcos de referencia se denomina pseudofuerza.

-  H. Iro en Un enfoque moderno de la mecánica clásica p. 180

Suponiendo la segunda ley de Newton en la forma F  =  m a, las fuerzas ficticias son siempre proporcionales a la masa m.

La fuerza ficticia sobre un objeto surge como una influencia imaginaria, cuando el marco de referencia utilizado para describir el movimiento del objeto se acelera en comparación con un marco sin aceleración. La fuerza ficticia "explica", utilizando la mecánica de Newton, por qué un objeto no sigue las leyes de Newton y "flota libremente" como si no tuviera peso. Así como una trama puede acelerar de cualquier forma arbitraria, las fuerzas ficticias también pueden ser arbitrarias (pero solo en respuesta directa a la aceleración de la trama). Sin embargo, se definen cuatro fuerzas ficticias para los fotogramas acelerados de manera común: una causada por cualquier aceleración relativa del origen en línea recta ( aceleración rectilínea); dos que involucran rotación: fuerza centrífuga y fuerza de Coriolis ; y una cuarta, llamada fuerza de Euler, causada por una tasa de rotación variable, si eso ocurriera.

La fuerza gravitacional también sería una fuerza ficticia basada en un modelo de campo en el que las partículas distorsionan el espacio-tiempo debido a su masa, como la relatividad general.

En el marco de referencia inercial (parte superior de la imagen), la bola negra se mueve en línea recta. Sin embargo, el observador (punto marrón) que se encuentra en el marco de referencia giratorio / no inercial (parte inferior de la imagen) ve que el objeto sigue una trayectoria curva debido a las fuerzas de Coriolis o centrífugas presentes en este marco.

• 1 Antecedentes
• 2 en la tierra
• 3 Detección de marco de referencia no inercial
• 4 ejemplos
  • 4.1 Aceleración en línea recta
  • 4.2 Movimiento circular
  • 4.3 Fuerzas y trabajo ficticios
• 5 La gravedad como fuerza ficticia
• 6 Derivación matemática de fuerzas ficticias
  • 6.1 Derivación general
  • 6.2 Sistemas de coordenadas rotativos
  • 6.3 Sistemas de coordenadas en órbita
  • 6.4 Orbitando y girando
  • 6.5 Cruzando un carrusel
    • 6.5.1 Observador inercial
    • 6.5.2 Observador rotatorio
  • 6.6 Observación
• 7 Véase también
• 8 notas
• 9 Lecturas adicionales
• 10 enlaces externos

Fondo

Ver también: Espacio y tiempo absolutos y Marco preferido

Tonnelat describe el papel de las fuerzas ficticias en la mecánica newtoniana:

Para Newton, la aparición de aceleración siempre indica la existencia de movimiento absoluto - movimiento absoluto de la materia en lo que respecta a las fuerzas reales ; movimiento absoluto del sistema de referencia, en lo que respecta a las llamadas fuerzas ficticias, como las fuerzas de inercia o las de Coriolis.

-  Marie-Antoinette Tonnelat en Los principios de la teoría electromagnética y la relatividad, p. 113

Las fuerzas ficticias surgen en la mecánica clásica y la relatividad especial en todos los marcos no inerciales. Los marcos inerciales tienen privilegios sobre los marcos no inerciales porque no tienen física cuyas causas están fuera del sistema, mientras que los marcos no inerciales sí. Las fuerzas ficticias, o la física cuya causa está fuera del sistema, ya no son necesarias en la relatividad general, ya que estas físicas se explican con las geodésicas del espacio-tiempo.

En la tierra

Ver también: fuerza centrífuga, fuerza de Coriolis y fuerza de Euler

La superficie de la Tierra es un marco de referencia giratorio. Para resolver problemas de mecánica clásica exactamente en un marco de referencia terrestre, se deben introducir tres fuerzas ficticias: la fuerza de Coriolis, la fuerza centrífuga (descrita a continuación) y la fuerza de Euler. La fuerza de Euler generalmente se ignora porque las variaciones en la velocidad angular de la superficie de la Tierra en rotación suelen ser insignificantes. Las otras dos fuerzas ficticias son débiles en comparación con la mayoría de las fuerzas típicas de la vida cotidiana, pero pueden detectarse bajo condiciones cuidadosas. Por ejemplo, Léon Foucault usó su péndulo de Foucault para mostrar que una fuerza de Coriolis resulta de la rotación de la Tierra. Si la Tierra girara veinte veces más rápido (haciendo que cada día durara solo ~ 72 minutos), la gente fácilmente podría tener la impresión de que fuerzas ficticias tiraban de ellos, como en un carrusel giratorio; De hecho, las personas de latitudes templadas y tropicales necesitarían aguantar para evitar ser lanzadas a la órbita por la fuerza centrífuga.

Detección de marco de referencia no inercial

Ver también: marco de referencia inercial

Los observadores dentro de una caja cerrada que se mueve con una velocidad constante no pueden detectar su propio movimiento; sin embargo, los observadores dentro de un marco de referencia acelerado pueden detectar que están en un marco de referencia no inercial a partir de las fuerzas ficticias que surgen. Por ejemplo, para la aceleración en línea recta, Vladimir Arnold presenta el siguiente teorema:

En un sistema de coordenadas K que se mueve por traslación con respecto a un sistema inercial k, el movimiento de un sistema mecánico tiene lugar como si el sistema de coordenadas fuera inercial, pero en cada punto de masa m actuaba una "fuerza inercial" adicional: F  = - m un, donde una es la aceleración del sistema K.

Otras aceleraciones también dan lugar a fuerzas ficticias, como se describe matemáticamente a continuación. La explicación física de los movimientos en un marco inercial es la más simple posible y no requiere fuerzas ficticias: las fuerzas ficticias son cero, lo que proporciona un medio para distinguir los marcos inerciales de otros.

Un ejemplo de detección de un sistema de referencia giratorio no inercial es la precesión de un péndulo de Foucault. En el marco no inercial de la Tierra, la fuerza de Coriolis ficticia es necesaria para explicar las observaciones. En un marco inercial fuera de la Tierra, no se necesita tal fuerza ficticia.

Ejemplos de

Aceleración en línea recta

Figura 1: Panel superior: coche en aceleración de masa M con pasajero de masa m. La fuerza del eje es ( m + M) a. En el marco de inercia, esta es la única fuerza sobre el automóvil y el pasajero. Panel central: una vista explosionada en el marco inercial. El pasajero está sujeto a la fuerza de aceleración m a. El asiento (que se supone de masa despreciable) se comprime entre la fuerza de reacción - m una y la fuerza aplicada desde el coche m una. El automóvil está sujeto a la fuerza de aceleración neta M a, que es la diferencia entre la fuerza aplicada ( m + M) a desde el eje y la reacción desde el asiento - m a. Panel inferior: una vista despiezada en el marco no inercial. En el marco no inercial donde el coche no se está acelerando, la fuerza desde el eje está equilibrada por una fuerza hacia atrás ficticio - ( m + M) una, una parte - M un aplicado al coche, y - m una al pasajero. El automóvil está sujeto a la fuerza ficticia - M a y la fuerza ( m + M) a del eje. La suma de estas fuerzas m a se aplica al asiento, que ejerce una reacción - m a sobre el automóvil, por lo que se aplica una fuerza neta cero al automóvil. El asiento (sin masa asumida) transmite la fuerza m una al pasajero, que está sujeto también a la fuerza ficticia - m una, resultando en cero fuerza neta sobre el pasajero. El pasajero ejerce una fuerza de reacción - m un sobre el asiento, por lo tanto, que se comprime. En todos los cuadros, la compresión del asiento es la misma y la fuerza entregada por el eje es la misma.

La figura 1 (arriba) muestra un automóvil en aceleración. Cuando un automóvil acelera, el pasajero siente que lo empujan hacia atrás en el asiento. En un marco de referencia inercial unido a la carretera, no hay fuerza física que mueva al ciclista hacia atrás. Sin embargo, en sistema de referencia no inercial del conductor conectado al coche acelerar, no es una fuerza ficticia hacia atrás. Mencionamos dos posibles razones para que la fuerza aclare su existencia (de la fuerza):

• Figura 1 (panel central). Para un observador en reposo sobre un marco de referencia inercial (como el suelo), el automóvil parecerá acelerar. Para que el pasajero permanezca dentro del automóvil, se debe ejercer una fuerza sobre el pasajero. Esta fuerza es ejercida por el asiento, que ha comenzado a moverse hacia adelante con el automóvil y se comprime contra el pasajero hasta que transmite toda la fuerza para mantener al pasajero en movimiento con el automóvil. Así, las fuerzas ejercidas por el asiento están desequilibradas, por lo que el pasajero está acelerando en este marco.
• Figura 1 (panel inferior). Desde el punto de vista del interior del automóvil, un marco de referencia de aceleración, hay una fuerza ficticia que empuja al pasajero hacia atrás, con una magnitud igual a la masa del pasajero multiplicada por la aceleración del automóvil. Esta fuerza empuja al pasajero hacia atrás en el asiento, hasta que el asiento se comprime y proporciona una fuerza igual y opuesta. A partir de entonces, el pasajero está parado en este marco, porque la fuerza ficticia y la fuerza real del asiento están equilibradas.

Se descubre que el marco de aceleración no es inercial porque en el marco de aceleración, todo parece estar sujeto a una fuerza neta cero y nada se mueve. No obstante, la compresión del asiento se observa y se explica en el marco de aceleración (y en un marco de inercia) por la fuerza de aceleración en el asiento del automóvil en un lado y la fuerza opuesta de reacción a la aceleración del pasajero en el otro. La identificación del marco acelerador como no inercial no puede basarse simplemente en la compresión del asiento, que todos los observadores pueden explicar; más bien se basa en la simplicidad de la explicación física de esta compresión.

La explicación de la compresión del asiento en el marco de aceleración requiere no solo el empuje del eje del automóvil, sino también fuerzas adicionales (ficticias). En un marco inercial, solo es necesario el empuje del eje. Por lo tanto, el marco inercial tiene una explicación física más simple (no necesariamente una formulación matemática más simple), lo que indica que el marco acelerado es un marco de referencia no inercial. En otras palabras, en el marco inercial, las fuerzas ficticias son cero. Ver marco inercial.

Este ejemplo ilustra cómo surgen fuerzas ficticias al cambiar de un marco de referencia inercial a uno no inercial. Los cálculos de cantidades físicas (compresión del asiento, fuerza requerida del eje) realizados en cualquier marco dan las mismas respuestas, pero en algunos casos los cálculos son más fáciles de realizar en un marco no inercial. (En este ejemplo simple, los cálculos son igualmente complejos para los dos marcos descritos).

Animación: conducir de cuadra en cuadra
Perspectivas del mapa y el marco del automóvil de las fuerzas físicas (rojo) y ficticias (azul) para un automóvil que conduce de una señal de alto a la siguiente En esta ilustración, el automóvil acelera después de una señal de alto hasta la mitad de la cuadra, momento en el que el conductor deja inmediatamente el acelerador y el freno para hacer la siguiente parada.

Movimiento circular

Ver también: fuerza centrífuga y fuerza de Coriolis

Un efecto similar ocurre en el movimiento circular, circular desde el punto de vista de un marco de referencia inercial unido a la carretera. Cuando se ve desde un marco de referencia no inercial unido al automóvil, aparece la fuerza ficticia llamada fuerza centrífuga. Si el automóvil se mueve a velocidad constante alrededor de una sección circular de la carretera, los ocupantes se sentirán empujados hacia afuera por esta fuerza centrífuga, lejos del centro de la curva. Nuevamente, la situación se puede ver desde marcos inerciales o no inerciales:

• Desde el punto de vista de un marco de referencia inercial estacionario con respecto a la carretera, el automóvil está acelerando hacia el centro del círculo. Esta aceleración es necesaria porque la dirección de la velocidad está cambiando, a pesar de una velocidad constante. Esta aceleración hacia adentro se llama aceleración centrípeta y requiere una fuerza centrípeta para mantener el movimiento circular. Esta fuerza la ejerce el suelo sobre las ruedas, en este caso por la fricción entre las ruedas y la carretera. El automóvil está acelerando, debido a la fuerza desequilibrada, lo que hace que se mueva en círculo. (Ver también giro inclinado ).
• Desde el punto de vista de un marco giratorio, moviéndose con el automóvil, existe una fuerza centrífuga ficticia que tiende a empujar el automóvil hacia el exterior de la carretera (y a empujar a los ocupantes hacia el exterior del automóvil). La fuerza centrífuga equilibra la fricción entre las ruedas y la carretera, haciendo que el automóvil se detenga en este marco no inercial.

Un ejemplo clásico de fuerza ficticia en movimiento circular es el experimento de esferas giratorias atadas con una cuerda y girando alrededor de su centro de masa. En este caso, como en el ejemplo del coche de aceleración lineal, la identificación de un marco de referencia no inercial giratorio puede basarse en la desaparición de fuerzas ficticias. En un marco inercial, las fuerzas ficticias no son necesarias para explicar la tensión en la cuerda que une las esferas. En un marco giratorio, se deben introducir fuerzas de Coriolis y centrífugas para predecir la tensión observada.

En el marco de referencia giratorio percibido en la superficie de la Tierra, la fuerza centrífuga reduce la fuerza aparente de gravedad en aproximadamente una parte en mil, dependiendo de la latitud. Esta reducción es cero en los polos, máxima en el ecuador.

Animación: objeto liberado de un carrusel

Perspectivas de mapeo y marco giratorio de fuerzas físicas (rojo) y ficticias (azul) para un objeto liberado de un carrusel Desde la perspectiva del marco del mapa, lo peligroso de perder la aceleración centrípeta puede ser la velocidad. Desde la perspectiva del cuadro de giro, el peligro puede estar en cambio en la aceleración geométrica que da lugar a esa fuerza ficticia. Nota: Con algunos navegadores, presionar [Esc] congelará el movimiento para un análisis más detallado. Sin embargo, es posible que deba volver a cargar la página para reiniciar.

La fuerza ficticia de Coriolis, que se observa en marcos rotacionales, es normalmente visible solo en movimientos a muy gran escala, como el movimiento de proyectiles de cañones de largo alcance o la circulación de la atmósfera de la Tierra (ver el número de Rossby ). Sin tener en cuenta la resistencia del aire, un objeto que se deja caer desde una torre de 50 metros de altura en el ecuador caerá 7,7 milímetros hacia el este del punto debajo de donde cayó debido a la fuerza de Coriolis.

En el caso de objetos distantes y un marco de referencia giratorio, lo que debe tenerse en cuenta es la fuerza resultante de las fuerzas centrífuga y de Coriolis. Considere una estrella distante observada desde una nave espacial en rotación. En el marco de referencia que co-rota con la nave espacial, la estrella distante parece moverse a lo largo de una trayectoria circular alrededor de la nave espacial. El movimiento aparente de la estrella es una aceleración centrípeta aparente. Al igual que en el ejemplo anterior del automóvil en movimiento circular, la fuerza centrífuga tiene la misma magnitud que la fuerza centrípeta ficticia, pero se dirige en la dirección centrífuga opuesta. En este caso, la fuerza de Coriolis es el doble de la fuerza centrífuga y apunta en dirección centrípeta. La suma vectorial de la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis es la fuerza ficticia total, que en este caso apunta en dirección centrípeta.

Fuerzas y trabajo ficticios

Se puede considerar que las fuerzas ficticias funcionan, siempre que muevan un objeto en una trayectoria que cambie su energía de potencial a cinética. Por ejemplo, considere a una persona en una silla giratoria que sostiene un peso en la mano extendida. Si tiran de la mano hacia adentro, hacia su cuerpo, desde la perspectiva del marco de referencia giratorio, han realizado un trabajo contra la fuerza centrífuga. Cuando se suelta el peso, vuela espontáneamente hacia afuera en relación con el marco de referencia giratorio, porque la fuerza centrífuga actúa sobre el objeto, convirtiendo su energía potencial en cinética. Desde un punto de vista inercial, por supuesto, el objeto vuela lejos de ellos porque de repente se le permite moverse en línea recta. Esto ilustra que el trabajo realizado, como el potencial total y la energía cinética de un objeto, puede ser diferente en un marco no inercial que en uno inercial.

La gravedad como fuerza ficticia

Artículo principal: relatividad general

La noción de "fuerza ficticia" surge en la teoría general de la relatividad de Einstein. Todas las fuerzas ficticias son proporcionales a la masa del objeto sobre el que actúan, lo que también es cierto para la gravedad. Esto llevó a Albert Einstein a preguntarse si la gravedad también era una fuerza ficticia. Señaló que un observador en caída libre en una caja cerrada no podría detectar la fuerza de la gravedad; por lo tanto, los marcos de referencia en caída libre son equivalentes a un marco de referencia inercial (el principio de equivalencia ). Siguiendo esta idea, Einstein pudo formular una teoría con la gravedad como una fuerza ficticia y atribuir la aparente aceleración de la gravedad a la curvatura del espacio-tiempo. Esta idea subyace en la teoría de la relatividad general de Einstein. Ver el experimento de Eötvös.

Animación: bola que rueda por un acantilado

La lluvia y la concha enmarcan las perspectivas de las fuerzas físicas (rojo) y ficticias (azul) de un objeto que cae por un acantilado. Nota: La perspectiva del marco de lluvia aquí, en lugar de ser la de una gota de lluvia, se parece más a la de un saltador de trampolín cuya trayectoria alcanza su punto máximo justo cuando la pelota llega al borde del acantilado. La perspectiva del marco de la cáscara puede ser familiar para los habitantes de planetas que dependen minuto a minuto de las fuerzas físicas ascendentes de su entorno para protegerlos de la aceleración geométrica debida al espacio-tiempo curvo.

Derivación matemática de fuerzas ficticias

Figura 2: Un objeto situado en x A en marco inercial A está situado en la posición x B en la aceleración de marco B. El origen de la trama B se encuentra en X AB en marco A. La orientación del marco B está determinada por los vectores unitarios a lo largo de sus direcciones de coordenadas, u j con j = 1, 2, 3. Usando estos ejes, las coordenadas del objeto según el marco B son x B = ( x 1, x 2, x 3).

Derivación general

Muchos problemas requieren el uso de sistemas de referencia no inerciales, por ejemplo, los que involucran satélites y aceleradores de partículas. La figura 2 muestra una partícula con masa m y posición vector x A ( t) en un determinado marco de inercia A. Considere un marco no inercial B cuyo pariente origen a la inercia está dado por X AB ( t). Sea x B ( t) la posición de la partícula en el cuadro B. ¿Cuál es la fuerza sobre la partícula expresada en el sistema de coordenadas del marco B?

Para responder a esta pregunta, sea el eje de coordenadas en B representado por vectores unitarios u j con j cualquiera de {1, 2, 3} para los tres ejes de coordenadas. Luego

$$ X B= ∑ j = 1 3 X j tu j . {\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}} = \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} \ mathbf {u} _ {j} \.}

La interpretación de esta ecuación es que x B es el vector de desplazamiento de la partícula expresado en términos de las coordenadas en el marco B en el tiempo t. Desde el cuadro A, la partícula se encuentra en:

$$ X A= X A B+ ∑ j = 1 3 X j tu j . {\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {\ mathrm {A}} = \ mathbf {X} _ {\ mathrm {AB}} + \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} \ mathbf { u} _ {j} \.}

Aparte, los vectores unitarios {  u j  } no pueden cambiar de magnitud, por lo que las derivadas de estos vectores expresan solo la rotación del sistema de coordenadas B. Por otro lado, el vector X AB simplemente ubica el origen del marco B en relación con el marco A, y por lo que no puede incluir la rotación del cuadro B.

Tomando una derivada del tiempo, la velocidad de la partícula es:

$$ D X A D t= D X A B D t+ ∑ j = 1 3 D X j D t tu j+ ∑ j = 1 3 X j D tu j D t . {\ Displaystyle {\ frac {d \ mathbf {x} _ {\ mathrm {A}}} {dt}} = {\ frac {d \ mathbf {X} _ {\ mathrm {AB}}} {dt}} + \ sum _ {j = 1} ^ {3} {\ frac {dx_ {j}} {dt}} \ mathbf {u} _ {j} + \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ { j} {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}} \.}

El segundo término suma es la velocidad de la partícula, digamos v B medida en el marco B. Es decir:

$$ D X A D t= v A B+ v B+ ∑ j = 1 3 X j D tu j D t. {\ Displaystyle {\ frac {d \ mathbf {x} _ {\ mathrm {A}}} {dt}} = \ mathbf {v} _ {\ mathrm {AB}} + \ mathbf {v} _ {\ mathrm {B}} + \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}}.}

La interpretación de esta ecuación es que la velocidad de la partícula vista por los observadores en el marco A consiste en lo que los observadores en el marco B llaman la velocidad, a saber, v B, más dos términos adicionales relacionados con la tasa de cambio de los ejes de coordenadas del marco B. Uno de ellos es simplemente la velocidad del origen en movimiento v AB. La otra es una contribución a la velocidad debido al hecho de que diferentes ubicaciones en el marco no inercial tienen diferentes velocidades aparentes debido a la rotación del marco; un punto visto desde un marco giratorio tiene un componente de velocidad de rotación que es mayor cuanto más lejos está el punto del origen.

Para encontrar la aceleración, otra diferenciación temporal proporciona:

$$ D 2 X A D t 2= a A B+ D v B D t+ ∑ j = 1 3 D X j D t D tu j D t+ ∑ j = 1 3 X j D 2 tu j D t 2. {\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {x} _ {\ mathrm {A}}} {dt ^ {2}}} = \ mathbf {a} _ {\ mathrm {AB}} + { \ frac {d \ mathbf {v} _ {\ mathrm {B}}} {dt}} + \ sum _ {j = 1} ^ {3} {\ frac {dx_ {j}} {dt}} {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}} + \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {u} _ { j}} {dt ^ {2}}}.}

Usando la misma fórmula que ya se usó para la derivada del tiempo de x B, la derivada de la velocidad a la derecha es:

$$ D v B D t= ∑ j = 1 3 D v j D t tu j+ ∑ j = 1 3 v j D tu j D t= a B+ ∑ j = 1 3 v j D tu j D t. {\ Displaystyle {\ frac {d \ mathbf {v} _ {\ mathrm {B}}} {dt}} = \ sum _ {j = 1} ^ {3} {\ frac {dv_ {j}} {dt }} \ mathbf {u} _ {j} + \ sum _ {j = 1} ^ {3} v_ {j} {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}} = \ mathbf {a} _ {\ mathrm {B}} + \ sum _ {j = 1} ^ {3} v_ {j} {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}}.}

Como consecuencia,

$$ D 2 X A D t 2= a A B+ a B+2  ∑ j = 1 3 v j D tu j D t+ ∑ j = 1 3 X j D 2 tu j D t 2. {\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {x} _ {\ mathrm {A}}} {dt ^ {2}}} = \ mathbf {a} _ {\ mathrm {AB}} + \ mathbf {a} _ {\ mathrm {B}} +2 \ \ sum _ {j = 1} ^ {3} v_ {j} {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}} + \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {u} _ {j}} {dt ^ {2}}}.}

( 1)

La interpretación de esta ecuación es la siguiente: la aceleración de la partícula en el marco A consiste en lo que los observadores en el marco B llaman la aceleración de la partícula a B, pero además hay tres términos de aceleración relacionados con el movimiento de los ejes de coordenadas del marco B: un término relacionado con la aceleración del origen del marco B, a saber, un AB, y dos términos relacionados con la rotación del marco B. En consecuencia, los observadores en B verán que el movimiento de las partículas posee una aceleración "extra", que atribuirán a "fuerzas" que actúan sobre la partícula, pero que los observadores en A dicen que son fuerzas "ficticias" que surgen simplemente porque los observadores en B no reconocen la naturaleza no inercial del marco B.

El factor de dos en la fuerza de Coriolis surge de dos contribuciones iguales: (i) el cambio aparente de una velocidad inercialmente constante con el tiempo porque la rotación hace que la dirección de la velocidad parezca cambiar (un término d v B / d t) y ( ii) un cambio aparente en la velocidad de un objeto cuando cambia su posición, acercándolo o alejándolo del eje de rotación (el cambio debido al cambio en x j). $$

∑ X jD tu j /Dt {\ Displaystyle \ sum x_ {j} \, d \ mathbf {u} _ {j} / dt}

Para poner las cosas en términos de fuerzas, las aceleraciones se multiplican por la masa de la partícula:

$$ F A= F B+metro a A B+2metro ∑ j = 1 3 v j D tu j D t+metro ∑ j = 1 3 X j D 2 tu j D t 2 . {\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {A}} = \ mathbf {F} _ {\ mathrm {B}} + m \ mathbf {a} _ {\ mathrm {AB}} + 2m \ sum _ {j = 1} ^ {3} v_ {j} {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}} + m \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {u} _ {j}} {dt ^ {2}}} \.}

La fuerza observada en el marco B, F B = m a B está relacionada con la fuerza real sobre la partícula, F A, por

$$ F B= F A+ F F I C t I t I o tu s, {\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {B}} = \ mathbf {F} _ {\ mathrm {A}} + \ mathbf {F} _ {\ mathrm {ficticio}},}

dónde:

$$ F F I C t I t I o tu s=-metro a A B-2metro ∑ j = 1 3 v j D tu j D t-metro ∑ j = 1 3 X j D 2 tu j D t 2 . {\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {ficticio}} = - m \ mathbf {a} _ {\ mathrm {AB}} -2m \ sum _ {j = 1} ^ {3} v_ {j} {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}} - m \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {u } _ {j}} {dt ^ {2}}} \.}

Por lo tanto, podemos resolver problemas en el marco B suponiendo que se cumple la segunda ley de Newton (con respecto a las cantidades en ese marco) y tratando F ficticio como una fuerza adicional.

A continuación se muestran varios ejemplos que aplican este resultado para fuerzas ficticias. Se pueden encontrar más ejemplos en el artículo sobre fuerza centrífuga.

Sistemas de coordenadas rotativos

Una situación común en la que los marcos de referencia no inerciales son útiles es cuando el marco de referencia está girando. Debido a que dicho movimiento de rotación no es inercial, debido a la aceleración presente en cualquier movimiento de rotación, siempre se puede invocar una fuerza ficticia utilizando un marco de referencia de rotación. A pesar de esta complicación, el uso de fuerzas ficticias a menudo simplifica los cálculos involucrados.

Para derivar expresiones para las fuerzas ficticias, se necesitan derivadas para la tasa de cambio en el tiempo aparente de los vectores que tienen en cuenta la variación en el tiempo de los ejes de coordenadas. Si la rotación del cuadro 'B' está representada por un vector Ω apuntado a lo largo del eje de rotación con orientación dada por la regla de la mano derecha, y con magnitud dada por

$$ | Ω |= D θ D t=ω(t), {\ displaystyle | {\ boldsymbol {\ Omega}} | = {\ frac {d \ theta} {dt}} = \ omega (t),}

entonces la derivada en el tiempo de cualquiera de los tres vectores unitarios que describen el marco B es

$$ D tu j ( t ) D t= Ω× tu j(t), {\ Displaystyle {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j} (t)} {dt}} = {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {u} _ {j} (t),}

y

$$ D 2 tu j ( t ) D t 2= D Ω D t× tu j+ Ω× D tu j ( t ) D t= D Ω D t× tu j+ Ω× [ Ω × tu j ( t ) ], {\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {u} _ {j} (t)} {dt ^ {2}}} = {\ frac {d {\ boldsymbol {\ Omega}}} {dt }} \ times \ mathbf {u} _ {j} + {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j} (t)} {dt}} = {\ frac {d {\ boldsymbol {\ Omega}}} {dt}} \ times \ mathbf {u} _ {j} + {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ left [{\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {u} _ {j} (t) \ right],}

como se verifica usando las propiedades del producto cruzado vectorial. Estas fórmulas derivadas ahora se aplican a la relación entre la aceleración en un marco inercial y la de un marco de coordenadas que gira con una velocidad angular variable en el tiempo ω ( t). De la sección anterior, donde el subíndice A se refiere al marco inercial y B al marco giratorio, estableciendo un AB = 0 para eliminar cualquier aceleración de traslación y centrándose solo en las propiedades de rotación (ver Ec. 1):

$$ D 2 X A D t 2= a B+2 ∑ j = 1 3 v j  D tu j D t+ ∑ j = 1 3 X j D 2 tu j D t 2, {\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {x} _ {\ mathrm {A}}} {dt ^ {2}}} = \ mathbf {a} _ {\ mathrm {B}} +2 \ sum _ {j = 1} ^ {3} v_ {j} \ {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}} + \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {u} _ {j}} {dt ^ {2}}},}

$$ a A= a B+ 2 ∑ j = 1 3 v j Ω× tu j(t)+ ∑ j = 1 3 X j D Ω D t× tu j + ∑ j = 1 3 X j Ω× [ Ω × tu j ( t ) ] {\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {\ mathrm {A}} = \ mathbf {a} _ {\ mathrm {B}} + \ 2 \ sum _ {j = 1} ^ {3} v_ {j} { \ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {u} _ {j} (t) + \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} {\ frac {d {\ boldsymbol {\ Omega} }} {dt}} \ times \ mathbf {u} _ {j} \ + \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ left [{\ símbolo en negrita {\ Omega}} \ times \ mathbf {u} _ {j} (t) \ right]}

$$= a B+2 Ω× ∑ j = 1 3 v j tu j(t)+ D Ω D t× ∑ j = 1 3 X j tu j+ Ω× [ Ω × ∑ j = 1 3 X j tu j ( t ) ]. {\ Displaystyle = \ mathbf {a} _ {\ mathrm {B}} +2 {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ sum _ {j = 1} ^ {3} v_ {j} \ mathbf {u} _ {j} (t) + {\ frac {d {\ boldsymbol {\ Omega}}} {dt}} \ times \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} \ mathbf {u} _ {j} + {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ left [{\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} \ mathbf {u} _ { j} (t) \ derecha].}

Recopilando términos, el resultado es la denominada fórmula de transformación de aceleración:

$$ a A= a B+2 Ω× v B+ D Ω D t× X B+ Ω× ( Ω × X B ) . {\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {\ mathrm {A}} = \ mathbf {a} _ {\ mathrm {B}} +2 {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {v} _ {\ mathrm {B}} + {\ frac {d {\ boldsymbol {\ Omega}}} {dt}} \ times \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}} + {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}} \ right) \.}

La aceleración física a A debida a lo que los observadores en el marco inercial A llaman fuerzas externas reales sobre el objeto, por lo tanto, no es simplemente la aceleración a B vista por los observadores en el marco rotacional B, sino que tiene varios términos de aceleración geométrica adicionales asociados con el rotación de B. Como se ve en el marco rotacional, la aceleración a B de la partícula viene dada por la reordenación de la ecuación anterior como:

$$ a B= a A-2 Ω× v B- Ω×( Ω× X B)- D Ω D t× X B. {\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {\ mathrm {B}} = \ mathbf {a} _ {\ mathrm {A}} -2 {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {v} _ {\ mathrm {B}} - {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}}) - {\ frac {d {\ boldsymbol {\ Omega}}} {dt}} \ times \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}}.}

La fuerza neta sobre el objeto de acuerdo con observadores en el marco giratorio es F B = m un B. Si sus observaciones van a dar como resultado la fuerza correcta sobre el objeto al usar las leyes de Newton, deben considerar que la fuerza adicional F fict está presente, por lo que el resultado final es F B = F A + F fict. Por lo tanto, la fuerza ficticia utilizada por los observadores en B para obtener el comportamiento correcto del objeto a partir de las leyes de Newton es igual a:

$$ F F I C t=-2metro Ω× v B-metro Ω×( Ω× X B)-metro D Ω D t× X B. {\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {fict}} = - 2m {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {v} _ {\ mathrm {B}} -m {\ boldsymbol {\ Omega }} \ times ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}}) - m {\ frac {d {\ boldsymbol {\ Omega}}} {dt}} \ veces \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}}.}

Aquí, el primer término es la fuerza de Coriolis, el segundo término es la fuerza centrífuga y el tercer término es la fuerza de Euler.

Sistemas de coordenadas en órbita

Figura 3: Un sistema de coordenadas B en órbita pero de orientación fija, mostrado en tres momentos diferentes. Los vectores unitarios u j, j = 1, 2, 3 no giran, pero mantienen una orientación fija, mientras que el origen del sistema de coordenadas B se mueve a una velocidad angular constante ω alrededor del eje fijo Ω. Eje Ω pasa a través del origen de la trama inercial A, por lo que el origen de la trama B es una distancia fija R desde el origen del sistema de referencia inercial A.

Como ejemplo relacionado, suponga que el sistema de coordenadas en movimiento B gira con una rapidez angular constante ω en un círculo de radio R alrededor del origen fijo del marco inercial A, pero mantiene sus ejes de coordenadas fijos en la orientación, como en la Figura 3. La aceleración de un cuerpo observado es ahora (ver Ec. 1):

$$ D 2 X A D t 2= a A B+ a B+2  ∑ j = 1 3 v j  D tu j D t {\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {x} _ {A}} {dt ^ {2}}} = \ mathbf {a} _ {AB} + \ mathbf {a} _ {B} +2 \ \ sum _ {j = 1} ^ {3} v_ {j} \ {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}}} $$+ ∑ j = 1 3 X j  D 2 tu j D t 2 . {\ Displaystyle + \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} \ {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {u} _ {j}} {dt ^ {2}}} \. }

$$= a A B + a B , {\ Displaystyle = \ mathbf {a} _ {AB} \ + \ mathbf {a} _ {B} \,}

donde las sumas son cero en la medida en que los vectores unitarios no tienen dependencia del tiempo. El origen del sistema B se ubica según el cuadro A en:

$$ X A B=R ( porque ⁡ ( ω t ) ,   pecado ⁡ ( ω t ) ) , {\ Displaystyle \ mathbf {X} _ {AB} = R \ left (\ cos (\ omega t), \ \ sin (\ omega t) \ right) \,}

conduciendo a una velocidad del origen del marco B como:

$$ v A B= D D t X A B= Ω × X A B , {\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {AB} = {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {X} _ {AB} = \ mathbf {\ Omega \ times X} _ {AB} \,}

que conduce a una aceleración del origen de B dada por:

$$ a A B= D 2 D t 2 X A B {\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {AB} = {\ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}}} \ mathbf {X} _ {AB}} $$= Ω   × ( Ω × X A B ) {\ Displaystyle = \ mathbf {\ Omega \ \ times} \ left (\ mathbf {\ Omega \ times X} _ {AB} \ right)} $$=- ω 2 X A B . {\ Displaystyle = - \ omega ^ {2} \ mathbf {X} _ {AB} \.}

Porque el primer término, que es

$$ Ω   × ( Ω × X A B ) , {\ Displaystyle \ mathbf {\ Omega \ \ times} \ left (\ mathbf {\ Omega \ times X} _ {AB} \ right) \,}

tiene la misma forma que la expresión de fuerza centrífuga normal:

$$ Ω× ( Ω × X B ) , {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {x} _ {B} \ right) \,}

es una extensión natural de la terminología estándar (aunque no existe una terminología estándar para este caso) llamar a este término "fuerza centrífuga". Cualquiera que sea la terminología que se adopte, los observadores en el cuadro B deben introducir una fuerza ficticia, esta vez debido a la aceleración del movimiento orbital de todo su marco de coordenadas, que está radialmente hacia afuera alejándose del centro de rotación del origen de su sistema de coordenadas:

$$ F F I C t=metro ω 2 X A B , {\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {fict}} = m \ omega ^ {2} \ mathbf {X} _ {AB} \,}

y de magnitud:

$$ | F F I C t |=metro ω 2R . {\ Displaystyle | \ mathbf {F} _ {\ mathrm {fict}} | = m \ omega ^ {2} R \.}

Observe que esta "fuerza centrífuga" tiene diferencias con el caso de un marco giratorio. En el marco giratorio, la fuerza centrífuga está relacionada con la distancia del objeto desde el origen del marco B, mientras que en el caso de un marco en órbita, la fuerza centrífuga es independiente de la distancia del objeto desde el origen del marco B, pero en vez depende de la distancia del origen de la trama B de su centro de rotación, dando como resultado la misma fuerza ficticia centrífugo para todos los objetos observados en marco B.

Orbitando y girando

Ver también: ecuaciones de Clohessy-Wiltshire Figura 4: Un sistema de coordenadas en órbita B similar a la Figura 3, pero en el que los vectores unitarios u j, j = 1, 2, 3 giran para enfrentar el eje de rotación, mientras que el origen del sistema de coordenadas B se mueve a una velocidad angular constante ω aproximadamente el eje fijo Ω.

Como ejemplo de combinación, la Figura 4 muestra un sistema de coordenadas B que orbita el marco inercial A como en la Figura 3, pero los ejes de coordenadas en el marco B giran de modo que el vector unitario u 1 siempre apunta hacia el centro de rotación. Este ejemplo podría aplicarse a un tubo de ensayo en una centrífuga, donde el vector u 1 apunta a lo largo del eje del tubo hacia su abertura en la parte superior. También se asemeja al sistema Tierra-Luna, donde la Luna siempre presenta la misma cara a la Tierra. En este ejemplo, el vector unitario u 3 conserva una orientación fija, mientras que los vectores u 1, u 2 giran a la misma velocidad que el origen de las coordenadas. Es decir,

$$ tu 1=(-porque⁡ωt, -pecado⁡ωt) ;  {\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {1} = (- \ cos \ omega t, \ - \ sin \ omega t) \; \} $$ tu 2=(pecado⁡ωt, -porque⁡ωt) . {\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {2} = (\ sin \ omega t, \ - \ cos \ omega t) \.}

$$ D D t tu 1= Ω × tu 1=ω tu 2 ; {\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {u} _ {1} = \ mathbf {\ Omega \ times u_ {1}} = \ omega \ mathbf {u} _ {2} \;} $$  D D t tu 2= Ω × tu 2=-ω tu 1  . {\ Displaystyle \ {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {u} _ {2} = \ mathbf {\ Omega \ times u_ {2}} = - \ omega \ mathbf {u} _ {1} \ \.}

Por tanto, la aceleración de un objeto en movimiento se expresa como (ver Ec. 1):

$$ D 2 X A D t 2= a A B+ a B+2  ∑ j = 1 3 v j  D tu j D t {\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {x} _ {A}} {dt ^ {2}}} = \ mathbf {a} _ {AB} + \ mathbf {a} _ {B} +2 \ \ sum _ {j = 1} ^ {3} v_ {j} \ {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}}} $$+  ∑ j = 1 3 X j  D 2 tu j D t 2  {\ Displaystyle + \ \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} \ {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {u} _ {j}} {dt ^ {2}}} \ }

$$= Ω   × ( Ω × X A B )+ a B+2  ∑ j = 1 3 v j  Ω × tu j {\ Displaystyle = \ mathbf {\ Omega \ \ times} \ left (\ mathbf {\ Omega \ times X} _ {AB} \ right) + \ mathbf {a} _ {B} +2 \ \ sum _ {j = 1} ^ {3} v_ {j} \ \ mathbf {\ Omega \ times u_ {j}}} $$ +  ∑ j = 1 3 X j  Ω× ( Ω × tu j )  {\ Displaystyle \ + \ \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} \ {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {u } _ {j} \ derecha) \}

$$= Ω   × ( Ω × X A B )+ a B+2  Ω× v B  {\ Displaystyle = \ mathbf {\ Omega \ \ times} \ left (\ mathbf {\ Omega \ times X} _ {AB} \ right) + \ mathbf {a} _ {B} +2 \ {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {v} _ {B} \} $$ +  Ω× ( Ω × X B )  {\ Displaystyle \ + \ {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {x} _ {B} \ right) \}

$$= Ω   × ( Ω × ( X A B + X B ) )+ a B+2  Ω× v B  , {\ Displaystyle = \ mathbf {\ Omega \ \ times} \ left (\ mathbf {\ Omega \ times} (\ mathbf {X} _ {AB} + \ mathbf {x} _ {B}) \ right) + \ mathbf {a} _ {B} +2 \ {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {v} _ {B} \ \,}

donde el término de aceleración angular es cero para una tasa de rotación constante. Porque el primer término, que es

$$ Ω   × ( Ω × ( X A B + X B ) ) , {\ Displaystyle \ mathbf {\ Omega \ \ times} \ left (\ mathbf {\ Omega \ times} (\ mathbf {X} _ {AB} + \ mathbf {x} _ {B}) \ right) \,}

tiene la misma forma que la expresión de fuerza centrífuga normal:

$$ Ω× ( Ω × X B ) , {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {x} _ {B} \ right) \,}

es una extensión natural de la terminología estándar (aunque no existe una terminología estándar para este caso) llamar a este término "fuerza centrífuga". Aplicando esta terminología al ejemplo de un tubo en una centrífuga, si el tubo está lo suficientemente lejos del centro de rotación, | X AB | = R ≫ | x B |, toda la materia en el tubo de ensayo experimenta la misma aceleración (la misma fuerza centrífuga). Así, en este caso, la fuerza ficticia es principalmente una fuerza centrífuga uniforme a lo largo del eje del tubo, lejos del centro de rotación, con un valor | F Fict | = ω ² R, donde R es la distancia de la materia en el tubo desde el centro de la centrífuga. Es una especificación estándar de una centrífuga utilizar el radio "efectivo" de la centrífuga para estimar su capacidad para proporcionar fuerza centrífuga. Por lo tanto, una primera estimación de la fuerza centrífuga en una centrífuga se puede basar en la distancia de los tubos desde el centro de rotación y se pueden aplicar correcciones si es necesario.

Además, el tubo de ensayo limita el movimiento a la dirección hacia abajo a lo largo del tubo, por lo que v B es opuesto a u 1 y la fuerza de Coriolis es opuesta a u 2, es decir, contra la pared del tubo. Si se hace girar el tubo durante un tiempo suficiente, la velocidad v B cae a cero cuando la materia llega a una distribución de equilibrio. Para obtener más detalles, consulte los artículos sobre sedimentación y la ecuación de Lamm.

Un problema relacionado es el de las fuerzas centrífugas para el sistema Tierra-Luna-Sol, donde aparecen tres rotaciones: la rotación diaria de la Tierra alrededor de su eje, la rotación del mes lunar del sistema Tierra-Luna alrededor de su centro de masa, y la revolución anual del sistema Tierra-Luna alrededor del Sol. Estos tres movimientos influyen en las mareas.

Cruzando un carrusel

Ver también: Fuerza de Coriolis § Bola lanzada en un carrusel giratorio Figura 5: Cruzando un carrusel giratorio caminando a velocidad constante desde el centro del carrusel hasta su borde, se traza una espiral en el marco inercial, mientras que se ve una trayectoria radial recta simple en el marco del carrusel.

La Figura 5 muestra otro ejemplo que compara las observaciones de un observador inercial con las de un observador en un carrusel giratorio. El carrusel gira a una velocidad angular constante representada por el vector Ω con magnitud ω, apuntando hacia arriba de acuerdo con la regla de la mano derecha. Un ciclista en el carrusel camina radialmente a través de él a velocidad constante, en lo que para el caminante parece ser la trayectoria en línea recta inclinada a 45 ° en la Figura 5. Para el observador estacionario, sin embargo, el caminante recorre una trayectoria en espiral. Los puntos identificados en ambos caminos en la Figura 5 corresponden a los mismos tiempos espaciados en intervalos de tiempo iguales. Preguntamos cómo dos observadores, uno en el carrusel y otro en un marco inercial, formulan lo que ven usando las leyes de Newton.

Observador inercial

El observador en reposo describe el camino seguido por el caminante como una espiral. Adoptando el sistema de coordenadas que se muestra en la Figura 5, la trayectoria se describe mediante r ( t):

$$ r(t)=R(t) tu R= [ X ( t ) y ( t )]= [ R ( t ) porque ⁡ ( ω t + π / 4 ) R ( t ) pecado ⁡ ( ω t + π / 4 )], {\ Displaystyle \ mathbf {r} (t) = R (t) \ mathbf {u} _ {R} = {\ begin {bmatrix} x (t) \\ y (t) \ end {bmatrix}} = { \ begin {bmatrix} R (t) \ cos (\ omega t + \ pi / 4) \\ R (t) \ sin (\ omega t + \ pi / 4) \ end {bmatrix}},}

donde el π / 4 agregado establece el ángulo de trayectoria en 45 ° para comenzar (solo una elección arbitraria de dirección), u R es un vector unitario en la dirección radial que apunta desde el centro del carrusel al caminante en el momento t. La distancia radial R ( t) aumenta de manera constante con el tiempo de acuerdo con:

$$R(t)=st, {\ Displaystyle R (t) = st,}

con s la velocidad de caminar. Según la cinemática simple, la velocidad es entonces la primera derivada de la trayectoria:

$$ v(t)= D R D t [ porque ⁡ ( ω t + π / 4 ) pecado ⁡ ( ω t + π / 4 )]+ωR(t) [ - pecado ⁡ ( ω t + π / 4 ) porque ⁡ ( ω t + π / 4 )] {\ Displaystyle \ mathbf {v} (t) = {\ frac {dR} {dt}} {\ begin {bmatrix} \ cos (\ omega t + \ pi / 4) \\\ sin (\ omega t + \ pi / 4) \ end {bmatrix}} + \ omega R (t) {\ begin {bmatrix} - \ sin (\ omega t + \ pi / 4) \\\ cos (\ omega t + \ pi / 4) \ end {bmatrix }}}

$$= D R D t tu R+ωR(t) tu θ, {\ Displaystyle = {\ frac {dR} {dt}} \ mathbf {u} _ {R} + \ omega R (t) \ mathbf {u} _ {\ theta},}

con u θ un vector unitario perpendicular a u R en el tiempo t (como se puede verificar al notar que el producto escalar del vector con el vector radial es cero) y apuntando en la dirección de viaje. La aceleración es la primera derivada de la velocidad:

$$ a(t)= D 2 R D t 2 [ porque ⁡ ( ω t + π / 4 ) pecado ⁡ ( ω t + π / 4 )]+2 D R D tω [ - pecado ⁡ ( ω t + π / 4 ) porque ⁡ ( ω t + π / 4 )]- ω 2R(t) [ porque ⁡ ( ω t + π / 4 ) pecado ⁡ ( ω t + π / 4 )] {\ Displaystyle \ mathbf {a} (t) = {\ frac {d ^ {2} R} {dt ^ {2}}} {\ begin {bmatrix} \ cos (\ omega t + \ pi / 4) \\ \ sin (\ omega t + \ pi / 4) \ end {bmatrix}} + 2 {\ frac {dR} {dt}} \ omega {\ begin {bmatrix} - \ sin (\ omega t + \ pi / 4) \ \\ cos (\ omega t + \ pi / 4) \ end {bmatrix}} - \ omega ^ {2} R (t) {\ begin {bmatrix} \ cos (\ omega t + \ pi / 4) \\\ sin (\ omega t + \ pi / 4) \ end {bmatrix}}}

$$=2sω [ - pecado ⁡ ( ω t + π / 4 ) porque ⁡ ( ω t + π / 4 )]- ω 2R(t) [ porque ⁡ ( ω t + π / 4 ) pecado ⁡ ( ω t + π / 4 )] {\ displaystyle = 2s \ omega {\ begin {bmatrix} - \ sin (\ omega t + \ pi / 4) \\\ cos (\ omega t + \ pi / 4) \ end {bmatrix}} - \ omega ^ {2 } R (t) {\ begin {bmatrix} \ cos (\ omega t + \ pi / 4) \\\ sin (\ omega t + \ pi / 4) \ end {bmatrix}}}

$$=2s ω  tu θ- ω 2R(t)  tu R . {\ Displaystyle = 2s \ \ omega \ \ mathbf {u} _ {\ theta} - \ omega ^ {2} R (t) \ \ mathbf {u} _ {R} \.}

El último término de la aceleración es radialmente hacia adentro de magnitud ω ² R, que es, por lo tanto, la aceleración centrípeta instantánea del movimiento circular. El primer término es perpendicular a la dirección radial y apunta en la dirección de viaje. Su magnitud es 2 s ω, y representa la aceleración del caminante a medida que se acerca el borde del carrusel, y el arco de círculo recorrido en un tiempo fijo aumenta, como se puede ver por el mayor espaciado entre puntos para pasos de tiempo iguales. en la espiral de la Figura 5 a medida que se acerca al borde exterior del carrusel.

Aplicando las leyes de Newton, multiplicando la aceleración por la masa del caminante, el observador inercial concluye que el caminante está sujeto a dos fuerzas: la fuerza centrípeta dirigida radialmente hacia adentro, y otra fuerza perpendicular a la dirección radial que es proporcional a la velocidad de el caminante.

Observador rotatorio

El observador rotatorio ve al caminante viajar en línea recta desde el centro del carrusel a la periferia, como se muestra en la Figura 5. Además, el observador giratorio ve que el caminante se mueve a una velocidad constante en la misma dirección, por lo que aplica la ley de Newton de inercia, hay cero vigor a partir del andador. Estas conclusiones no concuerdan con el observador inercial. Para obtener un acuerdo, el observador rotatorio tiene que introducir fuerzas ficticias que parecen existir en el mundo rotatorio, aunque no haya una razón aparente para ellas, ninguna masa gravitacional aparente, carga eléctrica o lo que sea, que pueda explicar estas fuerzas ficticias..

Para estar de acuerdo con el observador inercial, las fuerzas aplicadas al andador deben ser exactamente las encontradas arriba. Pueden relacionarse con las fórmulas generales ya derivadas, a saber:

$$ F F I C t=-2metro Ω× v B-metro Ω×( Ω× X B)-metro D Ω D t× X B. {\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {fict}} = - 2m {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {v} _ {\ mathrm {B}} -m {\ boldsymbol {\ Omega }} \ times ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}}) - m {\ frac {d {\ boldsymbol {\ Omega}}} {dt}} \ veces \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}}.}

En este ejemplo, la velocidad vista en el marco giratorio es:

$$ v B=s tu R, {\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ mathrm {B}} = s \ mathbf {u} _ {R},}

con u R un vector unitario en la dirección radial. La posición del andador como se ve en el carrusel es:

$$ X B=R(t) tu R, {\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}} = R (t) \ mathbf {u} _ {R},}

y la derivada del tiempo de Ω es cero para una rotación angular uniforme. Darse cuenta de que

$$ Ω× tu R=ω tu θ  {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {u} _ {R} = \ omega \ mathbf {u} _ {\ theta} \}

y

$$ Ω× tu θ=-ω tu R , {\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {u} _ {\ theta} = - \ omega \ mathbf {u} _ {R} \,}

encontramos:

$$ F F I C t=-2metroωs tu θ+metro ω 2R(t) tu R. {\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {fict}} = - 2m \ omega s \ mathbf {u} _ {\ theta} + m \ omega ^ {2} R (t) \ mathbf {u} _ {R}.}

Para obtener un movimiento en línea recta en el mundo giratorio, se debe aplicar una fuerza exactamente de signo opuesto a la fuerza ficticia para reducir la fuerza neta sobre el andador a cero, por lo que la ley de inercia de Newton predecirá un movimiento en línea recta, de acuerdo con lo que ve el observador rotatorio. Las fuerzas ficticias que deben combatirse son la fuerza de Coriolis (primer término) y la fuerza centrífuga (segundo término). (Estos términos son aproximados.) Al aplicar fuerzas para contrarrestar estas dos fuerzas ficticias, el observador giratorio termina aplicando exactamente las mismas fuerzas sobre el andador que el observador inercial predijo que eran necesarias.

Debido a que solo se diferencian por la velocidad constante de la marcha, el caminante y el observador rotacional ven las mismas aceleraciones. Desde la perspectiva del caminante, la fuerza ficticia se experimenta como real, y combatir esta fuerza es necesario para permanecer en una trayectoria radial en línea recta manteniendo una velocidad constante. Es como luchar contra un viento cruzado mientras te arrojan al borde del carrusel.

Observación

Observe que esta discusión cinemática no profundiza en el mecanismo por el cual se generan las fuerzas requeridas. Ese es el tema de la cinética. En el caso del carrusel, la discusión cinética implicaría quizás un estudio de los zapatos del caminante y la fricción que necesitan generar contra el piso del carrusel, o quizás la dinámica del skate, si el caminante cambia a viajar en patineta. Cualquiera que sea el medio de desplazamiento a través del carrusel, las fuerzas calculadas anteriormente deben realizarse. Una analogía muy aproximada es calentar su casa: debe tener una cierta temperatura para estar cómodo, pero si calienta quemando gas o quemando carbón es otro problema. La cinemática pone el termostato, la cinética enciende el horno.

Ver también

• Leyes del movimiento de Newton
• Marco de referencia inercial
• Marco de referencia no inercial
• Marco de referencia giratorio
• fuerza Coriolis
• Fuerza centrífuga
• Gravedad
• Relatividad general
• Principio de fuerzas inerciales de d'Alembert
• Fuerza centrípeta
• Movimiento circular
• Movimiento circular uniforme
• Estática
• Cinética (física)
• Cinemática
• Mecánica Aplicada
• Mecánica analítica
• Dinámica (física)
• Mecanica clasica
• Fuerza generalizada
• Ecuación de movimiento libre
• Coordenadas ortogonales
• Coordenadas curvilíneas
• Coordenadas generalizadas
• Fórmulas de Frenet-Serret

• Portal de física

Notas

Otras lecturas

• Lev D. Landau y EM Lifshitz (1976). Mecánica. Curso de Física Teórica. Vol. 1 (3ª ed.). Butterworth-Heinenan. págs. 128-130. ISBN   0-7506-2896-0. |volume=tiene texto extra ( ayuda )
• Keith Symon (1971). Mecánica (3ª ed.). Addison-Wesley. ISBN   0-201-07392-7.
• Jerry B. Marion (1970). Dinámica clásica de partículas y sistemas. Prensa académica. ISBN   0-12-472252-0.
• Marcel J. Sidi (1997). Dinámica y control de naves espaciales: un enfoque práctico de ingeniería. Prensa de la Universidad de Cambridge. Capítulo 4.8. ISBN   0-521-78780-7.

enlaces externos

• Preguntas y respuestas de Richard C. Brill, Honolulu Community College
• David Stern de la NASA: planes de lecciones para maestros n. ° 23 sobre fuerzas inerciales
• Fuerza Coriolis
• Movimiento sobre una superficie plana de Java Physlet por Brian Fiedler que ilustra fuerzas ficticias. El fislet muestra tanto la perspectiva vista desde un punto de vista giratorio como no giratorio.
• Movimiento sobre una superficie parabólica de Java Physlet de Brian Fiedler que ilustra fuerzas ficticias. El fislet muestra tanto la perspectiva vista desde un punto de vista giratorio como desde un punto de vista no giratorio.