Método de elementos finitos

El "elemento finito" vuelve a dirigir aquí. Para los elementos de un poset, consulte elemento compacto. Visualización de cómo un automóvil se deforma en un choque asimétrico utilizando análisis de elementos finitos

Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales de Navier-Stokes utilizadas para simular el flujo de aire alrededor de una obstrucción
Alcance
Los campos Ciencias Naturales Ingenieria Astronomía Física Química Biología Geología Matemáticas Aplicadas Mecánica de Medios Continuos Teoría del caos Sistemas dinámicos Ciencias Sociales Ciencias económicas Dinámica poblacional
Clasificación
Tipos Ordinario Parcial Diferencial-algebraico Integro-diferencial Fraccionario Lineal No lineal Por tipo de variable Variables dependientes e independientes Autónomo Complejo Acoplado / desacoplado Exacto Homogéneo  / No homogéneo Características Pedido Operador Notación
Relación con los procesos Diferencia (análogo discreto) Estocástico Estocástico parcial Demora
Solución
Existencia y singularidad Teorema de Picard-Lindelöf Teorema de existencia de Peano Teorema de existencia de Carathéodory Teorema de Cauchy-Kowalevski
Temas generales Wronskian Retrato de fase Espacio de fase Estabilidad de Lyapunov  / Asintótica  / Exponencial Tasa de convergencia Serie  / Soluciones integrales Integracion numerica Función delta de Dirac
Métodos de solución Inspección Método de características Euler Fórmula de respuesta exponencial Diferencia finita  ( Crank – Nicolson ) Elemento finito Elemento infinito Volumen finito Galerkin Petrov – Galerkin Factor de integración Transformaciones integrales Teoría de la perturbación Runge – Kutta Separación de variables Coeficientes indeterminados Variación de parámetros
Gente
Lista Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v t mi

El método de elementos finitos ( FEM) es un método ampliamente utilizado para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales que surgen en ingeniería y modelado matemático. Las áreas problemáticas típicas de interés incluyen los campos tradicionales de análisis estructural, transferencia de calor, flujo de fluidos, transporte de masa y potencial electromagnético.

El FEM es un método numérico general para resolver ecuaciones diferenciales parciales en dos o tres variables espaciales (es decir, algunos problemas de valores de frontera ). Para resolver un problema, el FEM subdivide un sistema grande en partes más pequeñas y simples que se llaman elementos finitos. Esto se logra mediante una particular discretización espacial en las dimensiones del espacio, que se implementa mediante la construcción de una malla del objeto: el dominio numérico para la solución, que tiene un número finito de puntos. La formulación del método de elementos finitos de un problema de valores en la frontera finalmente da como resultado un sistema de ecuaciones algebraicas. El método aproxima la función desconocida sobre el dominio. Las ecuaciones simples que modelan estos elementos finitos se ensamblan luego en un sistema más grande de ecuaciones que modela todo el problema. Luego, el FEM aproxima una solución minimizando una función de error asociada mediante el cálculo de variaciones.

El estudio o análisis de un fenómeno con FEM a menudo se denomina análisis de elementos finitos ( FEA).

• 1 Conceptos básicos
• 2 Historia
• 3 Discusión técnica
  • 3.1 La estructura de los métodos de elementos finitos
  • 3.2 Problemas ilustrativos P1 y P2
  • 3.3 Formulación débil
    • 3.3.1 La forma débil de P1
    • 3.3.2 La forma débil de P2
    • 3.3.3 Un esquema de prueba de la existencia y unicidad de la solución
• 4 Discretización
  • 4.1 Para el problema P1
  • 4.2 Para el problema P2
  • 4.3 Elección de una base
  • 4.4 Pequeño apoyo de la base
  • 4.5 Forma matricial del problema
  • 4.6 Forma general del método de los elementos finitos
• 5 Varios tipos de métodos de elementos finitos
  • 5.1 AEM
  • 5.2 A-FEM
  • 5.3 Método de elementos finitos generalizado
  • 5.4 Método mixto de elementos finitos
  • 5.5 Variable - polinomio
  • 5,6 hpk-FEM
  • 5.7 XFEM
  • 5.8 Método de elementos finitos de frontera escalada (SBFEM)
  • 5.9 S-FEM
  • 5.10 Método del elemento espectral
  • 5.11 Métodos sin malla
  • 5.12 Métodos Galerkin discontinuos
  • 5.13 Análisis de límite de elementos finitos
  • 5.14 Método de cuadrícula estirada
  • 5.15 iteración de Loubignac
  • 5.16 Método de elementos finitos de plasticidad cristalina (CPFEM)
  • 5.17 Método de elemento virtual (VEM)
• 6 Vínculo con el método de discretización de gradientes
• 7 Comparación con el método de diferencias finitas
• 8 Aplicación
• 9 Véase también
• 10 referencias
• 11 Lecturas adicionales

Conceptos básicos

Malla FEM creada por un analista antes de encontrar una solución a un problema magnético utilizando el software FEM. Los colores indican que el analista ha establecido las propiedades del material para cada zona, en este caso, una bobina de alambre conductor en naranja; un componente ferromagnético (quizás hierro ) en azul claro; y aire en gris. Aunque la geometría puede parecer simple, sería muy difícil calcular el campo magnético para esta configuración sin el software FEM, usando solo ecuaciones. Solución FEM al problema de la izquierda, que involucra un escudo magnético de forma cilíndrica. La parte cilíndrica ferromagnética protege el área dentro del cilindro al desviar el campo magnético creado por la bobina (área rectangular a la derecha). El color representa la amplitud de la densidad de flujo magnético, como lo indica la escala en la leyenda insertada, siendo el rojo una gran amplitud. El área dentro del cilindro es de baja amplitud (azul oscuro, con líneas de flujo magnético muy espaciadas), lo que sugiere que el escudo está funcionando como fue diseñado.

La subdivisión de un dominio completo en partes más simples tiene varias ventajas:

• Representación precisa de geometría compleja
• Inclusión de propiedades de materiales diferentes
• Fácil representación de la solución total
• Captura de efectos locales.

El trabajo típico del método implica:

1. dividir el dominio del problema en una colección de subdominios, con cada subdominio representado por un conjunto de ecuaciones de elementos para el problema original
2. recombinar sistemáticamente todos los conjuntos de ecuaciones de elementos en un sistema global de ecuaciones para el cálculo final.

El sistema global de ecuaciones tiene técnicas de solución conocidas y se puede calcular a partir de los valores iniciales del problema original para obtener una respuesta numérica.

En el primer paso anterior, las ecuaciones de elementos son ecuaciones simples que se aproximan localmente a las ecuaciones complejas originales que se van a estudiar, donde las ecuaciones originales son a menudo ecuaciones diferenciales parciales (PDE). Para explicar la aproximación en este proceso, el método de elementos finitos se presenta comúnmente como un caso especial del método de Galerkin. El proceso, en lenguaje matemático, consiste en construir una integral del producto interno de las funciones residual y de peso y establecer la integral en cero. En términos simples, es un procedimiento que minimiza el error de aproximación al ajustar funciones de prueba en el PDE. El residual es el error causado por las funciones de prueba y las funciones de ponderación son funciones de aproximación polinomial que proyectan el residual. El proceso elimina todas las derivadas espaciales del PDE, aproximando el PDE localmente con

• un conjunto de ecuaciones algebraicas para problemas de estado estacionario,
• un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias para problemas transitorios.

Estos conjuntos de ecuaciones son las ecuaciones de elementos. Son lineales si el PDE subyacente es lineal y viceversa. Los conjuntos de ecuaciones algebraicas que surgen en los problemas de estado estable se resuelven utilizando métodos de álgebra lineal numérica, mientras que los conjuntos de ecuaciones diferenciales ordinarias que surgen en los problemas transitorios se resuelven mediante integración numérica utilizando técnicas estándar como el método de Euler o el método de Runge-Kutta.

En el paso (2) anterior, se genera un sistema global de ecuaciones a partir de las ecuaciones de los elementos mediante una transformación de coordenadas de los nodos locales de los subdominios a los nodos globales del dominio. Esta transformación espacial incluye los ajustes de orientación apropiados aplicados en relación con el sistema de coordenadas de referencia. El proceso a menudo se lleva a cabo mediante software FEM utilizando datos de coordenadas generados a partir de los subdominios.

FEM se comprende mejor a partir de su aplicación práctica, conocida como análisis de elementos finitos (FEA). FEA, tal como se aplica en ingeniería, es una herramienta computacional para realizar análisis de ingeniería. Incluye el uso de técnicas de generación de mallas para dividir un problema complejo en pequeños elementos, así como el uso de software codificado con un algoritmo FEM. Al aplicar FEA, el problema complejo suele ser un sistema físico con la física subyacente, como la ecuación del haz de Euler-Bernoulli, la ecuación del calor o las ecuaciones de Navier-Stokes expresadas en PDE o ecuaciones integrales, mientras que los pequeños elementos divididos de la Los problemas complejos representan diferentes áreas del sistema físico.

FEA es una buena opción para analizar problemas en dominios complicados (como automóviles y oleoductos), cuando el dominio cambia (como durante una reacción de estado sólido con un límite móvil), cuando la precisión deseada varía en todo el dominio o cuando la la solución carece de suavidad. Las simulaciones FEA proporcionan un recurso valioso ya que eliminan múltiples instancias de creación y prueba de prototipos duros para diversas situaciones de alta fidelidad. Por ejemplo, en una simulación de choque frontal es posible aumentar la precisión de la predicción en áreas "importantes" como la parte delantera del automóvil y reducirla en la parte trasera (reduciendo así el costo de la simulación). Otro ejemplo sería la predicción numérica del tiempo, donde es más importante tener predicciones precisas sobre fenómenos altamente no lineales en desarrollo (como ciclones tropicales en la atmósfera o remolinos en el océano) en lugar de áreas relativamente tranquilas.

Historia

Si bien es difícil citar una fecha de la invención del método de los elementos finitos, el método se originó a partir de la necesidad de resolver problemas complejos de análisis estructural y de elasticidad en la ingeniería civil y aeronáutica. Su desarrollo se remonta al trabajo de A. Hrennikoff y R. Courant a principios de la década de 1940. Otro pionero fue Ioannis Argyris. En la URSS, la introducción de la aplicación práctica del método generalmente está relacionada con el nombre de Leonard Oganesyan. También fue redescubierto de forma independiente en China por Feng Kang a finales de la década de 1950 y principios de la de 1960, basándose en los cálculos de las construcciones de presas, donde se lo llamó el método de diferencias finitas basado en el principio de variación. Aunque los enfoques utilizados por estos pioneros son diferentes, comparten una característica esencial: la discretización de malla de un dominio continuo en un conjunto de subdominios discretos, generalmente llamados elementos.

El trabajo de Hrennikoff discretiza el dominio usando una analogía de celosía, mientras que el enfoque de Courant divide el dominio en subregiones triangulares finitas para resolver ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden que surgen del problema de la torsión de un cilindro. La contribución de Courant fue evolutiva, basándose en una gran cantidad de resultados anteriores para PDE desarrollados por Rayleigh, Ritz y Galerkin.

El método de los elementos finitos obtuvo su impulso real en las décadas de 1960 y 1970 gracias a los desarrollos de JH Argyris con compañeros de trabajo en la Universidad de Stuttgart, RW Clough con compañeros de trabajo en UC Berkeley, OC Zienkiewicz con compañeros de trabajo Ernest Hinton, Bruce Irons y otros en la Universidad de Swansea, Philippe G. Ciarlet en la Universidad de París 6 y Richard Gallagher con compañeros de trabajo en la Universidad de Cornell. En estos años, los programas de elementos finitos de código abierto disponibles proporcionaron un impulso adicional. La NASA patrocinó la versión original de NASTRAN y UC Berkeley hizo que el programa de elementos finitos SAP IV estuviera ampliamente disponible. En Noruega, la sociedad de clasificación de barcos Det Norske Veritas (ahora DNV GL ) desarrolló Sesam en 1969 para su uso en el análisis de barcos. En 1973 se proporcionó una base matemática rigurosa para el método de los elementos finitos con la publicación de Strang y Fix. Desde entonces, el método se ha generalizado para el modelado numérico de sistemas físicos en una amplia variedad de disciplinas de ingeniería, por ejemplo, electromagnetismo, transferencia de calor y dinámica de fluidos.

Discusión técnica

La estructura de los métodos de elementos finitos

Un método de elementos finitos se caracteriza por una formulación variacional, una estrategia de discretización, uno o más algoritmos de solución y procedimientos de posprocesamiento.

Ejemplos de la formulación variacional son el método de Galerkin, el método de Galerkin discontinuo, los métodos mixtos, etc.

Una estrategia de discretización se entiende como un conjunto de procedimientos claramente definidos que cubren (a) la creación de mallas de elementos finitos, (b) la definición de la función base en elementos de referencia (también llamados funciones de forma) y (c) el mapeo de referencia elementos sobre los elementos de la malla. Ejemplos de estrategias de discretización son la h-versión, p-versión, hp-versión, x-FEM, análisis isogeometric, etc. Cada estrategia discretización tiene ciertas ventajas y desventajas. Un criterio razonable para seleccionar una estrategia de discretización es lograr un rendimiento casi óptimo para el conjunto más amplio de modelos matemáticos en una clase de modelo en particular.

Varios algoritmos de solución numérica se pueden clasificar en dos categorías amplias; solucionadores directos e iterativos. Estos algoritmos están diseñados para aprovechar la escasez de matrices que dependen de las opciones de formulación variacional y estrategia de discretización.

Los procedimientos de posprocesamiento están diseñados para la extracción de los datos de interés de una solución de elementos finitos. Para cumplir con los requisitos de verificación de la solución, los posprocesadores deben proporcionar una estimación del error a posteriori en términos de las cantidades de interés. Cuando los errores de aproximación son mayores de lo que se considera aceptable, la discretización debe cambiarse mediante un proceso adaptativo automatizado o mediante la acción del analista. Hay algunos posprocesadores muy eficientes que permiten la realización de la superconvergencia.

Problemas ilustrativos P1 y P2

Demostraremos el método de los elementos finitos utilizando dos problemas de muestra de los cuales se puede extrapolar el método general. Se supone que el lector está familiarizado con el cálculo y el álgebra lineal.

P1 es un problema unidimensional

$$  P1  : { tu ″ ( X ) = F ( X )  en  ( 0 , 1 ) , tu ( 0 ) = tu ( 1 ) = 0 , {\ Displaystyle {\ mbox {P1}}: {\ begin {cases} u '' (x) = f (x) {\ mbox {in}} (0,1), \\ u (0) = u ( 1) = 0, \ end {cases}}}

donde se da, es una función desconocida de y es la segunda derivada de con respecto a. $$

F {\ Displaystyle f}$$tu {\ Displaystyle u}$$X {\ Displaystyle x}$$ tu ″ {\ Displaystyle u ''}$$tu {\ Displaystyle u}$$X {\ Displaystyle x}

P2 es un problema bidimensional ( problema de Dirichlet )

$$ P2  : { tu X X ( X , y ) + tu y y ( X , y ) = F ( X , y )  en  Ω , tu = 0  sobre  ∂ Ω , {\ Displaystyle {\ mbox {P2}}: {\ begin {cases} u_ {xx} (x, y) + u_ {yy} (x, y) = f (x, y) amp; {\ mbox {in} } \ Omega, \\ u = 0 amp; {\ mbox {on}} \ partial \ Omega, \ end {cases}}}

donde es una región abierta conectada en el plano cuyo límite es agradable (por ejemplo, una variedad suave o un polígono ), y y denotan las segundas derivadas con respecto a y, respectivamente. $$

Ω {\ Displaystyle \ Omega}$$(X,y) {\ Displaystyle (x, y)}$$∂Ω {\ Displaystyle \ parcial \ Omega} $$ tu X X {\ Displaystyle u_ {xx}}$$ tu y y {\ Displaystyle u_ {yy}}$$X {\ Displaystyle x}$$y {\ Displaystyle y}

El problema P1 se puede resolver directamente calculando antiderivadas. Sin embargo, este método para resolver el problema del valor en la frontera (PVV) funciona solo cuando hay una dimensión espacial y no se generaliza a problemas de dimensiones superiores o problemas como. Por esta razón, desarrollaremos el método de elementos finitos para P1 y describiremos su generalización a P2. $$

tu+ tu ″=F {\ Displaystyle u + u '' = f}

Nuestra explicación procederá en dos pasos, que reflejan dos pasos esenciales que uno debe tomar para resolver un problema de valor en la frontera (BVP) usando el FEM.

• En el primer paso, se reformula el BVP original en su forma débil. Por lo general, se requiere poco o ningún cálculo para este paso. La transformación se realiza a mano sobre papel.
• El segundo paso es la discretización, donde la forma débil se discretiza en un espacio de dimensión finita.

Después de este segundo paso, tenemos fórmulas concretas para un problema lineal grande pero de dimensión finita cuya solución resolverá aproximadamente el BVP original. Este problema de dimensión finita se implementa luego en una computadora.

Formulación débil

El primer paso es convertir P1 y P2 en sus formulaciones débiles equivalentes.

La forma débil de P1

Si resuelve P1, entonces para cualquier función suave que satisfaga las condiciones de contorno de desplazamiento, es decir, en y, tenemos $$

tu {\ Displaystyle u}$$v {\ Displaystyle v}$$v=0 {\ Displaystyle v = 0}$$X=0 {\ Displaystyle x = 0}$$X=1 {\ Displaystyle x = 1}

(1) $$

∫ 0 1F(X)v(X)DX= ∫ 0 1 tu ″(X)v(X)DX. {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} f (x) v (x) \, dx = \ int _ {0} ^ {1} u '' (x) v (x) \, dx.}

Por el contrario, si con satisface (1) para cada función suave, entonces se puede mostrar que esto resolverá P1. La demostración es más fácil para dos veces diferenciables continuamente ( teorema del valor medio ), pero también puede demostrarse en un sentido distributivo. $$

tu {\ Displaystyle u}$$tu(0)=tu(1)=0 {\ Displaystyle u (0) = u (1) = 0}$$v(X) {\ Displaystyle v (x)}$$tu {\ Displaystyle u}$$tu {\ Displaystyle u}

Definimos un nuevo operador o mapa usando la integración por partes en el lado derecho de (1): $$

ϕ(tu,v) {\ Displaystyle \ phi (u, v)}

(2)$$

∫ 0 1 F ( X ) v ( X ) D X = ∫ 0 1 tu ″ ( X ) v ( X ) D X = tu ′ ( X ) v ( X ) | 0 1 - ∫ 0 1 tu ′ ( X ) v ′ ( X ) D X = - ∫ 0 1 tu ′ ( X ) v ′ ( X ) D X ≡ - ϕ ( tu , v ) , {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int _ {0} ^ {1} f (x) v (x) \, dx amp; = \ int _ {0} ^ {1} u '' (x) v (x) \, dx \\ amp; = u '(x) v (x) | _ {0} ^ {1} - \ int _ {0} ^ {1} u' (x) v '(x) \, dx \\ amp; = - \ int _ {0} ^ {1} u '(x) v' (x) \, dx \ equiv - \ phi (u, v), \ end {alineado}}}

donde hemos utilizado la suposición de que. $$

v(0)=v(1)=0 {\ Displaystyle v (0) = v (1) = 0}

La forma débil de P2

Si integramos por partes usando una forma de identidades de Green, vemos que si resuelve P2, entonces podemos definir para cualquiera por $$

tu {\ Displaystyle u}$$ϕ(tu,v) {\ Displaystyle \ phi (u, v)}$$v {\ Displaystyle v}

$$ ∫ ΩFvDs=- ∫ Ω∇tu⋅∇vDs≡-ϕ(tu,v), {\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} fv \, ds = - \ int _ {\ Omega} \ nabla u \ cdot \ nabla v \, ds \ equiv - \ phi (u, v),}

donde denota el gradiente y denota el producto escalar en el plano bidimensional. Una vez más se puede convertir en un producto interno en un espacio adecuado de funciones una vez diferenciables de que son cero. También hemos asumido que (ver espacios de Sobolev ). También se puede demostrar la existencia y unicidad de la solución. $$

∇ {\ Displaystyle \ nabla} $$⋅ {\ Displaystyle \ cdot} $$ϕ {\ Displaystyle \, \! \ phi}$$ H 0 1(Ω) {\ Displaystyle H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}$$Ω {\ Displaystyle \ Omega}$$∂Ω {\ Displaystyle \ parcial \ Omega}$$v∈ H 0 1(Ω) {\ Displaystyle v \ in H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}

Un esquema de prueba de la existencia y unicidad de la solución.

Podemos pensar libremente en las funciones absolutamente continuas de que están en y (ver espacios de Sobolev ). Estas funciones son (débilmente) diferenciables una vez y resulta que el mapa bilineal simétrico define un producto interno que se convierte en un espacio de Hilbert (una demostración detallada no es trivial). Por otro lado, el lado izquierdo también es un producto interior, esta vez en el espacio Lp. Una aplicación del teorema de representación de Riesz para espacios de Hilbert muestra que hay una solución única (2) y, por lo tanto, P1. Esta solución es a priori solo un miembro de, pero usando la regularidad elíptica, será suave si lo es. $$

H 0 1(0,1) {\ Displaystyle H_ {0} ^ {1} (0,1)} $$(0,1) {\ Displaystyle (0,1)}$$0 {\ displaystyle 0}$$X=0 {\ Displaystyle x = 0}$$X=1 {\ Displaystyle x = 1} $$ϕ {\ Displaystyle \! \, \ phi} $$ H 0 1(0,1) {\ Displaystyle H_ {0} ^ {1} (0,1)} $$ ∫ 0 1F(X)v(X)DX {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} f (x) v (x) dx} $$ L 2(0,1) {\ Displaystyle L ^ {2} (0,1)} $$tu {\ Displaystyle u}$$ H 0 1(0,1) {\ Displaystyle H_ {0} ^ {1} (0,1)} $$F {\ Displaystyle f}

Discretización

Una función con valores cero en los puntos finales (azul) y una aproximación lineal por partes (rojo)$$ H 0 1, {\ Displaystyle H_ {0} ^ {1},}

P1 y P2 están listos para ser discretizados, lo que conduce a un subproblema común (3). La idea básica es reemplazar el problema lineal de dimensión infinita:

Encontrar tal que$$tu∈ H 0 1 {\ Displaystyle u \ en H_ {0} ^ {1}}

$$∀v∈ H 0 1,-ϕ(tu,v)=∫Fv {\ Displaystyle \ forall v \ in H_ {0} ^ {1}, \; - \ phi (u, v) = \ int fv}

con una versión de dimensión finita:

(3) Encuentre tal que$$tu∈V {\ Displaystyle u \ in V}

$$∀v∈V,-ϕ(tu,v)=∫Fv {\ Displaystyle \ forall v \ in V, \; - \ phi (u, v) = \ int fv}

donde es un subespacio de dimensión finita de. Hay muchas opciones posibles para (una posibilidad conduce al método espectral ). Sin embargo, para el método de elementos finitos tomamos como un espacio de funciones polinomiales por partes. $$

V {\ Displaystyle V} $$ H 0 1 {\ Displaystyle H_ {0} ^ {1}}$$V {\ Displaystyle V} $$V {\ Displaystyle V}

Para el problema P1

Tomamos el intervalo, elegimos valores de con y lo definimos por: $$

(0,1) {\ Displaystyle (0,1)}$$norte {\ Displaystyle n}$$X {\ Displaystyle x}$$0= X 0lt; X 1lt;⋯lt; X nortelt; X norte + 1=1 {\ Displaystyle 0 = x_ {0} lt;x_ {1} lt;\ cdots lt;x_ {n} lt;x_ {n + 1} = 1}$$V {\ Displaystyle V}

$$V={v:[0,1]→ R:v  es continuo,  v | [ X k , X k + 1 ]  es lineal para  k = 0 , ... , norte , y  v ( 0 ) = v ( 1 ) = 0 } {\ Displaystyle V = \ {v: [0,1] \ rightarrow \ mathbb {R} \ ;: v {\ mbox {es continuo,}} v | _ {[x_ {k}, x_ {k + 1} ]} {\ mbox {es lineal para}} k = 0, \ dots, n {\ mbox {y}} v (0) = v (1) = 0 \}}

donde definimos y. Observe que las funciones en no son diferenciables según la definición elemental de cálculo. En efecto, si entonces la derivada típicamente no se define en cualquier,. Sin embargo, la derivada existe en cualquier otro valor de y se puede usar esta derivada con el propósito de la integración por partes. $$

X 0=0 {\ Displaystyle x_ {0} = 0}$$ X norte + 1=1 {\ Displaystyle x_ {n + 1} = 1}$$V {\ Displaystyle V}$$v∈V {\ Displaystyle v \ in V}$$X= X k {\ Displaystyle x = x_ {k}}$$k=1,...,norte {\ Displaystyle k = 1, \ ldots, n}$$X {\ Displaystyle x}

Una función lineal por partes en dos dimensiones

Para el problema P2

Necesitamos ser un conjunto de funciones de. En la figura de la derecha, hemos ilustrado una triangulación de una región poligonal de 15 lados en el plano (abajo), y una función lineal por partes (arriba, en color) de este polígono que es lineal en cada triángulo de la triangulación; el espacio estaría formado por funciones que son lineales en cada triángulo de la triangulación elegida. $$

V {\ Displaystyle V}$$Ω {\ Displaystyle \ Omega} $$Ω {\ Displaystyle \ Omega} $$V {\ Displaystyle V}

Se espera que a medida que la malla triangular subyacente se vuelva más y más fina, la solución del problema discreto (3) convergerá en algún sentido con la solución del problema de valor de frontera original P2. Para medir esta finura de malla, la triangulación se indexa mediante un parámetro de valor real que se considera muy pequeño. Este parámetro estará relacionado con el tamaño del triángulo más grande o promedio en la triangulación. A medida que refinamos la triangulación, el espacio de las funciones lineales por partes también debe cambiar con. Por esta razón, a menudo se lee en lugar de en la literatura. Dado que no realizamos dicho análisis, no usaremos esta notación. $$

hgt;0 {\ Displaystyle hgt; 0}$$V {\ Displaystyle V}$$h {\ Displaystyle h}$$ V h {\ Displaystyle V_ {h}}$$V {\ Displaystyle V}

Elegir una base

Interpolación de una función de Bessel 16 funciones de base triangular escaladas y desplazadas (colores) utilizadas para reconstruir una función de Bessel de orden cero J 0 (negro). La combinación lineal de funciones básicas (amarillo) reproduce J 0 (negro) con la precisión deseada.

Para completar la discretización, debemos seleccionar una base de. En el caso unidimensional, para cada punto de control elegiremos la función lineal por partes en cuyo valor es en y cero en cada, es decir, $$

V {\ Displaystyle V}$$ X k {\ Displaystyle x_ {k}}$$ v k {\ Displaystyle v_ {k}}$$V {\ Displaystyle V}$$1 {\ Displaystyle 1}$$ X k {\ Displaystyle x_ {k}}$$ X j,j≠k {\ Displaystyle x_ {j}, \; j \ neq k}

$$ v k(X)= { X - X k - 1 X k - X k - 1  si  X ∈ [ X k - 1 , X k ] , X k + 1 - X X k + 1 - X k  si  X ∈ [ X k , X k + 1 ] , 0  de lo contrario , {\ Displaystyle v_ {k} (x) = {\ begin {cases} {x-x_ {k-1} \ over x_ {k} \, - x_ {k-1}} amp; {\ mbox {if}} x \ in [x_ {k-1}, x_ {k}], \\ {x_ {k + 1} \, - x \ over x_ {k + 1} \, - x_ {k}} amp; {\ mbox {if}} x \ in [x_ {k}, x_ {k + 1}], \\ 0 amp; {\ mbox {de lo contrario}}, \ end {cases}}}

para ; esta base es una función de carpa desplazada y escalada. Para el caso bidimensional, elegimos nuevamente una función base por vértice de la triangulación de la región plana. La función es la función única de cuyo valor está en y cero en cada. $$

k=1,...,norte {\ Displaystyle k = 1, \ dots, n} $$ v k {\ Displaystyle v_ {k}}$$ X k {\ Displaystyle x_ {k}}$$Ω {\ Displaystyle \ Omega}$$ v k {\ Displaystyle v_ {k}}$$V {\ Displaystyle V}$$1 {\ Displaystyle 1}$$ X k {\ Displaystyle x_ {k}}$$ X j,j≠k {\ Displaystyle x_ {j}, \; j \ neq k}

Dependiendo del autor, la palabra "elemento" en el "método de elementos finitos" se refiere a los triángulos en el dominio, la función de base lineal por partes, o ambas. Entonces, por ejemplo, un autor interesado en dominios curvos podría reemplazar los triángulos con primitivas curvas y, por lo tanto, podría describir los elementos como curvilíneos. Por otro lado, algunos autores reemplazan "lineal a trozos" por "cuadrático a trozos" o incluso "polinomio a trozos". El autor podría entonces decir "elemento de orden superior" en lugar de "polinomio de grado superior". El método de los elementos finitos no está restringido a triángulos (o tetraedros en 3-d, o simplex de orden superior en espacios multidimensionales), pero se puede definir en subdominios de cuadriláteros (hexaedros, prismas o pirámides en 3-d, etc.). Las formas de orden superior (elementos curvilíneos) se pueden definir con formas polinomiales e incluso no polinomiales (por ejemplo, elipse o círculo).

Ejemplos de métodos que utilizan funciones de base polinomial por partes de mayor grado son el hp-FEM y el FEM espectral.

Las implementaciones más avanzadas (métodos adaptativos de elementos finitos) utilizan un método para evaluar la calidad de los resultados (basado en la teoría de estimación de errores) y modificar la malla durante la solución con el objetivo de lograr una solución aproximada dentro de algunos límites de la solución exacta del problema continuo.. La adaptabilidad de malla puede utilizar varias técnicas, las más populares son:

• nodos móviles (adaptabilidad r)
• elementos refinados (y no refinados) (adaptabilidad h)
• cambiar el orden de las funciones base (p-adaptabilidad)
• combinaciones de los anteriores ( hp-adaptabilidad ).

Pequeño apoyo de la base

Resolver el problema bidimensional en el disco centrado en el origen y radio 1, con condiciones de contorno cero. (a) La triangulación.$$ tu X X+ tu y y=-4 {\ Displaystyle u_ {xx} + u_ {yy} = - 4} (b) La matriz dispersa L del sistema lineal discretizado (c) La solución calculada, $$tu(X,y)=1- X 2- y 2. {\ Displaystyle u (x, y) = 1-x ^ {2} -y ^ {2}.}

La principal ventaja de esta elección de base es que los productos internos

$$⟨ v j, v k⟩= ∫ 0 1 v j v kDX {\ Displaystyle \ langle v_ {j}, v_ {k} \ rangle = \ int _ {0} ^ {1} v_ {j} v_ {k} \, dx}

y

$$ϕ( v j, v k)= ∫ 0 1 v j ′ v k ′DX {\ Displaystyle \ phi (v_ {j}, v_ {k}) = \ int _ {0} ^ {1} v_ {j} 'v_ {k}' \, dx}

será cero para casi todos. (La matriz que contiene la ubicación se conoce como matriz de Gramian ). En el caso unidimensional, el soporte de es el intervalo. Por tanto, los integrandos de y son idénticamente cero siempre que. $$

j,k {\ Displaystyle j, k}$$⟨ v j, v k⟩ {\ Displaystyle \ langle v_ {j}, v_ {k} \ rangle}$$(j,k) {\ Displaystyle (j, k)} $$ v k {\ Displaystyle v_ {k}}$$[ X k - 1, X k + 1] {\ Displaystyle [x_ {k-1}, x_ {k + 1}]}$$⟨ v j, v k⟩ {\ Displaystyle \ langle v_ {j}, v_ {k} \ rangle}$$ϕ( v j, v k) {\ Displaystyle \ phi (v_ {j}, v_ {k})}$$ |j-k |gt;1 {\ Displaystyle | jk |gt; 1}

De manera similar, en el caso plano, si y no comparten un borde de la triangulación, entonces las integrales $$

X j {\ Displaystyle x_ {j}}$$ X k {\ Displaystyle x_ {k}}

$$ ∫ Ω v j v kDs {\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} v_ {j} v_ {k} \, ds}

y

$$ ∫ Ω∇ v j⋅∇ v kDs {\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla v_ {j} \ cdot \ nabla v_ {k} \, ds}

ambos son cero.

Forma matricial del problema

Si escribimos y luego el problema (3), tomando por, se convierte en $$

tu(X)= ∑ k = 1 norte tu k v k(X) {\ Displaystyle u (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} u_ {k} v_ {k} (x)}$$F(X)= ∑ k = 1 norte F k v k(X) {\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} f_ {k} v_ {k} (x)}$$v(X)= v j(X) {\ Displaystyle v (x) = v_ {j} (x)}$$j=1,...,norte {\ Displaystyle j = 1, \ dots, n}

$$- ∑ k = 1 norte tu kϕ( v k, v j)= ∑ k = 1 norte F k∫ v k v jDX {\ Displaystyle - \ sum _ {k = 1} ^ {n} u_ {k} \ phi (v_ {k}, v_ {j}) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} f_ {k} \ int v_ {k} v_ {j} dx}para (4)$$j=1,...,norte. {\ Displaystyle j = 1, \ dots, n.}

Si denotamos por y los vectores de columna y, y si dejamos $$

tu {\ Displaystyle \ mathbf {u}}$$ F {\ Displaystyle \ mathbf {f}}$$( tu 1,..., tu norte ) t {\ Displaystyle (u_ {1}, \ dots, u_ {n}) ^ {t}}$$( F 1,..., F norte ) t {\ Displaystyle (f_ {1}, \ dots, f_ {n}) ^ {t}}

$$L=( L I j) {\ Displaystyle L = (L_ {ij})}

y

$$METRO=( METRO I j) {\ Displaystyle M = (M_ {ij})}

ser matrices cuyas entradas son

$$ L I j=ϕ( v I, v j) {\ Displaystyle L_ {ij} = \ phi (v_ {i}, v_ {j})}

y

$$ METRO I j=∫ v I v jDX {\ Displaystyle M_ {ij} = \ int v_ {i} v_ {j} dx}

entonces podemos reformular (4) como

$$-L tu=METRO F. {\ Displaystyle -L \ mathbf {u} = M \ mathbf {f}.} (5)

No es necesario asumir. Para una función general, el problema (3) con for se vuelve realmente más simple, ya que no se usa ninguna matriz, $$

F(X)= ∑ k = 1 norte F k v k(X) {\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} f_ {k} v_ {k} (x)}$$F(X) {\ Displaystyle f (x)}$$v(X)= v j(X) {\ Displaystyle v (x) = v_ {j} (x)}$$j=1,...,norte {\ Displaystyle j = 1, \ dots, n}$$METRO {\ Displaystyle M}

$$-L tu= B {\ Displaystyle -L \ mathbf {u} = \ mathbf {b}}, (6)

donde y para. $$

B=( B 1,..., B norte ) t {\ Displaystyle \ mathbf {b} = (b_ {1}, \ dots, b_ {n}) ^ {t}}$$ B j=∫F v jDX {\ Displaystyle b_ {j} = \ int fv_ {j} dx}$$j=1,...,norte {\ Displaystyle j = 1, \ dots, n}

Como hemos comentado antes, la mayoría de las entradas de y son cero porque las funciones de base tienen poco soporte. Entonces ahora tenemos que resolver un sistema lineal en la incógnita donde la mayoría de las entradas de la matriz, que necesitamos invertir, son cero. $$

L {\ Displaystyle L}$$METRO {\ Displaystyle M}$$ v k {\ Displaystyle v_ {k}}$$ tu {\ Displaystyle \ mathbf {u}}$$L {\ Displaystyle L}

Estas matrices se conocen como matrices dispersas, y existen solucionadores eficientes para tales problemas (mucho más eficientes que invertir la matriz). Además, es simétrica y definida positiva, por lo que se favorece una técnica como el método del gradiente conjugado. Para problemas que no son demasiado grandes, las descomposiciones LU dispersas y las descomposiciones Cholesky aún funcionan bien. Por ejemplo, el operador de barra invertida de MATLAB (que utiliza LU dispersa, Cholesky disperso y otros métodos de factorización) puede ser suficiente para mallas con cien mil vértices. $$

L {\ Displaystyle L}

La matriz generalmente se denomina matriz de rigidez, mientras que la matriz se denomina matriz de masa. $$

L {\ Displaystyle L} $$METRO {\ Displaystyle M}

Forma general del método de los elementos finitos

En general, el método de los elementos finitos se caracteriza por el siguiente proceso.

• Uno elige una cuadrícula para. En el tratamiento anterior, la cuadrícula constaba de triángulos, pero también se pueden usar cuadrados o polígonos curvilíneos.$$Ω {\ Displaystyle \ Omega}
• Luego, se elige funciones de base. En nuestra discusión, usamos funciones de base lineal por partes, pero también es común usar funciones de base polinomial por partes.

Una consideración aparte es la suavidad de las funciones básicas. Para problemas de valores de frontera elípticos de segundo orden, la función base polinomial por partes que es meramente continua es suficiente (es decir, las derivadas son discontinuas). Para ecuaciones diferenciales parciales de orden superior, se deben usar funciones base más suaves. Por ejemplo, para un problema de cuarto orden como, uno puede usar funciones de base cuadrática por partes que son. $$

tu X X X X+ tu y y y y=F {\ Displaystyle u_ {xxxx} + u_ {yyyy} = f} $$ C 1 {\ Displaystyle C ^ {1}}

Otra consideración es la relación del espacio de dimensión finita con su contraparte de dimensión infinita, en los ejemplos anteriores. Un método de elemento conforme es aquel en el que el espacio es un subespacio del espacio del elemento para el problema continuo. El ejemplo anterior es un método de este tipo. Si esta condición no se satisface, obtenemos un método de elemento no conforme, un ejemplo del cual es el espacio de funciones lineales por partes sobre la malla que son continuas en cada punto medio del borde. Dado que estas funciones son en general discontinuas a lo largo de los bordes, este espacio de dimensión finita no es un subespacio del original. $$

V {\ Displaystyle V}$$ H 0 1 {\ Displaystyle H_ {0} ^ {1}} $$V {\ Displaystyle V} $$ H 0 1 {\ Displaystyle H_ {0} ^ {1}}

Normalmente, uno tiene un algoritmo para tomar una malla determinada y subdividirla. Si el método principal para aumentar la precisión es subdividir la malla, se tiene un método h ( h es habitualmente el diámetro del elemento más grande en la malla). De esta manera, si se muestra que el error con una cuadrícula está acotado por encima por, para algunos y, entonces uno tiene un método de orden p. Bajo ciertas hipótesis (por ejemplo, si el dominio es convexo), un método de polinomio de orden por partes tendrá un error de orden. $$

h {\ Displaystyle h}$$C h pag {\ Displaystyle Ch ^ {p}}$$Clt;∞ {\ Displaystyle C lt;\ infty}$$paggt;0 {\ Displaystyle pgt; 0}$$D {\ Displaystyle d}$$pag=D+1 {\ Displaystyle p = d + 1}

Si en lugar de hacer h más pequeño, se aumenta el grado de los polinomios usados ​​en la función base, se tiene un método p. Si uno combina estos dos tipos de refinamiento, se obtiene una hp -method ( CV-FEM ). En hp-FEM, los grados de polinomio pueden variar de un elemento a otro. Los métodos de orden superior con p uniforme grande se denominan métodos espectrales de elementos finitos ( SFEM ). Estos no deben confundirse con los métodos espectrales.

Para ecuaciones diferenciales parciales vectoriales, las funciones base pueden tomar valores en. $$

R norte {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}

Varios tipos de métodos de elementos finitos

AEM

El método de elemento aplicado o AEM combina características de FEM y método de elemento discreto, o (DEM).

Artículo principal: método de elemento aplicado

A-FEM

Yang y Lui introducen el método de elementos finitos aumentados, cuyo objetivo era modelar las discontinuidades débiles y fuertes sin la necesidad de DoF adicionales, como se indica en PuM.

Método de elementos finitos generalizado

El método de elementos finitos generalizados (GFEM) utiliza espacios locales que constan de funciones, no necesariamente polinomios, que reflejan la información disponible sobre la solución desconocida y así aseguran una buena aproximación local. Luego, se usa una partición de unidad para "unir" estos espacios para formar el subespacio aproximado. Se ha demostrado la eficacia de GFEM cuando se aplica a problemas con dominios que tienen límites complicados, problemas con microescalas y problemas con capas de límites.

Método mixto de elementos finitos

Artículo principal: método mixto de elementos finitos

El método mixto de elementos finitos es un tipo de método de elementos finitos en el que se introducen variables independientes adicionales como variables nodales durante la discretización de un problema de ecuación diferencial parcial.

Variable - polinomio

El hp-FEM combina de manera adaptativa elementos con tamaño variable hy grado polinómico p para lograr tasas de convergencia exponencial excepcionalmente rápidas.

hpk-FEM

El hpk-FEM combina de forma adaptativa elementos con tamaño variable h, grado polinómico de las aproximaciones locales py diferenciabilidad global de las aproximaciones locales (k-1) para lograr las mejores tasas de convergencia.

XFEM

Artículo principal: método de elementos finitos extendido

El método de elementos finitos extendido (XFEM) es una técnica numérica basada en el método de elementos finitos generalizados (GFEM) y el método de partición de la unidad (PUM). Extiende el método clásico de elementos finitos al enriquecer el espacio de solución para soluciones a ecuaciones diferenciales con funciones discontinuas. Los métodos de elementos finitos extendidos enriquecen el espacio de aproximación para que pueda reproducir de forma natural la característica desafiante asociada con el problema de interés: la discontinuidad, la singularidad, la capa límite, etc. el espacio de aproximación puede mejorar significativamente las tasas de convergencia y la precisión. Además, el tratamiento de problemas con discontinuidades con XFEMs suprime la necesidad de mallar y volver a mallar las superficies de discontinuidad, aliviando así los costos computacionales y los errores de proyección asociados con los métodos convencionales de elementos finitos, a costa de restringir las discontinuidades a los bordes de la malla.

Varios códigos de investigación implementan esta técnica en varios grados: 1. GetFEM ++ 2. xfem ++ 3. openxfem ++

XFEM también se ha implementado en códigos como Altair Radios, ASTER, Morfeo y Abaqus. Está siendo adoptado cada vez más por otro software comercial de elementos finitos, con algunos complementos e implementaciones centrales reales disponibles (ANSYS, SAMCEF, OOFELIE, etc.).

Método de elementos finitos de límite escalado (SBFEM)

La introducción del método de elementos finitos de límite escalado (SBFEM) provino de Song y Wolf (1997). El SBFEM ha sido una de las contribuciones más rentables en el área del análisis numérico de problemas de mecánica de fracturas. Es un método semi-analítico sin solución fundamental que combina las ventajas de las formulaciones y procedimientos de elementos finitos y la discretización de elementos de contorno. Sin embargo, a diferencia del método del elemento de contorno, no se requiere una solución diferencial fundamental.

S-FEM

Artículo principal: método de elementos finitos suavizados

El S-FEM, métodos de elementos finitos suavizados, es una clase particular de algoritmos de simulación numérica para la simulación de fenómenos físicos. Fue desarrollado combinando métodos sin malla con el método de elementos finitos.

Método del elemento espectral

Artículo principal: método del elemento espectral

Los métodos de elementos espectrales combinan la flexibilidad geométrica de los elementos finitos y la gran precisión de los métodos espectrales. Los métodos espectrales son la solución aproximada de ecuaciones parciales de forma débil que se basan en interpolantes lagrangianos de orden superior y se usan solo con ciertas reglas de cuadratura.

Métodos sin malla

Artículo principal: métodos sin malla

Métodos discontinuos de Galerkin

Artículo principal: método Galerkin discontinuo

Análisis de límites de elementos finitos

Artículo principal: Análisis de límites de elementos finitos

Método de cuadrícula estirada

Artículo principal: método de cuadrícula estirada

Iteración de Loubignac

La iteración de Loubignac es un método iterativo en métodos de elementos finitos.

Método de elementos finitos de plasticidad cristalina (CPFEM)

El método de elementos finitos de plasticidad cristalina (CPFEM) es una herramienta numérica avanzada desarrollada por Franz Roters. Los metales se pueden considerar como agregados cristalinos y se comportan anisotropía bajo deformación, por ejemplo, tensión anormal y localización de deformaciones. El CPFEM basado en el deslizamiento (tasa de deformación por cizallamiento) puede calcular la dislocación, la orientación del cristal y otra información de textura para considerar la anisotropía del cristal durante la rutina. Ahora se ha aplicado en el estudio numérico de deformación de materiales, rugosidad superficial, fracturas, etc.

Método de elemento virtual (VEM)

El método del elemento virtual (VEM), introducido por Beirão da Veiga et al. (2013) como una extensión de los métodos miméticos de diferencias finitas (MFD), es una generalización del método estándar de elementos finitos para geometrías de elementos arbitrarios. Esto permite la admisión de polígonos generales (o poliedros en 3D) que son muy irregulares y de forma no convexa. El nombre virtual se deriva del hecho de que no se requiere el conocimiento de la base de la función de forma local y, de hecho, nunca se calcula explícitamente.

Vincular con el método de discretización de gradientes

Algunos tipos de métodos de elementos finitos (conformes, no conformes, métodos de elementos finitos mixtos) son casos particulares del método de discretización de gradiente (GDM). Por lo tanto, las propiedades de convergencia de la GDM, que se establecen para una serie de problemas (problemas elípticos lineales y no lineales, problemas lineales, no lineales y parabólicos degenerados), son válidas también para estos métodos particulares de elementos finitos.

Comparación con el método de diferencias finitas

El método de diferencias finitas (FDM) es una forma alternativa de aproximar soluciones de PDE. Las diferencias entre FEM y FDM son:

• La característica más atractiva del FEM es su capacidad para manejar geometrías complicadas (y límites) con relativa facilidad. Mientras que FDM en su forma básica está restringido para manejar formas rectangulares y alteraciones simples de las mismas, el manejo de geometrías en FEM es teóricamente sencillo.
• FDM no se usa generalmente para geometrías CAD irregulares, sino más a menudo modelos rectangulares o en forma de bloque.
• La característica más atractiva de las diferencias finitas es que es muy fácil de implementar.
• Hay varias formas en que se podría considerar a la FDM como un caso especial del enfoque FEM. Por ejemplo, el FEM de primer orden es idéntico al FDM para la ecuación de Poisson, si el problema se discretiza mediante una malla rectangular regular con cada rectángulo dividido en dos triángulos.
• Hay razones para considerar la base matemática de la aproximación de elementos finitos más sólida, por ejemplo, porque la calidad de la aproximación entre los puntos de la cuadrícula es pobre en FDM.
• La calidad de una aproximación FEM es a menudo más alta que en el enfoque FDM correspondiente, pero esto depende en gran medida del problema y se pueden proporcionar varios ejemplos de lo contrario.

Generalmente, FEM es el método de elección en todos los tipos de análisis en mecánica estructural (es decir, resolver deformaciones y tensiones en cuerpos sólidos o dinámica de estructuras) mientras que la dinámica de fluidos computacional (CFD) tiende a usar FDM u otros métodos como el método de volumen finito ( FVM). Los problemas de CFD generalmente requieren la discretización del problema en una gran cantidad de celdas / puntos de cuadrícula (millones y más), por lo tanto, el costo de la solución favorece una aproximación de orden inferior más simple dentro de cada celda. Esto es especialmente cierto para los problemas de "flujo externo", como el flujo de aire alrededor del automóvil o el avión, o la simulación del clima.

Solicitud

Modelo de transporte de contaminación 3D: campo de concentración a nivel del suelo Modelo de transporte de contaminación 3D: campo de concentración en una superficie perpendicular

Una variedad de especializaciones bajo el paraguas de la disciplina de la ingeniería mecánica (como las industrias aeronáutica, biomecánica y automotriz) comúnmente utilizan FEM integrado en el diseño y desarrollo de sus productos. Varios paquetes de FEM modernos incluyen componentes específicos como entornos de trabajo térmicos, electromagnéticos, de fluidos y estructurales. En una simulación estructural, FEM ayuda enormemente a producir visualizaciones de rigidez y resistencia y también a minimizar el peso, los materiales y los costos.

FEM permite una visualización detallada de dónde se doblan o tuercen las estructuras e indica la distribución de tensiones y desplazamientos. El software FEM proporciona una amplia gama de opciones de simulación para controlar la complejidad tanto del modelado como del análisis de un sistema. De manera similar, el nivel deseado de precisión requerido y los requisitos de tiempo computacional asociados se pueden administrar simultáneamente para abordar la mayoría de las aplicaciones de ingeniería. FEM permite construir, perfeccionar y optimizar diseños completos antes de que se fabrique el diseño. La malla es una parte integral del modelo y debe controlarse cuidadosamente para dar los mejores resultados. Generalmente, cuanto mayor es el número de elementos en una malla, más precisa es la solución del problema discretizado. Sin embargo, existe un valor en el que los resultados convergen y un mayor refinamiento de la malla no aumenta la precisión.

Modelo de elementos finitos de una articulación de rodilla humana.

Esta poderosa herramienta de diseño ha mejorado significativamente tanto el estándar de los diseños de ingeniería como la metodología del proceso de diseño en muchas aplicaciones industriales. La introducción de FEM ha reducido sustancialmente el tiempo necesario para llevar los productos desde el concepto a la línea de producción. Es principalmente a través de diseños de prototipos iniciales mejorados que utilizan FEM que se han acelerado las pruebas y el desarrollo. En resumen, los beneficios de FEM incluyen una mayor precisión, un diseño mejorado y una mejor comprensión de los parámetros de diseño críticos, creación de prototipos virtuales, menos prototipos de hardware, un ciclo de diseño más rápido y menos costoso, mayor productividad y mayores ingresos.

En la década de 1990, se propuso la FEA para su uso en modelos estocásticos para la resolución numérica de modelos de probabilidad y más tarde para la evaluación de la confiabilidad.

Ver también

• Método de elemento aplicado
• Método del elemento de contorno
• El lema de Céa
• Experimento informático
• Método de rigidez directa
• Optimización del diseño de discontinuidad
• Método de elementos discretos
• Método de diferencias finitas
• Máquina de elementos finitos
• Método de elementos finitos en mecánica estructural
• Método de volumen finito
• Método de volumen finito para flujo inestable
• Método de elemento infinito
• Elemento finito de intervalo
• Análisis isogeométrico
• Métodos de celosía de Boltzmann
• Lista de paquetes de software de elementos finitos
• Métodos sin malla
• Autómata celular móvil
• Optimización de diseño multidisciplinar
• Multifísica
• Prueba de parche
• Método de Rayleigh-Ritz
• Mapeo espacial
• Teselación (gráficos por computadora)
• Forma débil debilitada

Referencias

Otras lecturas

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con el modelado de elementos finitos.

• G. Allaire y A. Craig: Análisis numérico y optimización: Introducción al modelado matemático y la simulación numérica.
• KJ Bathe: Métodos numéricos en el análisis de elementos finitos, Prentice-Hall (1976).
• Thomas JR Hughes: El método de elementos finitos: análisis de elementos finitos estático y dinámico lineal, Prentice-Hall (1987).
• J. Chaskalovic: Métodos de elementos finitos para ciencias de la ingeniería, Springer Verlag, (2008).
• Endre Süli : Métodos de elementos finitos para ecuaciones diferenciales parciales.
• OC Zienkiewicz, RL Taylor, JZ Zhu: El método de los elementos finitos: sus bases y fundamentos, Butterworth-Heinemann (2005).