Función gamma

Para conocer la función gamma de los ordinales, consulte Función de Veblen. Para conocer la distribución gamma en las estadísticas, consulte Distribución gamma. Para conocer la función utilizada en las representaciones de color de imágenes y vídeos, consulte Corrección gamma.

La función gamma a lo largo de parte del eje real

En matemáticas, la función gamma (representada por Γ, la letra mayúscula gamma del alfabeto griego ) es una extensión de uso común de la función factorial a números complejos. La función gamma se define para todos los números complejos excepto los enteros no positivos. Para cualquier entero positivo n,

$$Γ(norte)=(norte-1)! . {\ Displaystyle \ Gamma (n) = (n-1)! \.}

Derivado por Daniel Bernoulli, para números complejos con una parte real positiva, la función gamma se define mediante una integral impropia convergente:

$$Γ(z)= ∫ 0 ∞ X z - 1 mi - XDX, ℜ(z)gt;0 . {\ Displaystyle \ Gamma (z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {z-1} e ^ {- x} \, dx, \ \ qquad \ Re (z)gt; 0 \.}

La función gamma se define entonces como la continuación analítica de esta función integral a una función meromórfica que es holomórfica en todo el plano complejo excepto cero y los enteros negativos, donde la función tiene polos simples.

La función gamma no tiene ceros, por lo que la función gamma recíproca 1/Γ ( z)es una función completa. De hecho, la función gamma corresponde a la transformada de Mellin de la función exponencial negativa:

$$Γ(z)= METRO{ mi - X}(z). {\ Displaystyle \ Gamma (z) = {\ mathcal {M}} \ {e ^ {- x} \} (z).}

Existen otras extensiones de la función factorial, pero la función gamma es la más popular y útil. Es un componente en varias funciones de distribución de probabilidad y, como tal, es aplicable en los campos de probabilidad y estadística, así como en combinatoria.

• 1 Motivación
• 2 Definición
  • 2.1 Definición principal
  • 2.2 Definiciones alternativas
    • 2.2.1 Definición de Euler como un producto infinito
    • 2.2.2 Definición de Weierstrass
    • 2.2.3 En términos de polinomios de Laguerre generalizados
• 3 propiedades
  • 3.1 General
  • 3.2 Desigualdades
  • 3.3 Fórmula de Stirling
  • 3.4 Residuos
  • 3.5 Mínimos
  • 3.6 Representaciones integrales
  • 3.7 Expansión de la serie de Fourier
  • 3.8 Fórmula de Raabe
  • 3.9 función Pi
  • 3.10 Relación con otras funciones
  • 3.11 Valores particulares
• 4 La función log-gamma
  • 4.1 Propiedades
  • 4.2 Integración sobre log-gamma
• 5 aproximaciones
• 6 aplicaciones
  • 6.1 Problemas de integración
  • 6.2 Cálculo de productos
  • 6.3 Teoría analítica de números
• 7 Historia
  • 7.1 Siglo XVIII: Euler y Stirling
  • 7.2 Siglo XIX: Gauss, Weierstrass y Legendre
  • 7.3 Siglos XIX-XX: caracterización de la función gamma
  • 7.4 Tablas de referencia y software
• 8 Véase también
• 9 notas
• 10 Lecturas adicionales
• 11 Enlaces externos

Motivación

La función gamma interpola la función factorial a valores no enteros.

La función gamma puede verse como una solución al siguiente problema de interpolación :

"Encuentre una curva suave que conecte los puntos  ( x, y) dados por y = ( x - 1)! En los valores enteros positivos para  x ".

Un gráfico de los primeros factoriales deja en claro que se puede trazar dicha curva, pero sería preferible tener una fórmula que describa con precisión la curva, en la que el número de operaciones no dependa del tamaño de  x. La fórmula simple para el factorial, x ! = 1 × 2 × ⋯ × x, no se puede usar directamente para valores fraccionarios de x ya que solo es válido cuando x es un número natural (o entero positivo). En términos relativos, no existen soluciones tan sencillas para los factoriales; ¡ninguna combinación finita de sumas, productos, potencias, funciones exponenciales o logaritmos será suficiente para expresar  x ! ; pero es posible encontrar una fórmula general para factoriales usando herramientas como integrales y límites del cálculo. Una buena solución a esto es la función gamma.

Hay infinitas extensiones continuas del factorial a números no enteros: se pueden dibujar infinitas curvas a través de cualquier conjunto de puntos aislados. La función gamma es la solución más útil en la práctica, siendo analítica (excepto en los enteros no positivos), y puede definirse de varias formas equivalentes. Sin embargo, no es la única función analítica que extiende el factorial, ya que agregarle cualquier función analítica que sea cero en los enteros positivos, como k sen mπx para un entero m, dará otra función con esa propiedad.

La función gamma, Γ ( z) en azul, trazada junto con Γ ( z) + sin (π z) en verde. Observe la intersección en los enteros positivos, ambos son continuaciones analíticas válidas de los factoriales a los no enteros.

Una propiedad más restrictiva que satisfacer la interpolación anterior es satisfacer la relación de recurrencia que define una versión traducida de la función factorial,

$$F(1)=1, {\ Displaystyle f (1) = 1,}

$$F(X+1)=XF(X), {\ Displaystyle f (x + 1) = xf (x),}

para cualquier número real positivo x. Pero esto permitiría la multiplicación por cualquier función g ( x) que satisfaga tanto g ( x) = g ( x +1) para todos los números reales x y g (0) = 1, como la función g ( x) = e ^{k sin2mπx}. Una de las varias formas de resolver finalmente la ambigüedad proviene del teorema de Bohr-Mollerup. Establece que cuando se agrega la condición de que f sea logarítmicamente convexa (o "superconvexa", es decir, convexa ), determina de manera única f para entradas reales positivas. A partir de ahí, la función gamma se puede extender a todos los valores reales y complejos (excepto los números enteros negativos y cero) utilizando la continuación analítica única de f. $$

en∘F {\ Displaystyle \ ln \ circ f}

Definición

Definición principal

La notación se debe a Legendre. Si la parte real del número complejo  z es estrictamente positiva (), entonces la integral $$

Γ(z) {\ Displaystyle \ Gamma (z)} $$ℜ(z)gt;0 {\ Displaystyle \ Re (z)gt; 0}

$$Γ(z)= ∫ 0 ∞ X z - 1 mi - XDX {\ Displaystyle \ Gamma (z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {z-1} e ^ {- x} \, dx}

converge absolutamente, y se conoce como la integral de Euler de segundo tipo. (La integral de Euler del primer tipo es la función beta ). Al usar la integración por partes, se ve que:

$$ Γ ( z + 1 ) = ∫ 0 ∞ X z mi - X D X = [ - X z mi - X ] 0 ∞ + ∫ 0 ∞ z X z - 1 mi - X D X = lim X → ∞ ( - X z mi - X ) - ( - 0 z mi - 0 ) + z ∫ 0 ∞ X z - 1 mi - X D X . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Gamma (z + 1) amp; = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {z} e ^ {- x} \, dx \\ amp; = {\ Bigl [} -x ^ {z} e ^ {- x} {\ Bigr]} _ {0} ^ {\ infty} + \ int _ {0} ^ {\ infty} zx ^ {z-1} e ^ { -x} \, dx \\ amp; = \ lim _ {x \ to \ infty} \ left (-x ^ {z} e ^ {- x} \ right) - \ left (-0 ^ {z} e ^ {-0} \ right) + z \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {z-1} e ^ {- x} \, dx. \ End {alineado}}}

Reconociendo que como$$

- X z mi - X→0 {\ Displaystyle -x ^ {z} e ^ {- x} \ to 0}$$X→∞, {\ Displaystyle x \ to \ infty,}

$$ Γ ( z + 1 ) = z ∫ 0 ∞ X z - 1 mi - X D X = z Γ ( z ) . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Gamma (z + 1) amp; = z \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {z-1} e ^ {- x} \, dx \\ amp; = z \ Gamma (z). \ end {alineado}}}

Podemos calcular:$$

Γ(1) {\ Displaystyle \ Gamma (1)}

$$ Γ ( 1 ) = ∫ 0 ∞ X 1 - 1 mi - X D X = [ - mi - X ] 0 ∞ = lim X → ∞ ( - mi - X ) - ( - mi - 0 ) = 0 - ( - 1 ) = 1. {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Gamma (1) amp; = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {1-1} e ^ {- x} \, dx \\ amp; = {\ Big [} -e ^ {- x} {\ Big]} _ {0} ^ {\ infty} \\ amp; = \ lim _ {x \ to \ infty} \ left (-e ^ {- x} \ right) - \ left (-e ^ {- 0} \ right) \\ amp; = 0 - (- 1) \\ amp; = 1. \ end {alineado}}}

Dado eso y$$

Γ(1)=1 {\ Displaystyle \ Gamma (1) = 1}$$Γ(norte+1)=norteΓ(norte), {\ Displaystyle \ Gamma (n + 1) = n \ Gamma (n),}

$$Γ(norte)=1⋅2⋅3⋯(norte-1)=(norte-1)! {\ Displaystyle \ Gamma (n) = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdots (n-1) = (n-1)!}

para todos los enteros positivos n. Esto puede verse como un ejemplo de demostración por inducción.

La identidad se puede usar (o, obteniendo el mismo resultado, se puede usar la continuación analítica ) para extender de manera única la formulación integral para una función meromórfica definida para todos los números complejos z, excepto los números enteros menores o iguales a cero. Es esta versión extendida la que comúnmente se conoce como función gamma. $$

Γ(z)= Γ ( z + 1 ) z {\ estilo de texto \ Gamma (z) = {\ frac {\ Gamma (z + 1)} {z}}} $$Γ(z) {\ Displaystyle \ Gamma (z)}

Definiciones alternativas

La definición de Euler como un producto infinito

Cuando se busca una aproximación para un número complejo, es efectivo calcular primero para algún entero grande. Úselo para aproximar un valor de, y luego use la relación de recursividad hacia atrás, para desenrollarlo a una aproximación de. Además, esta aproximación es exacta en el límite hasta el infinito. $$

z! {\ Displaystyle z!}$$z {\ Displaystyle z}$$norte! {\ Displaystyle n!}$$norte {\ Displaystyle n}$$(norte+z)! {\ Displaystyle (n + z)!}$$metro!=metro(metro-1)! {\ Displaystyle m! = m (m-1)!}$$norte {\ Displaystyle n}$$z! {\ Displaystyle z!}$$norte {\ Displaystyle n}

Específicamente, para un entero fijo, se da el caso de que $$

metro {\ Displaystyle m}

$$ lim norte → ∞ norte ! ( norte + 1 ) metro ( norte + metro ) !=1. {\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {n! \, \ left (n + 1 \ right) ^ {m}} {(n + m)!}} = 1 \,.}

Si no es un número entero, entonces no es posible decir si esta ecuación es verdadera porque todavía no hemos definido (en esta sección) la función factorial para los no enteros. Sin embargo, obtenemos una extensión única de la función factorial a los no enteros insistiendo en que esta ecuación se mantiene cuando el entero arbitrario es reemplazado por un número complejo arbitrario. $$

metro {\ Displaystyle m}$$metro {\ Displaystyle m}$$z {\ Displaystyle z}

$$ lim norte → ∞ norte ! ( norte + 1 ) z ( norte + z ) !=1. {\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {n! \, \ left (n + 1 \ right) ^ {z}} {(n + z)!}} = 1 \,.}

Multiplicar ambos lados por da $$

z! {\ Displaystyle z!}

$$ z ! = lim norte → ∞ norte ! z ! ( norte + z ) ! ( norte + 1 ) z = lim norte → ∞ ( 1 ⋯ norte ) 1 ( 1 + z ) ⋯ ( norte + z ) ( 2 1 ⋅ 3 2 ⋯ norte + 1 norte ) z = ∏ norte = 1 ∞ [ 1 1 + z norte ( 1 + 1 norte ) z ] . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} z! amp; = \ lim _ {n \ to \ infty} n! {\ frac {z!} {(n + z)!}} (n + 1) ^ {z} \\ [8pt] amp; = \ lim _ {n \ to \ infty} (1 \ cdots n) {\ frac {1} {(1 + z) \ cdots (n + z)}} \ left ({\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {3} {2}} \ cdots {\ frac {n + 1} {n}} \ right) ^ {z} \\ [8pt] amp; = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left [{\ frac {1} {1 + {\ frac {z} {n}}}} \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ derecha) ^ {z} \ right]. \ end {alineado}}}

Este producto infinito converge para todos los números complejos  excepto los enteros negativos, que fallan porque tratar de usar la relación de recursión hacia atrás a través del valor implica una división por cero. $$

z {\ Displaystyle z}$$metro!=metro(metro-1)! {\ Displaystyle m! = m (m-1)!}$$metro=0 {\ Displaystyle m = 0}

De manera similar para la función gamma, la definición como un producto infinito debido a Euler es válida para todos los números complejos excepto los enteros no positivos: $$

z {\ Displaystyle z}

$$Γ(z)= 1 z ∏ norte = 1 ∞ ( 1 + 1 norte ) z 1 + z norte. {\ Displaystyle \ Gamma (z) = {\ frac {1} {z}} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ left (1 + {\ frac {1} {n} } \ derecha) ^ {z}} {1 + {\ frac {z} {n}}}} \,.}

Por esta construcción, la función gamma es la función única que satisface simultáneamente, para todos los números complejos excepto los enteros no positivos, y para todos los números complejos. $$

Γ(1)=1 {\ Displaystyle \ Gamma (1) = 1}$$Γ(z+1)=zΓ(z) {\ Displaystyle \ Gamma (z + 1) = z \ Gamma (z)}$$z {\ Displaystyle z}$$ lim norte → ∞ Γ ( norte + z ) Γ ( norte ) norte z=1 {\ textstyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ Gamma (n + z)} {\ Gamma (n) \; n ^ {z}}} = 1}$$z {\ Displaystyle z}

Definición de Weierstrass

La definición de la función gamma debida a Weierstrass también es válida para todos los números complejos  z excepto los enteros no positivos:

$$Γ(z)= mi - γ z z ∏ norte = 1 ∞ ( 1 + z norte ) - 1 mi z / norte, {\ Displaystyle \ Gamma (z) = {\ frac {e ^ {- \ gamma z}} {z}} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 + {\ frac {z} {n}} \ right) ^ {- 1} e ^ {z / n},}

donde es la constante de Euler-Mascheroni. Este es el producto de Hadamard en una forma reescrita. De hecho, dado que es todo el género 1 con un cero simple en, tenemos la representación del producto $$

γ≈0.577216 {\ Displaystyle \ gamma \ approx 0.577216} $$1 /Γ(z) {\ Displaystyle 1 / \ Gamma (z)}$$1 /Γ(z) {\ Displaystyle 1 / \ Gamma (z)} $$z=0 {\ Displaystyle z = 0}

$$ 1 Γ ( z )=z mi A z + B ∏ ρ ( 1 - z ρ ) mi z / ρ, {\ Displaystyle {\ frac {1} {\ Gamma (z)}} = ze ^ {Az + B} \ prod _ {\ rho} \ left (1 - {\ frac {z} {\ rho}} \ right) e ^ {z / \ rho},}

donde el producto está sobre los ceros de. Dado que tiene polos simples en los enteros no positivos, tiene ceros simples en los enteros no positivos, por lo que la ecuación anterior se convierte en la fórmula de Weierstrass con en lugar de. La derivación de las constantes y es algo técnica, pero se puede lograr usando algunas identidades que involucran la función zeta de Riemann (ver esta identidad, por ejemplo). Véase también el teorema de factorización de Weierstrass. $$

ρ≠0 {\ Displaystyle \ rho \ neq 0}$$1 /Γ(z) {\ Displaystyle 1 / \ Gamma (z)}$$Γ(z) {\ Displaystyle \ Gamma (z)}$$1 /Γ(z) {\ Displaystyle 1 / \ Gamma (z)}$$-Az-B {\ Displaystyle -Az-B}$$-γz {\ Displaystyle - \ gamma z}$$A=γ {\ Displaystyle A = \ gamma}$$B=0 {\ Displaystyle B = 0}

En términos de polinomios de Laguerre generalizados

Una representación de la función gamma incompleta en términos de polinomios de Laguerre generalizados es

$$Γ(z,X)= X z mi - X ∑ norte = 0 ∞ L norte ( z ) ( X ) norte + 1, {\ Displaystyle \ Gamma (z, x) = x ^ {z} e ^ {- x} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {L_ {n} ^ {(z)} ( x)} {n + 1}},}

que converge para y. $$

ℜ(z)gt;-1 {\ Displaystyle \ Re (z)gt; - 1}$$Xgt;0 {\ Displaystyle xgt; 0}

Propiedades

General

Otras ecuaciones funcionales importantes para la función gamma son la fórmula de reflexión de Euler

$$Γ(1-z)Γ(z)= π pecado ⁡ π z,z∉ Z {\ Displaystyle \ Gamma (1-z) \ Gamma (z) = {\ frac {\ pi} {\ sin \ pi z}}, \ qquad z \ not \ in \ mathbb {Z}}

lo que implica

$$Γ(z-norte)=(-1 ) norte - 1 Γ ( - z ) Γ ( 1 + z ) Γ ( norte + 1 - z ),norte∈ Z {\ Displaystyle \ Gamma (zn) = (- 1) ^ {n-1} \; {\ frac {\ Gamma (-z) \ Gamma (1 + z)} {\ Gamma (n + 1-z)} }, \ qquad n \ in \ mathbb {Z}}

y la fórmula de duplicación de Legendre

$$Γ(z)Γ ( z + 1 2 ) = 2 1 - 2 z π Γ ( 2 z ) . {\ Displaystyle \ Gamma (z) \ Gamma \ left (z + {\ tfrac {1} {2}} \ right) = 2 ^ {1-2z} \; {\ sqrt {\ pi}} \; \ Gamma ( 2z).}

Derivación de la fórmula de reflexión de Euler

Ya que $$ mi - t= lim norte → ∞ ( 1 - t norte ) norte, {\ Displaystyle e ^ {- t} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 - {\ frac {t} {n}} \ right) ^ {n},} la función gamma se puede representar como $$Γ(z)= lim norte → ∞ ∫ 0 norte t z - 1 ( 1 - t norte ) norteDt. {\ Displaystyle \ Gamma (z) = \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {n} t ^ {z-1} \ left (1 - {\ frac {t} {n} } \ right) ^ {n} \, dt.} Integrando por partes tiempos rendimientos $$ norte {\ Displaystyle n} $$Γ(z)= lim norte → ∞ norte norte z⋅ norte - 1 norte ( z + 1 )⋅ norte - 2 norte ( z + 2 )⋯ 1 norte ( z + norte - 1 ) ∫ 0 norte t z + norte - 1Dt, {\ Displaystyle \ Gamma (z) = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {n} {nz}} \ cdot {\ frac {n-1} {n (z + 1)}} \ cdot {\ frac {n-2} {n (z + 2)}} \ cdots {\ frac {1} {n (z + n-1)}} \ int _ {0} ^ {n} t ^ {z + n-1} \, dt,} que es igual a $$Γ(z)= lim norte → ∞ norte ! norte norte ( ∏ k = 0 norte ( z + k ) - 1 ) norte z + norte. {\ Displaystyle \ Gamma (z) = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {n!} {n ^ {n}}} \ left (\ prod _ {k = 0} ^ {n} ( z + k) ^ {- 1} \ derecha) n ^ {z + n}.} Esto se puede reescribir como $$Γ(z)= lim norte → ∞ norte z z ∏ k = 1 norte k z + k= lim norte → ∞ norte z z ∏ k = 1 norte 1 1 + z k. {\ Displaystyle \ Gamma (z) = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {n ^ {z}} {z}} \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {k } {z + k}} = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {n ^ {z}} {z}} \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {1 + {\ frac {z} {k}}}}.} Podemos usar esto para evaluar el lado izquierdo de la fórmula de reflexión: $$Γ(1-z)Γ(z)=-zΓ(-z)Γ(z)= lim norte → ∞ 1 z ∏ k = 1 norte 1 1 - z 2 k 2. {\ Displaystyle \ Gamma (1-z) \ Gamma (z) = - z \ Gamma (-z) \ Gamma (z) = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {z}} \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {1 - {\ frac {z ^ {2}} {k ^ {2}}}}}.} Se puede probar que $$pecado⁡πz=πz ∏ k = 1 ∞ ( 1 - z 2 k 2 ). {\ Displaystyle \ sin \ pi z = \ pi z \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z ^ {2}} {k ^ {2}}} \ right).} Luego $$ π pecado ⁡ π z= lim norte → ∞ 1 z ∏ k = 1 norte 1 1 - z 2 k 2. {\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {\ sin \ pi z}} = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {z}} \ prod _ {k = 1} ^ {n } {\ frac {1} {1 - {\ frac {z ^ {2}} {k ^ {2}}}}}.} La fórmula de reflexión de Euler es la siguiente: $$Γ(1-z)Γ(z)= π pecado ⁡ π z,z∉ Z. {\ Displaystyle \ Gamma (1-z) \ Gamma (z) = {\ frac {\ pi} {\ sin \ pi z}}, \ qquad z \ not \ in \ mathbb {Z}.}

Derivación de la fórmula de duplicación de Legendre

La función beta se puede representar como $$ B( z 1, z 2)= Γ ( z 1 ) Γ ( z 2 ) Γ ( z 1 + z 2 )= ∫ 0 1 t z 1 - 1(1-t ) z 2 - 1Dt. {\ Displaystyle \ mathrm {B} (z_ {1}, z_ {2}) = {\ frac {\ Gamma (z_ {1}) \ Gamma (z_ {2})} {\ Gamma (z_ {1} + z_ {2})}} = \ int _ {0} ^ {1} t ^ {z_ {1} -1} (1-t) ^ {z_ {2} -1} \, dt.} Establecer rendimientos $$ z 1= z 2=z {\ Displaystyle z_ {1} = z_ {2} = z} $$ Γ 2 ( z ) Γ ( 2 z )= ∫ 0 1 t z - 1(1-t ) z - 1Dt. {\ Displaystyle {\ frac {\ Gamma ^ {2} (z)} {\ Gamma (2z)}} = \ int _ {0} ^ {1} t ^ {z-1} (1-t) ^ { z-1} \, dt.} Después de la sustitución obtenemos $$ t= 1 + X 2 {\ Displaystyle t = {\ frac {1 + x} {2}}} $$ Γ 2 ( z ) Γ ( 2 z )= 1 2 2 z - 1 ∫ - 1 1 ( 1 - X 2 ) z - 1DX. {\ Displaystyle {\ frac {\ Gamma ^ {2} (z)} {\ Gamma (2z)}} = {\ frac {1} {2 ^ {2z-1}}} \ int _ {- 1} ^ {1} \ left (1-x ^ {2} \ right) ^ {z-1} \, dx.} La función es par, por lo tanto $$ (1- X 2 ) z - 1 {\ Displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {z-1}} $$ 2 2 z - 1 Γ 2(z)=2Γ(2z) ∫ 0 1(1- X 2 ) z - 1DX. {\ Displaystyle 2 ^ {2z-1} \ Gamma ^ {2} (z) = 2 \ Gamma (2z) \ int _ {0} ^ {1} (1-x ^ {2}) ^ {z-1 } \, dx.} Ahora asume $$ B ( 1 2 , z )= ∫ 0 1 t 1 2 - 1(1-t ) z - 1Dt,t= s 2. {\ Displaystyle \ mathrm {B} \ left ({\ frac {1} {2}}, z \ right) = \ int _ {0} ^ {1} t ^ {{\ frac {1} {2}} -1} (1-t) ^ {z-1} \, dt, \ quad t = s ^ {2}.} Luego $$ B ( 1 2 , z )=2 ∫ 0 1(1- s 2 ) z - 1Ds=2 ∫ 0 1(1- X 2 ) z - 1DX. {\ Displaystyle \ mathrm {B} \ left ({\ frac {1} {2}}, z \ right) = 2 \ int _ {0} ^ {1} (1-s ^ {2}) ^ {z -1} \, ds = 2 \ int _ {0} ^ {1} (1-x ^ {2}) ^ {z-1} \, dx.} Esto implica $$ 2 2 z - 1 Γ 2(z)=Γ(2z) B ( 1 2 , z ). {\ Displaystyle 2 ^ {2z-1} \ Gamma ^ {2} (z) = \ Gamma (2z) \ mathrm {B} \ left ({\ frac {1} {2}}, z \ right).} Ya que $$ B ( 1 2 , z )= Γ ( 1 2 ) Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ),Γ ( 1 2 )= π, {\ Displaystyle \ mathrm {B} \ left ({\ frac {1} {2}}, z \ right) = {\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) \ Gamma (z)} {\ Gamma \ left (z + {\ frac {1} {2}} \ right)}}, \ quad \ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = { \ sqrt {\ pi}},} la fórmula de duplicación de Legendre sigue: $$Γ(z)Γ ( z + 1 2 )= 2 1 - 2 z πΓ(2z). {\ Displaystyle \ Gamma (z) \ Gamma \ left (z + {\ frac {1} {2}} \ right) = 2 ^ {1-2z} {\ sqrt {\ pi}} \; \ Gamma (2z).}

La fórmula de la duplicación es un caso especial del teorema de la multiplicación (consulte la ecuación 5.5.6).

$$ ∏ k = 0 metro - 1Γ ( z + k metro )=(2π ) metro - 1 2 metro 1 2 - metro zΓ(metroz). {\ Displaystyle \ prod _ {k = 0} ^ {m-1} \ Gamma \ left (z + {\ frac {k} {m}} \ right) = (2 \ pi) ^ {\ frac {m-1 } {2}} \; m ^ {{\ frac {1} {2}} - mz} \; \ Gamma (mz).}

Una propiedad simple pero útil, que se puede ver en la definición de límite, es:

$$ Γ ( z ) ¯=Γ( z ¯)⇒Γ(z)Γ( z ¯)∈ R. {\ Displaystyle {\ overline {\ Gamma (z)}} = \ Gamma ({\ overline {z}}) \; \ Rightarrow \; \ Gamma (z) \ Gamma ({\ overline {z}}) \ in \ mathbb {R}.}

En particular, con z = a + bi, este producto es

$$ |Γ(a+BI) | 2= |Γ(a) | 2 ∏ k = 0 ∞ 1 1 + B 2 ( a + k ) 2 {\ Displaystyle | \ Gamma (a + bi) | ^ {2} = | \ Gamma (a) | ^ {2} \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {1+ {\ frac {b ^ {2}} {(a + k) ^ {2}}}}}}

Si la parte real es un número entero o medio entero, esto se puede expresar de forma finita en forma cerrada :

$$ | Γ ( B I ) | 2 = π B pecado ⁡ π B | Γ ( 1 2 + B I ) | 2 = π aporrear ⁡ π B | Γ ( 1 + B I ) | 2 = π B pecado ⁡ π B | Γ ( 1 + norte + B I ) | 2 = π B pecado ⁡ π B ∏ k = 1 norte ( k 2 + B 2 ) , norte ∈ norte | Γ ( - norte + B I ) | 2 = π B pecado ⁡ π B ∏ k = 1 norte ( k 2 + B 2 ) - 1 , norte ∈ norte | Γ ( 1 2 ± norte + B I ) | 2 = π aporrear ⁡ π B ∏ k = 1 norte ( ( k - 1 2 ) 2 + B 2 ) ± 1 , norte ∈ norte {\ displaystyle {\ begin {alineado} | \ Gamma (bi) | ^ {2} amp; = {\ frac {\ pi} {b \ sinh \ pi b}} \\ [6pt] \ left | \ Gamma \ left ({\ tfrac {1} {2}} + bi \ right) \ right | ^ {2} amp; = {\ frac {\ pi} {\ cosh \ pi b}} \\\ left | \ Gamma \ left ( 1 + bi \ right) \ right | ^ {2} amp; = {\ frac {\ pi b} {\ sinh \ pi b}} \\\ left | \ Gamma \ left (1 + n + bi \ right) \ derecha | ^ {2} amp; = {\ frac {\ pi b} {\ sinh \ pi b}} \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ left (k ^ {2} + b ^ {2} \ right), \ quad n \ in \ mathbb {N} \\\ left | \ Gamma \ left (-n + bi \ right) \ right | ^ {2} amp; = {\ frac {\ pi} {b \ sinh \ pi b}} \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ left (k ^ {2} + b ^ {2} \ right) ^ {- 1}, \ quad n \ in \ mathbb {N } \\\ izquierda | \ Gamma \ izquierda ({\ tfrac {1} {2}} \ pm n + bi \ right) \ right | ^ {2} amp; = {\ frac {\ pi} {\ cosh \ pi b}} \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ left (\ left (k - {\ tfrac {1} {2}} \ right) ^ {2} + b ^ {2} \ right) ^ {\ pm 1}, \ quad n \ in \ mathbb {N} \ end {alineado}}}

Prueba de fórmulas para parte real entera o medio entera

Primero, considere la fórmula de reflexión aplicada a. $$ z=BI {\ Displaystyle z = bi} $$Γ(BI)Γ(1-BI)= π pecado ⁡ π B I {\ Displaystyle \ Gamma (bi) \ Gamma (1-bi) = {\ frac {\ pi} {\ sin \ pi bi}}} Aplicando la relación de recurrencia al segundo término, tenemos $$-BI⋅Γ(BI)Γ(-BI)= π pecado ⁡ π B I {\ Displaystyle -bi \ cdot \ Gamma (bi) \ Gamma (-bi) = {\ frac {\ pi} {\ sin \ pi bi}}} que con una simple reordenación da $$Γ(BI)Γ(-BI)= π - B I pecado ⁡ π B I= π B pecado ⁡ π B {\ Displaystyle \ Gamma (bi) \ Gamma (-bi) = {\ frac {\ pi} {- bi \ sin \ pi bi}} = {\ frac {\ pi} {b \ sinh \ pi b}}} En segundo lugar, considere la fórmula de reflexión aplicada a. $$ z= 1 2 + B I

{\ Displaystyle z = {\ tfrac {1} {2}} + bi}

$$Γ( 1 2 + B I ) Γ ( 1 - ( 1 2 + B I ) ) = Γ ( 1 2 + B I ) Γ ( 1 2 - B I ) = π pecado ⁡ π ( 1 2 + B I ) = π porque ⁡ π B I = π aporrear ⁡ π B {\ Displaystyle \ Gamma ({\ tfrac {1} {2}} + bi) \ Gamma \ left (1 - ({\ tfrac {1} {2}} + bi) \ right) = \ Gamma ({\ tfrac {1} {2}} + bi) \ Gamma ({\ tfrac {1} {2}} - bi) = {\ frac {\ pi} {\ sin \ pi ({\ tfrac {1} {2}} + bi)}} = {\ frac {\ pi} {\ cos \ pi bi}} = {\ frac {\ pi} {\ cosh \ pi b}}}

Las fórmulas para otros valores para los que la parte real es un número entero o medio entero siguen rápidamente por inducción utilizando la relación de recurrencia en las direcciones positiva y negativa. $$

z {\ Displaystyle z}

Quizás el valor más conocido de la función gamma en un argumento no entero es

$$Γ ( 1 2 ) = π , {\ Displaystyle \ Gamma \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ right) = {\ sqrt {\ pi}},}

que se puede encontrar estableciendo las fórmulas de reflexión o duplicación, usando la relación con la función beta dada a continuación con, o simplemente haciendo la sustitución en la definición integral de la función gamma, lo que da como resultado una integral gaussiana. En general, para valores enteros no negativos de tenemos: $$

z= 1 2 {\ textstyle z = {\ frac {1} {2}}} $$X=y= 1 2 {\ textstyle x = y = {\ frac {1} {2}}}$$tu= X {\ Displaystyle u = {\ sqrt {x}}} $$norte {\ Displaystyle n}

$$ Γ ( 1 2 + norte ) = ( 2 norte ) ! 4 norte norte ! π = ( 2 norte - 1 ) ! ! 2 norte π = ( norte - 1 2 norte ) norte ! π Γ ( 1 2 - norte ) = ( - 4 ) norte norte ! ( 2 norte ) ! π = ( - 2 ) norte ( 2 norte - 1 ) ! ! π = π ( - 1 / 2 norte ) norte ! {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Gamma \ left ({\ tfrac {1} {2}} + n \ right) amp; = {(2n)! \ over 4 ^ {n} n!} {\ sqrt {\ pi}} = {\ frac {(2n-1) !!} {2 ^ {n}}} {\ sqrt {\ pi}} = {\ binom {n - {\ frac {1} {2}}} {n}} n! {\ sqrt {\ pi}} \\ [8pt] \ Gamma \ left ({\ tfrac {1} {2}} - n \ derecha) amp; = {(- 4) ^ {n} n! \ over (2n)!} {\ sqrt {\ pi}} = {\ frac {(-2) ^ {n}} {(2n-1) !!}} {\ sqrt {\ pi}} = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {{\ binom {-1/2} {n}} n!}} \ end {alineado}}}

donde el doble factorial. Consulte Valores particulares de la función gamma para conocer los valores calculados. $$

(2norte-1)!!=(2norte-1)(2norte-3)⋯(3)(1) {\ displaystyle (2n-1) !! = (2n-1) (2n-3) \ cdots (3) (1)}

Puede ser tentador generalizar el resultado de que al buscar una fórmula para otros valores individuales donde es racional, especialmente porque de acuerdo con el teorema de digamma de Gauss, es posible hacerlo para la función digamma estrechamente relacionada en cada valor racional. Sin embargo, no se sabe que estos números puedan expresarse por sí mismos en términos de funciones elementales. Se ha demostrado que es un número trascendental y algebraicamente independiente de cualquier número entero y de cada una de las fracciones. En general, al calcular los valores de la función gamma, debemos conformarnos con aproximaciones numéricas. $$

Γ ( 1 2 )= π {\ textstyle \ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = {\ sqrt {\ pi}}}$$Γ(r) {\ Displaystyle \ Gamma (r)}$$r {\ Displaystyle r} $$Γ(r) {\ Displaystyle \ Gamma (r)}$$Γ(norte+r) {\ Displaystyle \ Gamma (n + r)} $$π {\ Displaystyle \ pi}$$norte {\ Displaystyle n}$$r= 1 6, 1 4, 1 3, 2 3, 3 4, 5 6 {\ textstyle r = {\ frac {1} {6}}, {\ frac {1} {4}}, {\ frac {1} {3}}, {\ frac {2} {3}}, { \ frac {3} {4}}, {\ frac {5} {6}}}

Las derivadas de la función gamma se describen en términos de la función poligamma. Por ejemplo:

$$ Γ ′(z)=Γ(z) ψ 0(z). {\ Displaystyle \ Gamma '(z) = \ Gamma (z) \ psi _ {0} (z).}

Para un entero positivo  m, la derivada de la función gamma se puede calcular de la siguiente manera (aquí  está la constante de Euler-Mascheroni ): $$

γ {\ Displaystyle \ gamma}

$$ Γ ′(metro+1)=metro! ( - γ + ∑ k = 1 metro 1 k ). {\ Displaystyle \ Gamma '(m + 1) = m! \ left (- \ gamma + \ sum _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {1} {k}} \ right) \,.}

Para la th derivada de la función gamma es: $$

ℜ(X)gt;0 {\ Displaystyle \ Re (x)gt; 0}$$norte {\ Displaystyle n}

Derivada de la función Γ ( z)

$$ D norte D X norteΓ(X)= ∫ 0 ∞ t X - 1 mi - t(en⁡t ) norteDt. {\ Displaystyle {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} \ Gamma (x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {x-1} e ^ {- t } (\ ln t) ^ {n} \, dt.}

(Esto se puede derivar diferenciando la forma integral de la función gamma con respecto a, y usando la técnica de diferenciación bajo el signo integral ). $$

X {\ Displaystyle x}

Usando la identidad

$$ Γ ( norte )(1)=(-1 ) nortenorte! ∑ π ⊢ norte ∏ I = 1 r ζ ∗ ( a I ) k I ! ⋅ a I ζ ∗(X): = { ζ ( X ) X ≠ 1 γ X = 1 {\ Displaystyle \ Gamma ^ {(n)} (1) = (- 1) ^ {n} n! \ sum \ limits _ {\ pi \, \ vdash \, n} \, \ prod _ {i = 1 } ^ {r} {\ frac {\ zeta ^ {*} (a_ {i})} {k_ {i}! \ cdot a_ {i}}} \ qquad \ zeta ^ {*} (x): = { \ begin {cases} \ zeta (x) amp; x \ neq 1 \\\ gamma amp; x = 1 \ end {cases}}}

donde es la función zeta de Riemann, y es una partición de dada por $$

ζ(z) {\ Displaystyle \ zeta (z)} $$π {\ Displaystyle \ pi} $$norte {\ Displaystyle n}

$$π= a 1 + ⋯ + a 1 ⏟ k 1  condiciones+⋯+ a r + ⋯ + a r ⏟ k r  condiciones, {\ Displaystyle \ pi = \ underbrace {a_ {1} + \ cdots + a_ {1}} _ {k_ {1} {\ text {terms}}} + \ cdots + \ underbrace {a_ {r} + \ cdots + a_ {r}} _ {k_ {r} {\ text {terms}}},}

tenemos en particular

$$Γ(z)= 1 z-γ+ 1 2 ( γ 2 + π 2 6 ) z - 1 6 ( γ 3 + γ π 2 2 + 2 ζ ( 3 ) ) z 2 + O ( z 3 ) . {\ Displaystyle \ Gamma (z) = {\ frac {1} {z}} - \ gamma + {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ gamma ^ {2} + {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} \ right) z - {\ tfrac {1} {6}} \ left (\ gamma ^ {3} + {\ frac {\ gamma \ pi ^ {2}} {2}} +2 \ zeta (3) \ right) z ^ {2} + O (z ^ {3}).}

Desigualdades

Cuando se restringe a los números reales positivos, la función gamma es una función estrictamente logarítmicamente convexa. Esta propiedad puede expresarse de cualquiera de las siguientes tres formas equivalentes:

• Para dos números reales positivos cualesquiera y, y para cualquiera, $$ X 1 {\ Displaystyle x_ {1}}$$ X 2 {\ Displaystyle x_ {2}}$$t∈[0,1] {\ Displaystyle t \ in [0,1]}

  $$Γ(t X 1+(1-t) X 2)≤Γ( X 1 ) tΓ( X 2 ) 1 - t. {\ Displaystyle \ Gamma (tx_ {1} + (1-t) x_ {2}) \ leq \ Gamma (x_ {1}) ^ {t} \ Gamma (x_ {2}) ^ {1-t}. }

• Para cualquier par de números reales positivos x e y con y gt; x,

  $$ ( Γ ( y ) Γ ( X ) ) 1 y - Xgt;Exp⁡ ( Γ ′ ( X ) Γ ( X ) ). {\ Displaystyle \ left ({\ frac {\ Gamma (y)} {\ Gamma (x)}} \ right) ^ {\ frac {1} {yx}}gt; \ exp \ left ({\ frac {\ Gamma '(x)} {\ Gamma (x)}} \ derecha).}

• Para cualquier número real positivo, $$X {\ Displaystyle x}

  $$ Γ ″(X)Γ(X)gt; Γ ′(X ) 2. {\ Displaystyle \ Gamma '' (x) \ Gamma (x)gt; \ Gamma '(x) ^ {2}.}

El último de estos enunciados es, esencialmente por definición, el mismo que el enunciado de que, donde es la función poligamma de orden 1. Para probar la convexidad logarítmica de la función gamma, por lo tanto, basta con observar que tiene una representación en serie que, por x real positivo, consta solo de términos positivos. $$

ψ ( 1 )(X)gt;0 {\ Displaystyle \ psi ^ {(1)} (x)gt; 0}$$ ψ ( 1 ) {\ Displaystyle \ psi ^ {(1)}} $$ ψ ( 1 ) {\ Displaystyle \ psi ^ {(1)}}

La convexidad logarítmica y la desigualdad de Jensen juntas implican, para cualquier número real positivo y, $$

X 1,..., X norte {\ Displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$$ a 1,..., a norte {\ Displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}}

$$Γ ( a 1 X 1 + ⋯ + a norte X norte a 1 + ⋯ + a norte )≤ (Γ( X 1 ) a 1⋯Γ( X norte ) a norte ) 1 a 1 + ⋯ + a norte. {\ Displaystyle \ Gamma \ left ({\ frac {a_ {1} x_ {1} + \ cdots + a_ {n} x_ {n}} {a_ {1} + \ cdots + a_ {n}}} \ right) \ leq {\ bigl (} \ Gamma (x_ {1}) ^ {a_ {1}} \ cdots \ Gamma (x_ {n}) ^ {a_ {n}} {\ bigr)} ^ {\ frac { 1} {a_ {1} + \ cdots + a_ {n}}}.}

También hay límites en las proporciones de funciones gamma. La más conocida es la desigualdad de Gautschi, que dice que para cualquier número real positivo x y cualquier s ∈ (0, 1),

$$ X 1 - slt; Γ ( X + 1 ) Γ ( X + s )lt; ( X + 1 ) 1 - s. {\ Displaystyle x ^ {1-s} lt;{\ frac {\ Gamma (x + 1)} {\ Gamma (x + s)}} lt;\ left (x + 1 \ right) ^ {1-s}. }

Fórmula de Stirling

Representación de la función gamma en el plano complejo. Cada punto está coloreado de acuerdo con el argumento de. También se muestra el gráfico de contorno del módulo.$$z {\ Displaystyle z}$$Γ(z) {\ Displaystyle \ Gamma (z)}$$ |Γ(z) | {\ Displaystyle | \ Gamma (z) |} Gráfico tridimensional del valor absoluto de la función gamma compleja

El comportamiento de para una variable real positiva creciente viene dado por la fórmula de Stirling $$

Γ(X) {\ Displaystyle \ Gamma (x)}

$$Γ(X+1)∼ 2 π X ( X mi ) X, {\ Displaystyle \ Gamma (x + 1) \ sim {\ sqrt {2 \ pi x}} \ left ({\ frac {x} {e}} \ right) ^ {x},}

donde el símbolo significa convergencia asintótica; la relación de los dos lados converge a 1 en el límite. Este crecimiento es más rápido que exponencial`` para cualquier valor fijo de. $$

∼ {\ Displaystyle \ sim}$$X→+∞ {\ textstyle x \ to + \ infty}$$Exp⁡(βX) {\ Displaystyle \ exp (\ beta x)}$$β {\ Displaystyle \ beta}

Otro límite útil para las aproximaciones asintóticas es: $$

X→+∞ {\ Displaystyle x \ to + \ infty}

$$ Γ ( X + α )∼ Γ ( X ) X α,α∈ C. {\ Displaystyle {\ Gamma (x + \ alpha)} \ sim {\ Gamma (x) x ^ {\ alpha}}, \ qquad \ alpha \ in \ mathbb {C}.}

Residuos

El comportamiento de los no positivos es más complejo. La integral de Euler no converge, pero la función que define en el semiplano complejo positivo tiene una continuación analítica única en el semiplano negativo. Una forma de encontrar esa continuación analítica es usar la integral de Euler para argumentos positivos y extender el dominio a números negativos mediante la aplicación repetida de la fórmula de recurrencia, $$

z {\ Displaystyle z}$$z≤0 {\ Displaystyle z \ leq 0}

$$Γ(z)= Γ ( z + norte + 1 ) z ( z + 1 ) ⋯ ( z + norte ), {\ Displaystyle \ Gamma (z) = {\ frac {\ Gamma (z + n + 1)} {z (z + 1) \ cdots (z + n)}},}

eligiendo tal que sea ​​positivo. El producto en el denominador es cero cuando es igual a cualquiera de los números enteros. Por lo tanto, la función gamma debe estar indefinida en esos puntos para evitar la división por cero ; es una función meromórfica con polos simples en los enteros no positivos. $$

norte {\ Displaystyle n}$$z+norte {\ Displaystyle z + n}$$z {\ Displaystyle z}$$0,-1,-2,... {\ Displaystyle 0, -1, -2, \ dots}

Para una función de una variable compleja, en un polo simple, el residuo de está dado por: $$

F {\ Displaystyle f}$$z {\ Displaystyle z} $$C {\ Displaystyle c} $$F {\ Displaystyle f}

$$Res⁡(F,C)= lim z → C(z-C)F(z). {\ Displaystyle \ operatorname {Res} (f, c) = \ lim _ {z \ to c} (zc) f (z).}

Para el polo simple reescribimos la fórmula de recurrencia como: $$

z=-norte, {\ Displaystyle z = -n,}

$$(z+norte)Γ(z)= Γ ( z + norte + 1 ) z ( z + 1 ) ⋯ ( z + norte - 1 ). {\ Displaystyle (z + n) \ Gamma (z) = {\ frac {\ Gamma (z + n + 1)} {z (z + 1) \ cdots (z + n-1)}}.}

El numerador en es $$

z=-norte, {\ Displaystyle z = -n,}

$$Γ(z+norte+1)=Γ(1)=1 {\ Displaystyle \ Gamma (z + n + 1) = \ Gamma (1) = 1}

y el denominador

$$z(z+1)⋯(z+norte-1)=-norte(1-norte)⋯(norte-1-norte)=(-1 ) nortenorte!. {\ Displaystyle z (z + 1) \ cdots (z + n-1) = - n (1-n) \ cdots (n-1-n) = (- 1) ^ {n} n !.}

Entonces, los residuos de la función gamma en esos puntos son:

$$Res⁡(Γ,-norte)= ( - 1 ) norte norte !. {\ Displaystyle \ operatorname {Res} (\ Gamma, -n) = {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}}.}

La función gamma es distinta de cero en todas partes a lo largo de la línea real, aunque se acerca arbitrariamente a cero cuando z → −∞. De hecho, no existe un número complejo para el cual, y por lo tanto, la función gamma recíproca es una función completa, con ceros en. $$

z {\ Displaystyle z}$$Γ(z)=0 {\ Displaystyle \ Gamma (z) = 0} $$ 1 Γ ( z ) {\ textstyle {\ frac {1} {\ Gamma (z)}}} $$z=0,-1,-2,... {\ Displaystyle z = 0, -1, -2, \ dots}

Mínimos

La función gamma tiene un mínimo local en z min ≈ +1,46163 21449 68362 34126 (truncado) donde alcanza el valor Γ ( z min) ≈ +0,88560 31944 10888 70027 (truncado). La función gamma debe alternar el signo entre los polos porque el producto en la recurrencia directa contiene un número impar de factores negativos si el número de polos entre y es impar, y un número par si el número de polos es par. $$

z {\ Displaystyle z}$$z+norte {\ Displaystyle z + n}

Representaciones integrales

Hay muchas fórmulas, además de la integral de Euler de segundo tipo, que expresan la función gamma como una integral. Por ejemplo, cuando la parte real de z es positiva,

$$Γ(z)= ∫ 0 1 ( Iniciar sesión ⁡ 1 t ) z - 1Dt. {\ Displaystyle \ Gamma (z) = \ int _ {0} ^ {1} \ left (\ log {\ frac {1} {t}} \ right) ^ {z-1} \, dt.}

donde denota el logaritmo complejo. $$

Iniciar sesión {\ Displaystyle \ log}

La primera fórmula integral de Binet para la función gamma establece que, cuando la parte real de z es positiva, entonces:

$$Iniciar sesión⁡Γ(z)= ( z - 1 2 )Iniciar sesión⁡z-z+ 1 2en⁡(2π)+ ∫ 0 ∞ ( 1 2 - 1 t + 1 mi t - 1 ) mi - t z tDt. {\ Displaystyle \ log \ Gamma (z) = \ left (z - {\ frac {1} {2}} \ right) \ log z-z + {\ frac {1} {2}} \ ln (2 \ pi) + \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {t}} + {\ frac {1} {e ^ {t} -1}} \ right) {\ frac {e ^ {- tz}} {t}} \, dt.}

La integral del lado derecho se puede interpretar como una transformada de Laplace. Es decir,

$$Iniciar sesión⁡ ( Γ ( z ) ( mi z ) z 2 π z )= L ( 1 2 t - 1 t 2 + 1 t ( mi t - 1 ) )(z). {\ Displaystyle \ log \ left (\ Gamma (z) \ left ({\ frac {e} {z}} \ right) ^ {z} {\ sqrt {2 \ pi z}} \ right) = {\ mathcal {L}} \ left ({\ frac {1} {2t}} - {\ frac {1} {t ^ {2}}} + {\ frac {1} {t (e ^ {t} -1) }} \ derecha) (z).}

La segunda fórmula integral de Binet establece que, nuevamente cuando la parte real de z es positiva, entonces:

$$Iniciar sesión⁡Γ(z)= ( z - 1 2 )Iniciar sesión⁡z-z+ 1 2en⁡(2π)+2 ∫ 0 ∞ arctan ⁡ ( t / z ) mi 2 π t - 1Dt. {\ Displaystyle \ log \ Gamma (z) = \ left (z - {\ frac {1} {2}} \ right) \ log z-z + {\ frac {1} {2}} \ ln (2 \ pi) +2 \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ arctan (t / z)} {e ^ {2 \ pi t} -1}} \, dt.}

Sea C un contorno de Hankel, es decir, una trayectoria que comienza y termina en el punto ∞ de la esfera de Riemann, cuyo vector tangente unitario converge a −1 al comienzo de la trayectoria y a 1 al final, que tiene el número de bobinado 1 alrededor 0, y que no cruza [0, ∞). Arregle una rama de tomando una rama cortada a lo largo de [0, ∞) y tomando como real cuando t está en el eje real negativo. Suponga que z no es un número entero. Entonces la fórmula de Hankel para la función gamma es: $$

Iniciar sesión⁡(-t) {\ Displaystyle \ log (-t)}$$Iniciar sesión⁡(-t) {\ Displaystyle \ log (-t)}

$$Γ(z)=- 1 2 I pecado ⁡ π z ∫ C(-t ) z - 1 mi - tDt, {\ Displaystyle \ Gamma (z) = - {\ frac {1} {2i \ sin \ pi z}} \ int _ {C} (- t) ^ {z-1} e ^ {- t} \, dt,}

donde se interpreta como. La fórmula de reflexión conduce a la expresión estrechamente relacionada $$

(-t ) z - 1 {\ Displaystyle (-t) ^ {z-1}}$$Exp⁡((z-1)Iniciar sesión⁡(-t)) {\ Displaystyle \ exp ((z-1) \ log (-t))}

$$ 1 Γ ( z )= I 2 π ∫ C(-t ) - z mi - tDt, {\ Displaystyle {\ frac {1} {\ Gamma (z)}} = {\ frac {i} {2 \ pi}} \ int _ {C} (- t) ^ {- z} e ^ {- t } \, dt,}

de nuevo válido siempre que z no sea un número entero.

Expansión de la serie Fourier

El logaritmo de la función gamma tiene la siguiente expansión de la serie de Fourier para$$

0lt;zlt;1: {\ Displaystyle 0 lt;z lt;1:}

$$en⁡Γ(z)= ( 1 2 - z )(γ+en⁡2)+(1-z)en⁡π- 1 2en⁡pecado⁡(πz)+ 1 π ∑ norte = 1 ∞ en ⁡ norte nortepecado⁡(2πnortez), {\ Displaystyle \ ln \ Gamma (z) = \ left ({\ frac {1} {2}} - z \ right) (\ gamma + \ ln 2) + (1-z) \ ln \ pi - {\ frac {1} {2}} \ ln \ sin (\ pi z) + {\ frac {1} {\ pi}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ ln n} {n}} \ sin (2 \ pi nz),}

que durante mucho tiempo se atribuyó a Ernst Kummer, quien la derivó en 1847. Sin embargo, Iaroslav Blagouchine descubrió que Carl Johan Malmsten obtuvo por primera vez esta serie en 1842.

Fórmula de Raabe

En 1840 Joseph Ludwig Raabe demostró que

$$ ∫ a a + 1en⁡Γ(z)Dz= 1 2 en ⁡ 2 π + a en ⁡ a - a , a gt; 0. {\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {a + 1} \ ln \ Gamma (z) \, dz = {\ tfrac {1} {2}} \ ln 2 \ pi + a \ ln aa, \ quad a gt; 0.}

En particular, si entonces $$

a=0 {\ Displaystyle a = 0}

$$ ∫ 0 1en⁡Γ(z)Dz= 1 2 en ⁡ 2 π . {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ ln \ Gamma (z) \, dz = {\ tfrac {1} {2}} \ ln 2 \ pi.}

Este último se puede derivar tomando el logaritmo en la fórmula de multiplicación anterior, que da una expresión para la suma de Riemann del integrando. Tomando el límite para da la fórmula. $$

a→∞ {\ Displaystyle a \ to \ infty}

Función pi

Una notación alternativa que fue introducida originalmente por Gauss y que a veces se usó es la función-, que en términos de la función gamma es $$

Π {\ Displaystyle \ Pi}

$$Π(z)=Γ(z+1)=zΓ(z)= ∫ 0 ∞ mi - t t zDt, {\ Displaystyle \ Pi (z) = \ Gamma (z + 1) = z \ Gamma (z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t} t ^ {z} \, dt, }

de modo que para cada entero no negativo. $$

Π(norte)=norte! {\ Displaystyle \ Pi (n) = n!}$$norte {\ Displaystyle n}

Usando la función pi, la fórmula de reflexión toma la forma

$$Π(z)Π(-z)= π z pecado ⁡ ( π z )= 1 sinc ⁡ ( z ) {\ Displaystyle \ Pi (z) \ Pi (-z) = {\ frac {\ pi z} {\ sin (\ pi z)}} = {\ frac {1} {\ operatorname {sinc} (z)} }}

donde sinc es la función sinc normalizada, mientras que el teorema de la multiplicación toma la forma

$$Π ( z metro )Π ( z - 1 metro )⋯Π ( z - metro + 1 metro )=(2π ) metro - 1 2 metro - z - 1 2Π(z) . {\ Displaystyle \ Pi \ left ({\ frac {z} {m}} \ right) \, \ Pi \ left ({\ frac {z-1} {m}} \ right) \ cdots \ Pi \ left ( {\ frac {z-m + 1} {m}} \ right) = (2 \ pi) ^ {\ frac {m-1} {2}} m ^ {- z - {\ frac {1} {2 }}} \ Pi (z) \.}

También a veces encontramos

$$π(z)= 1 Π ( z ) , {\ Displaystyle \ pi (z) = {\ frac {1} {\ Pi (z)}} \,}

que es una función completa, definida para cada número complejo, al igual que la función gamma recíproca. Eso es todo implica que no tiene polos, así que, como, no tiene ceros. $$

π(z) {\ Displaystyle \ pi (z)}$$Π ( z ) {\ Displaystyle \ Pi \ left (z \ right)}$$Γ ( z ) {\ Displaystyle \ Gamma \ left (z \ right)}

El volumen de un n -elipsoide con radios r 1,…, r n se puede expresar como

$$ V norte( r 1,..., r norte)= π norte 2 Π ( norte 2 ) ∏ k = 1 norte r k. {\ Displaystyle V_ {n} (r_ {1}, \ dotsc, r_ {n}) = {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}}} {\ Pi \ left ({\ frac { n} {2}} \ right)}} \ prod _ {k = 1} ^ {n} r_ {k}.}

Relación con otras funciones

• En la primera integral anterior, que define la función gamma, los límites de integración son fijos. Las funciones gamma incompletas superior e inferior son las funciones que se obtienen al permitir que varíe el límite de integración inferior o superior (respectivamente).
• La función gamma está relacionada con la función beta por la fórmula

  $$ B(X,y)= ∫ 0 1 t X - 1(1-t ) y - 1Dt= Γ ( X ) Γ ( y ) Γ ( X + y ). {\ Displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ int _ {0} ^ {1} t ^ {x-1} (1-t) ^ {y-1} \, dt = {\ frac { \ Gamma (x) \, \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}}.}

• La derivada logarítmica de la función gamma se llama función digamma ; las derivadas superiores son las funciones poligamma.
• El análogo de la función gamma sobre un campo finito o un anillo finito son las sumas gaussianas, un tipo de suma exponencial.
• La función gamma recíproca es una función completa y se ha estudiado como un tema específico.
• La función gamma también se muestra en una relación importante con la función zeta de Riemann,. $$ζ(z) {\ Displaystyle \ zeta (z)}

  $$ π - z 2Γ ( z 2 )ζ(z)= π - 1 - z 2Γ ( 1 - z 2 )ζ(1-z). {\ Displaystyle \ pi ^ {- {\ frac {z} {2}}} \; \ Gamma \ left ({\ frac {z} {2}} \ right) \ zeta (z) = \ pi ^ {- {\ frac {1-z} {2}}} \; \ Gamma \ left ({\ frac {1-z} {2}} \ right) \; \ zeta (1-z).}

  También aparece en la siguiente fórmula:

  $$ζ(z)Γ(z)= ∫ 0 ∞ tu z mi tu - 1 D tu tu, {\ Displaystyle \ zeta (z) \ Gamma (z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {u ^ {z}} {e ^ {u} -1}} \, {\ frac {du} {u}},}

  que es válido solo para.$$ℜ(z)gt;1 {\ Displaystyle \ Re (z)gt; 1}

  El logaritmo de la función gamma satisface la siguiente fórmula debido a Lerch:

  $$Iniciar sesión⁡Γ(X)= ζ H ′(0,X)- ζ ′(0), {\ Displaystyle \ log \ Gamma (x) = \ zeta _ {H} '(0, x) - \ zeta' (0),}

  donde es la función zeta de Hurwitz, es la función zeta de Riemann y el primo ( ′) denota diferenciación en la primera variable.$$ ζ H {\ Displaystyle \ zeta _ {H}} $$ζ {\ Displaystyle \ zeta}

• La función gamma está relacionada con la función exponencial estirada. Por ejemplo, los momentos de esa función son

  $$⟨ τ norte⟩≡ ∫ 0 ∞Dt t norte - 1 mi - ( t τ ) β= τ norte βΓ ( norte β ). {\ Displaystyle \ langle \ tau ^ {n} \ rangle \ equiv \ int _ {0} ^ {\ infty} dt \, t ^ {n-1} \, e ^ {- \ left ({\ frac {t } {\ tau}} \ right) ^ {\ beta}} = {\ frac {\ tau ^ {n}} {\ beta}} \ Gamma \ left ({n \ over \ beta} \ right).}

Valores particulares

Artículo principal: valores particulares de la función gamma

Incluyendo hasta los primeros 20 dígitos después del punto decimal, algunos valores particulares de la función gamma son:

$$ Γ ( - 3 2 ) = 4 π 3 ≈ + 2.36327 18012 07354 70306 Γ ( - 1 2 ) = - 2 π ≈ - 3.54490 77018 11032 05459 Γ ( 1 2 ) = π ≈ + 1.77245 38509 05516 02729 Γ ( 1 ) = 0 ! = + 1 Γ ( 3 2 ) = π 2 ≈ + 0.88622 69254 52758 01364 Γ ( 2 ) = 1 ! = + 1 Γ ( 5 2 ) = 3 π 4 ≈ + 1.32934 03881 79137 02047 Γ ( 3 ) = 2 ! = + 2 Γ ( 7 2 ) = 15 π 8 ≈ + 3.32335 09704 47842 55118 Γ ( 4 ) = 3 ! = + 6 {\ Displaystyle {\ begin {array} {rcccl} \ Gamma \ left (- {\ tfrac {3} {2}} \ right) amp; = amp; {\ tfrac {4 {\ sqrt {\ pi}}} {3 }} amp; \ approx amp; + 2.36327 \, 18012 \, 07354 \, 70306 \\\ Gamma \ left (- {\ tfrac {1} {2}} \ right) amp; = amp; - 2 {\ sqrt {\ pi} } amp; \ approx amp; -3.54490 \, 77018 \, 11032 \, 05459 \\\ Gamma \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ right) amp; = amp; {\ sqrt {\ pi}} amp; \ approx amp; + 1.77245 \, 38509 \, 05516 \, 02729 \\\ Gamma (1) amp; = amp; 0! amp; = amp; + 1 \\\ Gamma \ left ({\ tfrac {3} {2}} \ right) amp; = amp; {\ tfrac {\ sqrt {\ pi}} {2}} amp; \ approx amp; + 0.88622 \, 69254 \, 52758 \, 01364 \\\ Gamma (2) amp; = amp; 1! amp; = amp; + 1 \\\ Gamma \ left ({\ tfrac {5} {2}} \ right) amp; = amp; {\ tfrac {3 {\ sqrt {\ pi}}} {4}} amp; \ approx amp; + 1.32934 \, 03881 \, 79137 \, 02047 \\\ Gamma (3) amp; = amp; 2! amp; = amp; + 2 \\\ Gamma \ left ({\ tfrac {7} {2}} \ right) amp; = amp; {\ tfrac {15 {\ sqrt {\ pi}}} {8}} amp; \ approx amp; + 3.32335 \, 09704 \, 47842 \, 55118 \\\ Gamma (4) amp; = amp; 3! amp; = amp; + 6 \ end {array}}}

La función gamma de valor complejo no está definida para números enteros no positivos, pero en estos casos el valor se puede definir en la esfera de Riemann como ∞. La función gamma recíproca está bien definida y es analítica en estos valores (y en todo el plano complejo ):

$$ 1 Γ ( - 3 )= 1 Γ ( - 2 )= 1 Γ ( - 1 )= 1 Γ ( 0 )=0. {\ Displaystyle {\ frac {1} {\ Gamma (-3)}} = {\ frac {1} {\ Gamma (-2)}} = {\ frac {1} {\ Gamma (-1)}} = {\ frac {1} {\ Gamma (0)}} = 0.}

La función log-gamma

La función analítica log Γ ( z)

Debido a que las funciones factorial y gamma crecen tan rápidamente para argumentos moderadamente grandes, muchos entornos informáticos incluyen una función que devuelve el logaritmo natural de la función gamma (a menudo se le da el nombre lgammao lngammaen entornos de programación o gammalnen hojas de cálculo); esto crece mucho más lentamente, y para los cálculos combinatorios permite sumar y restar registros en lugar de multiplicar y dividir valores muy grandes. A menudo se define como

$$en⁡Γ(z)=-γz-en⁡z+ ∑ k = 1 ∞ [ z k - en ⁡ ( 1 + z k ) ]. {\ Displaystyle \ ln \ Gamma (z) = - \ gamma z- \ ln z + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left [{\ frac {z} {k}} - \ ln \ left (1 + {\ frac {z} {k}} \ derecha) \ derecha].}

La función digamma, que es la derivada de esta función, también se ve comúnmente. En el contexto de las aplicaciones técnicas y físicas, por ejemplo, con la propagación de ondas, la ecuación funcional

$$en⁡Γ(z)=en⁡Γ(z+1)-en⁡z {\ Displaystyle \ ln \ Gamma (z) = \ ln \ Gamma (z + 1) - \ ln z}

se utiliza a menudo ya que permite determinar valores de función en una franja de ancho 1 en z de la franja vecina. En particular, comenzando con una buena aproximación para una  z con una gran parte real, se puede ir paso a paso hasta la z deseada . Siguiendo una indicación de Carl Friedrich Gauss, Rocktaeschel (1922) propuso una aproximación para Re ( z) grande: $$

en⁡(Γ(z)) {\ Displaystyle \ ln (\ Gamma (z))}

$$en⁡Γ(z)≈(z- 1 2 ) en ⁡ z - z + 1 2 en ⁡ ( 2 π ) . {\ Displaystyle \ ln \ Gamma (z) \ approx (z - {\ tfrac {1} {2}}) \ ln z-z + {\ tfrac {1} {2}} \ ln (2 \ pi).}

Esto se puede usar para aproximar con precisión ln (Γ ( z)) para z con un Re ( z) más pequeño a través de (PEBöhmer, 1939)

$$en⁡Γ(z-metro)=en⁡Γ(z)- ∑ k = 1 metroen⁡(z-k). {\ Displaystyle \ ln \ Gamma (zm) = \ ln \ Gamma (z) - \ sum _ {k = 1} ^ {m} \ ln (zk).}

Se puede obtener una aproximación más precisa utilizando más términos de las expansiones asintóticas de ln (Γ ( z)) y Γ ( z), que se basan en la aproximación de Stirling.

$$Γ(z)∼ z z - 1 2 mi - z 2 π ( 1 + 1 12 z + 1 288 z 2 - 139 51 840 z 3 - 571 2 488 320 z 4 ) {\ Displaystyle \ Gamma (z) \ sim z ^ {z - {\ frac {1} {2}}} e ^ {- z} {\ sqrt {2 \ pi}} \ left (1 + {\ frac { 1} {12z}} + {\ frac {1} {288z ^ {2}}} - {\ frac {139} {51 \, 840z ^ {3}}} - {\ frac {571} {2 \, 488 \, 320z ^ {4}}} \ right)}

como | z | → ∞ en constante | arg ( z) | lt;π.

En una presentación más "natural":

$$en⁡Γ(z)=zen⁡z-z- 1 2 en ⁡ z + 1 2 en ⁡ 2 π + 1 12 z - 1 360 z 3 + 1 1260 z 5 + o ( 1 z 5 ) {\ Displaystyle \ ln \ Gamma (z) = z \ ln zz - {\ tfrac {1} {2}} \ ln z + {\ tfrac {1} {2}} \ ln 2 \ pi + {\ frac {1 } {12z}} - {\ frac {1} {360z ^ {3}}} + {\ frac {1} {1260z ^ {5}}} + o \ left ({\ frac {1} {z ^ { 5}}} \ derecha)}

como | z | → ∞ en constante | arg ( z) | lt;π.

Los coeficientes de los términos con k gt; 1 de z ^{1− k} en la última expansión son simplemente

$$ B k k ( k - 1 ) {\ Displaystyle {\ frac {B_ {k}} {k (k-1)}}}

donde B k son los números de Bernoulli.

Propiedades

El teorema de Bohr-Mollerup establece que entre todas las funciones que extienden las funciones factoriales a los números reales positivos, solo la función gamma es log-convexa, es decir, su logaritmo natural es convexo en el eje real positivo. Otra caracterización viene dada por el teorema de Wielandt.

En cierto sentido, la función ln (Γ) es la forma más natural; aclara algunos atributos intrínsecos de la función. Un ejemplo sorprendente es la serie de Taylor de ln (Γ) alrededor de 1:

$$en⁡Γ(z+1)=-γz+ ∑ k = 2 ∞ ζ ( k ) k(-z ) k∀ |z |lt;1 {\ Displaystyle \ ln \ Gamma (z + 1) = - \ gamma z + \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ zeta (k)} {k}} \, (- z) ^ {k} \ qquad \ forall \; | z | lt;1}

donde ζ ( k) denota la función zeta de Riemann en k.

Entonces, usando la siguiente propiedad:

$$ζ(s)Γ(s)= ∫ 0 ∞ t s mi t - 1 D t t {\ Displaystyle \ zeta (s) \ Gamma (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {s}} {e ^ {t} -1}} \, {\ frac {dt} {t}}}

podemos encontrar una representación integral para la función ln (Γ):

$$en⁡Γ(z+1)=-γz+ ∫ 0 ∞ ( mi - z t - 1 + z t ) t ( mi t - 1 )Dt {\ Displaystyle \ ln \ Gamma (z + 1) = - \ gamma z + \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\, \ left (e ^ {- zt} -1 + zt \ right) \,} {t \ left (e ^ {t} -1 \ right)}} \, dt}

o, estableciendo z = 1 para obtener una integral para γ, podemos reemplazar el término γ con su integral e incorporarlo en la fórmula anterior, para obtener:

$$en⁡Γ(z+1)= ∫ 0 ∞ ( mi - z t - z mi - t - 1 + z ) t ( mi t - 1 )Dt. {\ Displaystyle \ ln \ Gamma (z + 1) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\, \ left (e ^ {- zt} -ze ^ {- t} -1 + z \ right) \,} {t (e ^ {t} -1)}} \, dt \,.}

También existen fórmulas especiales para el logaritmo de la función gamma para z racional. Por ejemplo, si y son enteros con y luego $$

k {\ Displaystyle k}$$norte {\ Displaystyle n}$$klt;norte {\ Displaystyle k lt;n}$$k≠norte /2, {\ Displaystyle k \ neq n / 2 \,,}

$$ en ⁡ Γ ( k norte ) = ( norte - 2 k ) en ⁡ 2 π 2 norte + 1 2 { en ⁡ π - en ⁡ pecado ⁡ π k norte } + 1 π ∑ r = 1 norte - 1 γ + en ⁡ r r ⋅ pecado ⁡ 2 π r k norte - 1 2 π pecado ⁡ 2 π k norte ⋅ ∫ 0 ∞ mi - norte X ⋅ en ⁡ X aporrear ⁡ X - porque ⁡ ( 2 π k / norte ) D X {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ ln \ Gamma \ left ({\ frac {k} {n}} \ right) = {} amp; {\ frac {\, (n-2k) \ ln 2 \ pi \,} {2n}} + {\ frac {1} {2}} \ left \ {\, \ ln \ pi - \ ln \ sin {\ frac {\ pi k} {n}} \, \ right \} + {\ frac {1} {\ pi}} \! \ sum _ {r = 1} ^ {n-1} {\ frac {\, \ gamma + \ ln r \,} {r}} \ cdot \ sin {\ frac {\, 2 \ pi rk \,} {n}} \\ amp; {} - {\ frac {1} {2 \ pi}} \ sin {\ frac {2 \ pi k} {n} } \ cdot \! \ int _ {0} ^ {\ infty} \! \! {\ frac {\, e ^ {- nx} \! \ cdot \ ln x \,} {\, \ cosh x- \ cos (2 \ pi k / n) \,}} \, {\ mathrm {d}} x \ end {alineado}}}

ver. Esta fórmula se usa a veces para cálculos numéricos, ya que el integrando disminuye muy rápidamente.

Integración sobre log-gamma

La integral

$$ ∫ 0 zen⁡Γ(X)DX {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {z} \ ln \ Gamma (x) \, dx}

se puede expresar en términos de la Barnes G -Función (véase Barnes G -Función para una prueba):

$$ ∫ 0 zen⁡Γ(X)DX= z 2en⁡(2π)+ z ( 1 - z ) 2+zen⁡Γ(z)-en⁡GRAMO(z+1) {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {z} \ ln \ Gamma (x) \, dx = {\ frac {z} {2}} \ ln (2 \ pi) + {\ frac {z (1- z)} {2}} + z \ ln \ Gamma (z) - \ ln G (z + 1)}

donde Re ( z)gt; −1.

También se puede escribir en términos de la función zeta de Hurwitz :

$$ ∫ 0 zen⁡Γ(X)DX= z 2en⁡(2π)+ z ( 1 - z ) 2- ζ ′(-1)+ ζ ′(-1,z). {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {z} \ ln \ Gamma (x) \, dx = {\ frac {z} {2}} \ ln (2 \ pi) + {\ frac {z (1- z)} {2}} - \ zeta '(-1) + \ zeta' (-1, z).}

Cuando sigue eso $$

z=1 {\ Displaystyle z = 1}

$$ ∫ 0 1en⁡Γ(X)DX= 1 2en⁡(2π), {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ ln \ Gamma (x) \, dx = {\ frac {1} {2}} \ ln (2 \ pi),}

y esto también es una consecuencia de la fórmula de Raabe. O. Espinosa y V. Moll derivaron una fórmula similar para la integral del cuadrado de: $$

en⁡Γ {\ Displaystyle \ ln \ Gamma}

$$ ∫ 0 1 en 2⁡Γ(X)DX= γ 2 12+ π 2 48+ 1 3γ L 1+ 4 3 L 1 2- ( γ + 2 L 1 ) ζ ′ ( 2 ) π 2+ ζ ′ ′ ( 2 ) 2 π 2, {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ ln ^ {2} \ Gamma (x) dx = {\ frac {\ gamma ^ {2}} {12}} + {\ frac {\ pi ^ { 2}} {48}} + {\ frac {1} {3}} \ gamma L_ {1} + {\ frac {4} {3}} L_ {1} ^ {2} - \ left (\ gamma + 2L_ {1} \ right) {\ frac {\ zeta ^ {\ prime} (2)} {\ pi ^ {2}}} + {\ frac {\ zeta ^ {\ prime \ prime} (2)} { 2 \ pi ^ {2}}},}

donde esta. $$

L 1 {\ Displaystyle L_ {1}}$$ 1 2en⁡(2π) {\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} \ ln (2 \ pi)}

DH Bailey y sus coautores dieron una evaluación de

$$ L norte: = ∫ 0 1 en norte⁡Γ(X)DX {\ Displaystyle L_ {n}: = \ int _ {0} ^ {1} \ ln ^ {n} \ Gamma (x) dx}

cuando en términos de la función zeta de Tornheim-Witten y sus derivadas. $$

norte=1,2 {\ Displaystyle n = 1,2}

Además, también se sabe que

$$ lim norte → ∞ L norte norte !=1. {\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {L_ {n}} {n!}} = 1.}

Aproximaciones

Comparación gamma (línea azul) con el factorial (puntos azules) y la aproximación de Stirling (línea roja)

Los valores complejos de la función gamma se pueden calcular numéricamente con precisión arbitraria utilizando la aproximación de Stirling o la aproximación de Lanczos.

La función gamma se puede calcular con precisión fija aplicando la integración por partes a la integral de Euler. Para cualquier número positivo  x se puede escribir la función gamma $$

Re⁡(z)∈[1,2] {\ Displaystyle \ operatorname {Re} (z) \ in [1,2]}

$$ Γ ( z ) = ∫ 0 X mi - t t z D t t + ∫ X ∞ mi - t t z D t t = X z mi - X ∑ norte = 0 ∞ X norte z ( z + 1 ) ⋯ ( z + norte ) + ∫ X ∞ mi - t t z D t t . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Gamma (z) amp; = \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t} t ^ {z} \, {\ frac {dt} {t}} + \ int _ {x} ^ {\ infty} e ^ {- t} t ^ {z} \, {\ frac {dt} {t}} \\ amp; = x ^ {z} e ^ {- x} \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n}} {z (z + 1) \ cdots (z + n)}} + \ int _ {x} ^ {\ infty} e ^ {- t} t ^ {z} \, {\ frac {dt} {t}}. \ end {alineado}}}

Cuando Re ( z) ∈ [1,2] y, el valor absoluto de la última integral es menor que. Al elegir un valor suficientemente grande, esta última expresión se puede hacer más pequeña que para cualquier valor deseado . Por lo tanto, la función gamma se puede evaluar con bits de precisión con la serie anterior. $$

X≥1 {\ Displaystyle x \ geq 1}$$(X+1) mi - X {\ Displaystyle (x + 1) e ^ {- x}}$$X {\ Displaystyle x}$$ 2 - norte {\ Displaystyle 2 ^ {- N}}$$norte {\ Displaystyle N}$$norte {\ Displaystyle N}

EA Karatsuba construyó un algoritmo rápido para el cálculo de la función gamma de Euler para cualquier argumento algebraico (incluido el racional),

Para argumentos que son múltiplos enteros de 1/24, la función gamma también se puede evaluar rápidamente usando iteraciones de medias aritmético-geométricas (ver valores particulares de la función gamma y Borwein amp; Zucker (1992)). error de harvtxt: sin destino: CITEREFBorweinZucker1992 ( ayuda )

Aplicaciones

Un autor describe la función gamma como "Podría decirse que es la función especial más común, o la menos 'especial' de ellas. Las otras funciones trascendentales […] se denominan 'especiales' porque posiblemente podrías evitar algunas de ellas manteniéndote alejado de muchas temas matemáticos especializados. Por otro lado, la función gamma y = Γ ( x) es más difícil de evitar ".

Problemas de integración

La función gamma encuentra aplicación en áreas tan diversas como la física cuántica, la astrofísica y la dinámica de fluidos. La distribución gamma, que se formula en términos de la función gamma, se utiliza en estadística para modelar una amplia gama de procesos; por ejemplo, el tiempo entre ocurrencias de terremotos.

La razón principal de la utilidad de la función gamma en tales contextos es la prevalencia de expresiones del tipo que describen procesos que decaen exponencialmente en el tiempo o el espacio. Las integrales de tales expresiones se pueden resolver ocasionalmente en términos de la función gamma cuando no existe una solución elemental. Por ejemplo, si f es una función de potencia y g es una función lineal, un simple cambio de variables da la evaluación $$

F(t) mi - gramo ( t ) {\ Displaystyle f (t) e ^ {- g (t)}}

$$ ∫ 0 ∞ t B mi - a tDt= Γ ( B + 1 ) a B + 1. {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {b} e ^ {- at} \, dt = {\ frac {\ Gamma (b + 1)} {a ^ {b + 1}} }.}

El hecho de que la integración se realice a lo largo de toda la línea real positiva podría significar que la función gamma describe la acumulación de un proceso dependiente del tiempo que continúa indefinidamente, o el valor podría ser el total de una distribución en un espacio infinito.

Por supuesto, con frecuencia es útil tomar límites de integración distintos de 0 y ∞ para describir la acumulación de un proceso finito, en cuyo caso la función gamma ordinaria ya no es una solución; la solución se denomina función gamma incompleta. (La función gamma ordinaria, obtenida mediante la integración a lo largo de toda la línea real positiva, a veces se denomina función gamma completa para el contraste).

Una categoría importante de funciones que decaen exponencialmente es la de funciones gaussianas.

$$a mi - ( X - B ) 2 C 2 {\ displaystyle ae ^ {- {\ frac {(xb) ^ {2}} {c ^ {2}}}}}

e integrales de los mismos, como la función de error. Existen muchas interrelaciones entre estas funciones y la función gamma; en particular, el factor que se obtiene al evaluar es el "mismo" que se encuentra en el factor de normalización de la función de error y la distribución normal. $$

π {\ Displaystyle {\ sqrt {\ pi}}}$$Γ ( 1 2 ) {\ textstyle \ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)}

Las integrales que hemos discutido hasta ahora involucran funciones trascendentales, pero la función gamma también surge de integrales de funciones puramente algebraicas. En particular, las longitudes de arco de las elipses y de la lemniscata, que son curvas definidas por ecuaciones algebraicas, están dadas por integrales elípticas que en casos especiales pueden evaluarse en términos de la función gamma. La función gamma también se puede utilizar para calcular el "volumen" y el "área" de hiperesferas n- dimensionales.

Calculando productos

La capacidad de la función gamma para generalizar productos factoriales conduce inmediatamente a aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas; en combinatoria y, por extensión, en áreas como la teoría de la probabilidad y el cálculo de series de potencias. Muchas expresiones que involucran productos de números enteros sucesivos se pueden escribir como una combinación de factoriales, el ejemplo más importante quizás sea el del coeficiente binomial

$$ ( norte k )= norte ! k ! ( norte - k ) !. {\ Displaystyle {\ binom {n} {k}} = {\ frac {n!} {k! (nk)!}}.}

El ejemplo de los coeficientes binomiales motiva por qué las propiedades de la función gamma cuando se extiende a números negativos son naturales. Un coeficiente binomial da el número de formas de elegir k elementos de un conjunto de n elementos; si k gt; n, por supuesto que no hay formas. Si k gt; n, ( n - k)! es el factorial de un número entero negativo y, por lo tanto, infinito si usamos la definición de función gamma de factoriales; dividir por infinito da el valor esperado de 0.

Podemos reemplazar el factorial por una función gamma para extender dicha fórmula a los números complejos. Generalmente, esto funciona para cualquier producto en el que cada factor sea una función racional de la variable índice, al factorizar la función racional en expresiones lineales. Si P y Q son polinomios monic de grado m y n con las respectivas raíces p 1,..., p m y q 1,..., q n, tenemos

$$ ∏ I = a B PAG ( I ) Q ( I )= ( ∏ j = 1 metro Γ ( B - pag j + 1 ) Γ ( a - pag j ) ) ( ∏ k = 1 norte Γ ( a - q k ) Γ ( B - q k + 1 ) ). {\ Displaystyle \ prod _ {i = a} ^ {b} {\ frac {P (i)} {Q (i)}} = \ left (\ prod _ {j = 1} ^ {m} {\ frac {\ Gamma (b-p_ {j} +1)} {\ Gamma (a-p_ {j})}} \ right) \ left (\ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ Gamma (a-q_ {k})} {\ Gamma (b-q_ {k} +1)}} \ right).}

Si tenemos una forma de calcular la función gamma numéricamente, es muy sencillo calcular los valores numéricos de dichos productos. El número de funciones gamma en el lado derecho depende solo del grado de los polinomios, por lo que no importa si b - a es igual a 5 o 10 ⁵. Al tomar los límites apropiados, también se puede hacer que la ecuación se mantenga incluso cuando el producto de la izquierda contiene ceros o polos.

Al tomar límites, ciertos productos racionales con infinitos factores también pueden evaluarse en términos de la función gamma. Debido al teorema de factorización de Weierstrass, las funciones analíticas se pueden escribir como productos infinitos, y estos a veces se pueden representar como productos finitos o cocientes de la función gamma. Ya hemos visto un ejemplo sorprendente: la fórmula de reflexión esencialmente representa la función seno como el producto de dos funciones gamma. A partir de esta fórmula, tanto la función exponencial como todas las funciones trigonométricas e hiperbólicas se pueden expresar en términos de la función gamma.

Aún más funciones, incluyendo la función hipergeométrica y casos especiales de la misma, se pueden representar por medio de integrales de contorno complejas de productos y cocientes de la función gamma, llamadas integrales de Mellin-Barnes.

Teoría analítica de números

Una aplicación de la función gamma es el estudio de la función zeta de Riemann. Una propiedad fundamental de la función zeta de Riemann es su ecuación funcional :

$$Γ ( s 2 )ζ(s) π - s 2=Γ ( 1 - s 2 )ζ(1-s) π - 1 - s 2. {\ Displaystyle \ Gamma \ left ({\ frac {s} {2}} \ right) \ zeta (s) \ pi ^ {- {\ frac {s} {2}}} = \ Gamma \ left ({\ frac {1-s} {2}} \ right) \ zeta (1-s) \ pi ^ {- {\ frac {1-s} {2}}}.}

Entre otras cosas, esto proporciona una forma explícita para la continuación analítica de la función zeta a una función meromórfica en el plano complejo y conduce a una prueba inmediata de que la función zeta tiene un número infinito de los llamados ceros "triviales" en la línea real. Borwein y col. llamar a esta fórmula "uno de los descubrimientos más bellos de las matemáticas". Otro campeón por ese título podría ser

$$ζ(s)Γ(s)= ∫ 0 ∞ t s mi t - 1 D t t. {\ Displaystyle \ zeta (s) \; \ Gamma (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {s}} {e ^ {t} -1}} \, { \ frac {dt} {t}}.}

Ambas fórmulas fueron derivadas por Bernhard Riemann en su artículo seminal de 1859 " Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe " ("Sobre el número de números primos menores que una cantidad dada"), uno de los hitos en el desarrollo de la teoría analítica de números. —La rama de las matemáticas que estudia los números primos utilizando las herramientas del análisis matemático. Los números factoriales, considerados como objetos discretos, son un concepto importante en la teoría de números clásica porque contienen muchos factores primos, pero Riemann encontró un uso para su extensión continua que posiblemente resultó ser aún más importante.

Historia

La función gamma ha captado el interés de algunos de los matemáticos más destacados de todos los tiempos. Su historia, documentada notablemente por Philip J. Davis en un artículo que le valió el Premio Chauvenet de 1963, refleja muchos de los principales desarrollos dentro de las matemáticas desde el siglo XVIII. En palabras de Davis, "cada generación ha encontrado algo interesante que decir sobre la función gamma. Quizás la próxima generación también lo haga".

Siglo XVIII: Euler y Stirling

Carta de Daniel Bernoulli a Christian Goldbach, 6 de octubre de 1729

El problema de extender el factorial a argumentos no enteros aparentemente fue considerado por primera vez por Daniel Bernoulli y Christian Goldbach en la década de 1720, y fue resuelto a fines de la misma década por Leonhard Euler. Euler dio dos definiciones diferentes: la primera no era su integral sino un producto infinito,

$$norte!= ∏ k = 1 ∞ ( 1 + 1 k ) norte 1 + norte k, {\ Displaystyle n! = \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ left (1 + {\ frac {1} {k}} \ right) ^ {n}} {1+ { \ frac {n} {k}}}} \,,}

de lo cual informó a Goldbach en una carta fechada el 13 de octubre de 1729. Escribió nuevamente a Goldbach el 8 de enero de 1730, para anunciar su descubrimiento de la representación integral

$$norte!= ∫ 0 1(-en⁡s ) norteDs, {\ Displaystyle n! = \ int _ {0} ^ {1} (- \ ln s) ^ {n} \, ds \,,}

que es válido para n gt; 0. Por el cambio de las variables t = −ln s, esto se convierte en la familiar integral de Euler. Euler publicó sus resultados en el artículo "De progressionibus trascendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt" ("Sobre progresiones trascendentales, es decir, aquellas cuyos términos generales no pueden darse algebraicamente"), presentado a la Academia de San Petersburgo el 28 de noviembre de 1729 Euler descubrió además algunas de las propiedades funcionales importantes de la función gamma, incluida la fórmula de reflexión.

James Stirling, contemporáneo de Euler, también intentó encontrar una expresión continua para lo factorial y propuso lo que ahora se conoce como la fórmula de Stirling. Aunque la fórmula de Stirling da una buena estimación de n !, también para números no enteros, no proporciona el valor exacto. Las extensiones de su fórmula que corrigen el error fueron dadas por el propio Stirling y por Jacques Philippe Marie Binet.

Siglo XIX: Gauss, Weierstrass y Legendre

La primera página del artículo de Euler

Carl Friedrich Gauss reescribió el producto de Euler como

$$Γ(z)= lim metro → ∞ metro z metro ! z ( z + 1 ) ( z + 2 ) ⋯ ( z + metro ) {\ Displaystyle \ Gamma (z) = \ lim _ {m \ to \ infty} {\ frac {m ^ {z} m!} {z (z + 1) (z + 2) \ cdots (z + m) }}}

y usé esta fórmula para descubrir nuevas propiedades de la función gamma. Aunque Euler fue un pionero en la teoría de variables complejas, no parece haber considerado el factorial de un número complejo, como lo hizo Gauss por primera vez. Gauss también demostró el teorema de la multiplicación de la función gamma e investigó la conexión entre la función gamma y las integrales elípticas.

Karl Weierstrass estableció además el papel de la función gamma en el análisis complejo, a partir de otra representación del producto,

$$Γ(z)= mi - γ z z ∏ k = 1 ∞ ( 1 + z k ) - 1 mi z k, {\ Displaystyle \ Gamma (z) = {\ frac {e ^ {- \ gamma z}} {z}} \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left (1 + {\ frac {z} {k}} \ right) ^ {- 1} e ^ {\ frac {z} {k}},}

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni. Weierstrass escribió originalmente su producto como uno para1/Γ, en cuyo caso se toma sobre los ceros de la función en lugar de sus polos. Inspirado por este resultado, demostró lo que se conoce como el teorema de factorización de Weierstrass: que cualquier función completa puede escribirse como un producto sobre sus ceros en el plano complejo; una generalización del teorema fundamental del álgebra.

El nombre de función gamma y el símbolo Γ fueron introducidos por Adrien-Marie Legendre alrededor de 1811; Legendre también reescribió la definición integral de Euler en su forma moderna. Aunque el símbolo es una gamma griega en mayúsculas, no existe un estándar aceptado sobre si el nombre de la función debe escribirse "función gamma" o "función gamma" (algunos autores simplemente escriben "función Γ "). La notación alternativa "función pi" Π ( z) = z ! debido a Gauss se encuentra a veces en la literatura más antigua, pero la notación de Legendre es dominante en las obras modernas.

¡Está justificado preguntar por qué distinguimos entre el "factorial ordinario" y la función gamma usando símbolos distintos, y particularmente por qué la función gamma debería normalizarse a Γ ( n + 1) = n ! en lugar de simplemente usar " Γ ( n) = n ! ". Considere que la notación para exponentes, x ⁿ, se ha generalizado de enteros a números complejos x ^z sin ningún cambio. La motivación de Legendre para la normalización no parece ser conocida, y ha sido criticada como engorrosa por algunos (el matemático del siglo XX Cornelius Lanczos, por ejemplo, la llamó "vacía de cualquier racionalidad" y en su lugar usaría z !). La normalización de Legendre simplifica algunas fórmulas, pero complica la mayoría de las demás. Desde un punto de vista moderno, la normalización de Legendre de la función Gamma es la integral del carácter aditivo e ^{- x} contra el carácter multiplicativo x ^z con respecto a la medida de Haar en el grupo de Lie R ⁺. Por lo tanto, esta normalización deja más claro que la función gamma es un análogo continuo de una suma de Gauss. $$

D X X {\ textstyle {\ frac {dx} {x}}}

Siglos XIX-XX: caracterización de la función gamma

Es algo problemático que se hayan dado un gran número de definiciones para la función gamma. Aunque describen la misma función, no es del todo sencillo demostrar la equivalencia. Stirling nunca demostró que su fórmula extendida se corresponda exactamente con la función gamma de Euler; Charles Hermite dio por primera vez una prueba en 1900. En lugar de encontrar una prueba especializada para cada fórmula, sería deseable tener un método general para identificar la función gamma.

Una forma de demostrarlo sería encontrar una ecuación diferencial que caracterice la función gamma. La mayoría de las funciones especiales en matemáticas aplicadas surgen como soluciones a ecuaciones diferenciales, cuyas soluciones son únicas. Sin embargo, la función gamma no parece satisfacer ninguna ecuación diferencial simple. Otto Hölder demostró en 1887 que la función gamma al menos no satisface ninguna ecuación diferencial algebraica al mostrar que una solución a dicha ecuación no podría satisfacer la fórmula de recurrencia de la función gamma, lo que la convierte en una función trascendentalmente trascendental. Este resultado se conoce como teorema de Hölder.

Una caracterización definida y generalmente aplicable de la función gamma no se dio hasta 1922. Harald Bohr y Johannes Mollerup luego demostraron lo que se conoce como el teorema de Bohr-Mollerup : que la función gamma es la única solución a la relación de recurrencia factorial que es positiva y logarítmicamente convexo para z positivo y cuyo valor en 1 es 1 (una función es logarítmicamente convexa si su logaritmo es convexo). Otra caracterización viene dada por el teorema de Wielandt.

El teorema de Bohr-Mollerup es útil porque es relativamente fácil probar la convexidad logarítmica para cualquiera de las diferentes fórmulas utilizadas para definir la función gamma. Llevando las cosas más allá, en lugar de definir la función gamma mediante una fórmula en particular, podemos elegir las condiciones del teorema de Bohr-Mollerup como definición, y luego elegir cualquier fórmula que nos guste que satisfaga las condiciones como punto de partida para estudiar la función gamma. Este enfoque fue utilizado por el grupo Bourbaki.

Borwein amp; Corless revisan tres siglos de trabajo sobre la función gamma.

Tablas de referencia y software

Aunque la función gamma se puede calcular virtualmente tan fácilmente como cualquier función matemáticamente más simple con una computadora moderna, incluso con una calculadora de bolsillo programable, este no siempre fue el caso, por supuesto. Hasta mediados del siglo XX, los matemáticos se basaron en tablas hechas a mano; en el caso de la función gamma, destaca una tabla calculada por Gauss en 1813 y otra calculada por Legendre en 1825.

Un gráfico dibujado a mano del valor absoluto de la función gamma compleja, de Tablas de funciones superiores de Jahnke y Emde  [ de ].

Tablas de valores complejos de la función gamma, así como gráficos dibujados a mano, fueron dados en Tablas de funciones superiores por Jahnke y Emde  [ de ], publicado por primera vez en Alemania en 1909. Según Michael Berry, "la publicación en Jamp;E de un gráfico tridimensional que muestra los polos de la función gamma en el plano complejo adquirió un estatus casi icónico ".

De hecho, había poca necesidad práctica de nada más que valores reales de la función gamma hasta la década de 1930, cuando se descubrieron aplicaciones para la función gamma compleja en la física teórica. A medida que las computadoras electrónicas estuvieron disponibles para la producción de tablas en la década de 1950, se publicaron varias tablas extensas para la función gamma compleja para satisfacer la demanda, incluida una tabla con una precisión de 12 lugares decimales de la Oficina Nacional de Estándares de EE. UU.

Abramowitz y Stegun se convirtieron en la referencia estándar para esta y muchas otras funciones especiales después de su publicación en 1964.

Las implementaciones de punto flotante de doble precisión de la función gamma y su logaritmo están ahora disponibles en la mayoría de los programas informáticos científicos y bibliotecas de funciones especiales, por ejemplo, TK Solver, Matlab, GNU Octave y la biblioteca científica GNU. La función gamma también se agregó a la biblioteca estándar de C ( math.h ). Las implementaciones de precisión arbitraria están disponibles en la mayoría de los sistemas de álgebra computacional, como Mathematica y Maple. PARI / GP, MPFR y MPFUN contienen implementaciones gratuitas de precisión arbitraria. Una característica poco conocida de la aplicación de calculadora incluida con el sistema operativo Android es que aceptará valores fraccionarios como entrada a la función factorial y devolverá el valor equivalente de la función gamma. Lo mismo ocurre con la Calculadora de Windows.

Ver también

• Factorial ascendente
• Integral de Cahen-Mellin
• Función gamma elíptica
• Constante de Gauss
• Función gamma de Hadamard
• Función gamma múltiple
• Función gamma multivariante
• función gamma p -ádica
• Pochhammer k -símbolo
• función q -gamma
• Teorema maestro de Ramanujan
• Aproximación de Spouge

Notas

• Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium " Función Gamma ", que está bajo la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported pero no bajo la GFDL.

Otras lecturas

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972). "Capítulo 6". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas. Nueva York: Dover.
• Andrews, GE ; Askey, R.; Roy, R. (1999). "Capítulo 1 (Funciones Gamma y Beta)". Funciones especiales. Nueva York: Cambridge University Press. ISBN   978-0-521-78988-2.
• Artin, Emil (2006). "La función Gamma". En Rosen, Michael (ed.). Exposición de Emil Artin: una selección. Historia de las Matemáticas. 30. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense.
• Askey, R. ; Roy, R. (2010), "Función gamma", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST, Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-19225-5, MR   2723248
• Birkhoff, George D. (1913). "Nota sobre la función gamma". Toro. Amer. Matemáticas. Soc. 20 (1): 1–10. doi : 10.1090 / s0002-9904-1913-02429-7. Señor   1559418.
• Böhmer, PE (1939). Differenzengleichungen und bestimmte Integrale [ Ecuaciones diferenciales e integrales definidas ]. Leipzig: Köhler Verlag.
• Davis, Philip J. (1959). "Integral de Leonhard Euler: un perfil histórico de la función gamma". American Mathematical Monthly. 66 (10): 849–869. doi : 10.2307 / 2309786. JSTOR   2309786.
• Publicar, Emil (1919). "Las funciones gamma generalizadas". Annals of Mathematics. Segunda Serie. 20 (3): 202–217. doi : 10.2307 / 1967871. JSTOR   1967871. Consultado el 5 de marzo de 2021.
• Presione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 6.1. Función Gamma". Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN   978-0-521-88068-8.
• Rocktäschel, Oregón (1922). Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument [ Métodos para calcular la función gamma para argumentos complejos ]. Dresde: Universidad Técnica de Dresde.
• Temme, Nico M. (1996). Funciones especiales: una introducción a las funciones clásicas de la física matemática. Nueva York: John Wiley amp; Sons. ISBN   978-0-471-11313-3.
• Whittaker, ET ; Watson, GN (1927). Un curso de análisis moderno. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN   978-0-521-58807-2.

enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Gamma y funciones relacionadas.

• Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST: función Gamma
• Pascal Sebah y Xavier Gourdon. Introducción a la función Gamma. En formatos PostScript y HTML.
• Referencia de C ++ para std::tgamma
• Se pueden encontrar ejemplos de problemas relacionados con la función gamma en Exampleproblems.com.
• "Función gamma", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Evaluador de funciones gamma Wolfram (precisión arbitraria)
• "Gamma". Sitio de Wolfram Functions.
• Volumen de n-esferas y la función Gamma en MathPages