Percentil

No confundir con función percentil o rango percentil.

En estadística, un k -ésimo percentil ( puntuación de percentil o percentil), denotado, es una puntuación por debajo del cual cae un porcentaje determinado de puntuaciones k en su distribución de frecuencia (definición exclusiva) o una puntuación en o por debajo del cual cae un porcentaje dado (inclusive definición). Por ejemplo, el percentil 50 (la mediana ) es el puntaje por debajo del cual (exclusivo) o en o por debajo del cual (inclusive) se puede encontrar el 50% de los puntajes en la distribución. Los percentiles se expresan en la misma unidad de medida $$

PAG k % {\ Displaystyle P_ {k \%}} como puntajes de entrada; por ejemplo, si las puntuaciones se refieren al peso humano, los percentiles correspondientes se expresarán en kilogramos o libras.

El puntaje percentil y el rango percentil son términos relacionados. El rango percentil de un puntaje es el porcentaje de puntajes en su distribución que son menores que él, una definición exclusiva y que se puede expresar con una fórmula única y simple. Los puntajes percentiles y los rangos percentiles se utilizan a menudo en el informe de puntajes de pruebas de pruebas con referencia a normas, pero, como se acaba de señalar, no son lo mismo. Para el rango percentil, se da una puntuación y se calcula un porcentaje. Los rangos percentiles son exclusivos. Si el rango percentil para un puntaje específico es 90%, entonces el 90% de los puntajes fueron más bajos. Por el contrario, para los percentiles se da un porcentaje y se determina una puntuación correspondiente, que puede ser excluyente o inclusiva. El puntaje para un porcentaje específico (por ejemplo, 90º) indica un puntaje por debajo del cual (definición exclusiva) o en o por debajo del cual (definición inclusiva) otros puntajes en la distribución caen.

El percentil 25 también se conoce como el primer cuartil ( Q 1), el percentil 50 como la mediana o el segundo cuartil ( Q 2) y el percentil 75 como el tercer cuartil ( Q 3).

• 1 Aplicaciones
• 2 La distribución normal y los percentiles
• 3 Definiciones
• 4 métodos de cálculo
• 5 El método de rango más cercano
  • 5.1 Ejemplos resueltos del método de rango más cercano
• 6 El método de interpolación lineal entre rangos más cercanos
  • 6.1 Similitudes entre las variantes de este método
  • 6.2 Primera variante, C = 1/2
    • 6.2.1 Ejemplo resuelto de la primera variante
  • 6.3 Segunda variante, C = 1
    • 6.3.1 Ejemplos resueltos de la segunda variante
      • 6.3.1.1 Ejemplo 1
      • 6.3.1.2 Ejemplo 2
  • 6.4 Tercera variante, C = 0
    • 6.4.1 Ejemplo resuelto de la tercera variante
• 7 El método de percentiles ponderados
• 8 Véase también
• 9 referencias

Aplicaciones

Cuando los ISP facturan un ancho de banda de Internet "ampliable", el percentil 95 o 98 generalmente corta el 5% o 2% superior de los picos de ancho de banda en cada mes, y luego factura a la tarifa más cercana. De esta forma, se ignoran los picos poco frecuentes y se cobra al cliente de forma más justa. La razón por la que esta estadística es tan útil para medir el rendimiento de datos es que brinda una imagen muy precisa del costo del ancho de banda. El percentil 95 dice que el 95% del tiempo, el uso está por debajo de esta cantidad: entonces, el 5% restante del tiempo, el uso está por encima de esa cantidad.

Los médicos a menudo utilizan el peso y la altura de los bebés y los niños para evaluar su crecimiento en comparación con los promedios y percentiles nacionales que se encuentran en las tablas de crecimiento.

El percentil 85 de velocidad del tráfico en una carretera se utiliza a menudo como una guía para establecer límites de velocidad y evaluar si dicho límite es demasiado alto o bajo.

En finanzas, el valor en riesgo es una medida estándar para evaluar (de una manera dependiente del modelo) la cantidad por debajo de la cual no se espera que el valor de la cartera se hunda dentro de un período de tiempo dado y dado un valor de confianza.

La distribución normal y los percentiles

Representación de la regla de tres sigma. La zona azul oscuro representa observaciones dentro de una desviación estándar (σ) a cada lado de la media (μ), lo que representa aproximadamente el 68,3% de la población. Dos desviaciones estándar de la media (azul oscuro y medio) representan aproximadamente el 95,4% y tres desviaciones estándar (azul oscuro, medio y claro) de aproximadamente el 99,7%.

Los métodos que se dan en la sección de definiciones (a continuación) son aproximaciones para usar en estadísticas de muestras pequeñas. En términos generales, para poblaciones muy grandes que siguen una distribución normal, los percentiles a menudo se pueden representar por referencia a una gráfica de curva normal. La distribución normal se traza a lo largo de un eje escalado a desviaciones estándar o unidades sigma (). Matemáticamente, la distribución normal se extiende al infinito negativo a la izquierda y al infinito positivo a la derecha. Sin embargo, tenga en cuenta que solo una proporción muy pequeña de individuos en una población quedará fuera del rango de −3 σ a +3 σ. Por ejemplo, con las alturas humanas, muy pocas personas están por encima del nivel de altura de +3 σ. $$

σ {\ Displaystyle \ sigma}

Los percentiles representan el área bajo la curva normal, aumentando de izquierda a derecha. Cada desviación estándar representa un percentil fijo. Por lo tanto, redondeando a dos lugares decimales, −3 σ es el percentil 0,13, −2 σ el percentil 2,28, −1 σ el percentil 15,87, 0 σ el percentil 50 (tanto la media como la mediana de la distribución), + 1 σ el percentil 84,13, +2 σ el percentil 97,72 y +3 σ el percentil 99,87. Esto está relacionado con la regla 68–95–99.7 o la regla tres sigma. Tenga en cuenta que, en teoría, el percentil 0 cae en un infinito negativo y el percentil 100 en un infinito positivo, aunque en muchas aplicaciones prácticas, como los resultados de las pruebas, se aplican los límites inferiores y / o superiores naturales.

Definiciones

No existe una definición estándar de percentil; sin embargo, todas las definiciones arrojan resultados similares cuando el número de observaciones es muy grande y la distribución de probabilidad es continua. En el límite, como el tamaño de la muestra se aproxima a infinito, el 100 p ^ésimo percentil (0 lt; p lt;1) se aproxima a la inversa de la función de distribución acumulativa (CDF) así formado, evaluada en p, como p se aproxima a la CDF. Esto puede verse como una consecuencia del teorema de Glivenko-Cantelli. A continuación se muestran algunos métodos para calcular los percentiles.

Métodos de cálculo

Percentiles interpolados y de rango más cercano, exclusivos e inclusivos para la distribución de 10 puntajes.

Existen muchas fórmulas o algoritmos para una puntuación percentil. Hyndman y Fan identificaron nueve y la mayoría de los programas estadísticos y de hojas de cálculo utilizan uno de los métodos que describen. Los algoritmos devuelven el valor de una puntuación que existe en el conjunto de puntuaciones (métodos de rango más cercano) o interpolan entre las puntuaciones existentes y son exclusivos o inclusivos.

Métodos de rango más cercano (exclusivo / inclusivo)

PC: percentil especificado	0,10	0,25	0,50	0,75	0,90
N: número de puntuaciones	10	10	10	10	10
O: rango ordinal = PC × N	1	2.5	5	7.5	9
Rango:gt; O / ≥O	2/1	3/3	6/5	8/8	9/10
Puntuación en el rango (exc / inc)	2/1	3/3	4/3	5/5	7/5

La figura muestra una distribución de 10 puntajes, ilustra los puntajes percentiles que resultan de estos diferentes algoritmos y sirve como una introducción a los ejemplos que se dan a continuación. Los más simples son los métodos de rango más cercano que devuelven una puntuación de la distribución, aunque en comparación con los métodos de interpolación, los resultados pueden ser un poco toscos. La tabla Métodos de rango más cercano muestra los pasos computacionales para los métodos exclusivos e inclusivos.

Métodos interpolados (exclusivo / inclusivo)

PC: percentil especificado	0,10	0,25	0,50	0,75	0,90
N: número de puntuaciones	10	10	10	10	10
O: PC × (N + 1) / PC × (N − 1) +1	1.1 / 1.9	2,75 / 3,25	5.5 / 5.5	8.25 / 7.75	9,9 / 9,1
LoRank: OR truncado	1/1	2/3	5/5	8/7	9/9
HIRank: O redondeado	2/2	3/4	6/6	9/8	10/10
LoScore: puntuación en LoRank	1/1	2/3	3/3	5/4	5/5
HiScore: puntuación en HiRank	2/2	3/3	4/4	5/5	7/7
Diferencia: HiScore - LoScore	1/1	1/0	1/1	0/1	2/2
Mod: parte fraccionaria de OR	0,1 / 0,9	0,75 / 0,25	0,5 / 0,5	0,25 / 0,75	0,9 / 0,1
Puntuación interpolada (exc / inc) = LoScore + Mod × Diferencia	1.1 / 1.9	2,75 / 3	3,5 / 3,5	5 / 4,75	6,8 / 5,2

Los métodos de interpolación, como su nombre lo indica, pueden devolver una puntuación entre las puntuaciones de la distribución. Los algoritmos utilizados por los programas estadísticos suelen utilizar métodos de interpolación, por ejemplo, las funciones percentile.exl y percentile.inc en Microsoft Excel. La tabla de métodos interpolados muestra los pasos de cálculo.

El método de rango más cercano

Los valores de percentiles de la lista ordenada {15, 20, 35, 40, 50}

Una definición de percentil, que a menudo se da en los textos, es que el percentil P -ésimo de una lista de N valores ordenados (ordenados de menor a mayor) es el valor más pequeño de la lista, de modo que no más del P por ciento de los datos son estrictamente menor que el valor y al menos el P por ciento de los datos es menor o igual que ese valor. Esto se obtiene calculando primero el rango ordinal y luego tomando el valor de la lista ordenada que corresponde a ese rango. El rango ordinal n se calcula usando esta fórmula $$

(0lt;PAG≤100) {\ Displaystyle (0 lt;P \ leq 100)}

$$norte= ⌈ PAG 100 × norte ⌉. {\ Displaystyle n = \ left \ lceil {\ frac {P} {100}} \ times N \ right \ rceil.}

Tenga en cuenta lo siguiente:

• Usar el método de rango más cercano en listas con menos de 100 valores distintos puede resultar en que se use el mismo valor para más de un percentil.
• Un percentil calculado utilizando el método de rango más cercano siempre será un miembro de la lista ordenada original.
• El percentil 100 se define como el valor más grande en la lista ordenada.

Ejemplos resueltos del método de rango más cercano

Ejemplo 1

Considere la lista ordenada {15, 20, 35, 40, 50}, que contiene 5 valores de datos. ¿Cuáles son los percentiles 5, 30, 40, 50 y 100 de esta lista utilizando el método de rango más cercano?

Percentil p	Número en la lista N	Rango ordinal n	Número de la lista ordenada que tiene ese rango	Valor percentil	Notas
Quinto	5	$$ ⌈ 5 100 × 5 ⌉=⌈0,25⌉=1 {\ Displaystyle \ left \ lceil {\ frac {5} {100}} \ times 5 \ right \ rceil = \ lceil 0.25 \ rceil = 1}	el primer número de la lista ordenada, que es 15	15	15 es el elemento más pequeño de la lista; El 0% de los datos es estrictamente menor que 15 y el 20% de los datos es menor o igual que 15.
30	5	$$ ⌈ 30 100 × 5 ⌉=⌈1,5⌉=2 {\ Displaystyle \ left \ lceil {\ frac {30} {100}} \ times 5 \ right \ rceil = \ lceil 1.5 \ rceil = 2}	el segundo número en la lista ordenada, que es 20	20	20 es un elemento de la lista ordenada.
40º	5	$$ ⌈ 40 100 × 5 ⌉=⌈2.0⌉=2 {\ Displaystyle \ left \ lceil {\ frac {40} {100}} \ times 5 \ right \ rceil = \ lceil 2.0 \ rceil = 2}	el segundo número en la lista ordenada, que es 20	20	En este ejemplo, es lo mismo que el percentil 30.
50	5	$$ ⌈ 50 100 × 5 ⌉=⌈2.5⌉=3 {\ Displaystyle \ left \ lceil {\ frac {50} {100}} \ times 5 \ right \ rceil = \ lceil 2.5 \ rceil = 3}	el tercer número en la lista ordenada, que es 35	35	35 es un elemento de la lista ordenada.
100	5	$$ ⌈ 100 100 × 5 ⌉=⌈5⌉=5 {\ Displaystyle \ left \ lceil {\ frac {100} {100}} \ times 5 \ right \ rceil = \ lceil 5 \ rceil = 5}	el último número de la lista ordenada, que es 50	50	El percentil 100 se define como el valor más grande de la lista, que es 50.

Por tanto, los percentiles 5, 30, 40, 50 y 100 de la lista ordenada {15, 20, 35, 40, 50} que utilizan el método de rango más cercano son {15, 20, 20, 35, 50}.

Ejemplo 2

Considere una población ordenada de 10 valores de datos {3, 6, 7, 8, 8, 10, 13, 15, 16, 20}. ¿Cuáles son los percentiles 25, 50, 75 y 100 de esta lista utilizando el método de rango más cercano?

Percentil p	Número en la lista N	Rango ordinal n	Número de la lista ordenada que tiene ese rango	Valor percentil	Notas
25	10	$$ ⌈ 25 100 × 10 ⌉=⌈2.5⌉=3 {\ Displaystyle \ left \ lceil {\ frac {25} {100}} \ times 10 \ right \ rceil = \ lceil 2.5 \ rceil = 3}	el tercer número en la lista ordenada, que es 7	7	7 es un elemento de la lista.
50	10	$$ ⌈ 50 100 × 10 ⌉=⌈5,0⌉=5 {\ Displaystyle \ left \ lceil {\ frac {50} {100}} \ times 10 \ right \ rceil = \ lceil 5.0 \ rceil = 5}	el quinto número en la lista ordenada, que es 8	8	8 es un elemento de la lista.
75º	10	$$ ⌈ 75 100 × 10 ⌉=⌈7.5⌉=8 {\ Displaystyle \ left \ lceil {\ frac {75} {100}} \ times 10 \ right \ rceil = \ lceil 7.5 \ rceil = 8}	el octavo número en la lista ordenada, que es 15	15	15 es un elemento de la lista.
100	10	Último	20, que es el último número de la lista ordenada	20	El percentil 100 se define como el valor más grande de la lista, que es 20.

Por tanto, los percentiles 25, 50, 75 y 100 de la lista ordenada {3, 6, 7, 8, 8, 10, 13, 15, 16, 20} que utilizan el método de rango más cercano son {7, 8, 15, 20 }.

Ejemplo 3

Considere una población ordenada de 11 valores de datos {3, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 20}. ¿Cuáles son los percentiles 25, 50, 75 y 100 de esta lista utilizando el método de rango más cercano?

Percentil p	Número en la lista N	Rango ordinal n	Número de la lista ordenada que tiene ese rango	Valor percentil	Notas
25	11	$$ ⌈ 25 100 × 11 ⌉=⌈2,75⌉=3 {\ Displaystyle \ left \ lceil {\ frac {25} {100}} \ times 11 \ right \ rceil = \ lceil 2.75 \ rceil = 3}	el tercer número en la lista ordenada, que es 7	7	7 es un elemento de la lista.
50	11	$$ ⌈ 50 100 × 11 ⌉=⌈5.50⌉=6 {\ Displaystyle \ left \ lceil {\ frac {50} {100}} \ times 11 \ right \ rceil = \ lceil 5.50 \ rceil = 6}	el sexto número en la lista ordenada, que es 9	9	9 es un elemento de la lista.
75º	11	$$ ⌈ 75 100 × 11 ⌉=⌈8.25⌉=9 {\ Displaystyle \ left \ lceil {\ frac {75} {100}} \ times 11 \ right \ rceil = \ lceil 8.25 \ rceil = 9}	el noveno número en la lista ordenada, que es 15	15	15 es un elemento de la lista.
100	11	Último	20, que es el último número de la lista ordenada	20	El percentil 100 se define como el valor más grande de la lista, que es 20.

Por tanto, los percentiles 25, 50, 75 y 100 de la lista ordenada {3, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 20} que utilizan el método de rango más cercano son {7, 9, 15, 20}.

El método de interpolación lineal entre rangos más cercanos

Una alternativa al redondeo que se utiliza en muchas aplicaciones es utilizar la interpolación lineal entre rangos adyacentes.

Puntos en común entre las variantes de este método

Todas las siguientes variantes tienen lo siguiente en común. Dadas las estadísticas de la orden

$${ v I,I=1,2,...,norte: v I + 1≥ v I,∀I=1,2,...,norte-1}, {\ Displaystyle \ {v_ {i}, i = 1,2, \ ldots, N: v_ {i + 1} \ geq v_ {i}, \ forall i = 1,2, \ ldots, N-1 \},}

buscamos una función de interpolación lineal que pase por los puntos. Esto se logra simplemente $$

( v I,I) {\ Displaystyle (v_ {i}, i)}

$$v(X)= v ⌊ X ⌋+(X modificación 1)( v ⌊ X ⌋ + 1- v ⌊ X ⌋),∀X∈[1,norte]:v(I)= v I , por I=1,2,...,norte, {\ Displaystyle v (x) = v _ {\ lfloor x \ rfloor} + (x {\ bmod {1}}) (v _ {\ lfloor x \ rfloor +1} -v _ {\ lfloor x \ rfloor}), \ para todo x \ en [1, N]: v (i) = v_ {i} {\ text {, para}} i = 1,2, \ ldots, N,}

where usa la función floor para representar la parte integral de x positivo, mientras que usa la función mod para representar su parte fraccionaria (el resto después de la división por 1). (Tenga en cuenta que, aunque en el punto final, no está definido, no tiene por qué ser porque se multiplica por.) Como podemos ver, x es la versión continua del subíndice i, linealmente interpolación v entre nodos adyacentes. $$

⌊X⌋ {\ Displaystyle \ lfloor x \ rfloor} $$X modificación 1 {\ Displaystyle x {\ bmod {1}}} $$X=norte {\ Displaystyle x = N}$$ v ⌊ X ⌋ + 1 {\ Displaystyle v _ {\ lfloor x \ rfloor +1}}$$X modificación 1=0 {\ displaystyle x {\ bmod {1}} = 0}

Hay dos formas en las que difieren los enfoques variantes. El primero está en la relación lineal entre el rango x, el rango porcentual y una constante que es función del tamaño de la muestra N: $$

PAG=100pag {\ Displaystyle P = 100p}

$$X=F(pag,norte)=(norte+ C 1)pag+ C 2. {\ Displaystyle x = f (p, N) = (N + c_ {1}) p + c_ {2}.}

Existe el requisito adicional de que el punto medio del rango, correspondiente a la mediana, ocurra en: $$

(1,norte) {\ Displaystyle (1, N)} $$pag=0,5 {\ Displaystyle p = 0.5}

$$ F ( 0,5 , norte ) = norte + C 1 2 + C 2 = norte + 1 2 ∴ 2 C 2 + C 1 = 1, {\ Displaystyle {\ begin {alineado} f (0.5, N) amp; = {\ frac {N + c_ {1}} {2}} + c_ {2} = {\ frac {N + 1} {2}} \\\ por lo tanto 2c_ {2} + c_ {1} amp; = 1 \ end {alineado}},}

y nuestra función revisada ahora tiene solo un grado de libertad, con este aspecto:

$$X=F(pag,norte)=(norte+1-2C)pag+C. {\ Displaystyle x = f (p, N) = (N + 1-2C) p + C.}

La segunda forma en que las variantes difieren es en la definición de la función cerca de los márgenes del rango de p: debería producir, o ser forzado a producir, un resultado en el rango, lo que puede significar la ausencia de un uno a- una correspondencia en la región más amplia. Un autor ha sugerido una elección de donde ξ es la forma de la distribución de valor extremo generalizada, que es el límite de valor extremo de la distribución muestreada. $$

[0,1] {\ Displaystyle [0,1]}$$F(pag,norte) {\ Displaystyle f (p, N)}$$[1,norte] {\ Displaystyle [1, N]}$$C= 1 2 ( 1 + ξ ) {\ Displaystyle C = {\ tfrac {1} {2}} (1+ \ xi)}

Primera variante, C = 1/2

El resultado de usar cada una de las tres variantes en la lista ordenada {15, 20, 35, 40, 50}

(Fuentes: función "prctile" de Matlab)

$$X=F(pag)= { norte pag + 1 2 , ∀ pag ∈ [ pag 1 , pag norte ] , 1 , ∀ pag ∈ [ 0 , pag 1 ] , norte , ∀ pag ∈ [ pag norte , 1 ] . {\ Displaystyle x = f (p) = {\ begin {cases} Np + {\ frac {1} {2}}, \ forall p \ in \ left [p_ {1}, p_ {N} \ right], \ \ 1, \ forall p \ in \ left [0, p_ {1} \ right], \\ N, \ forall p \ in \ left [p_ {N}, 1 \ right]. \ End {cases}}}

dónde

$$ pag I= 1 norte ( I - 1 2 ),I∈[1,norte]∩ norte {\ Displaystyle p_ {i} = {\ frac {1} {N}} \ left (i - {\ frac {1} {2}} \ right), i \ in [1, N] \ cap \ mathbb { N}}

$$∴ pag 1= 1 2 norte, pag norte= 2 norte - 1 2 norte. {\ Displaystyle \ por lo tanto p_ {1} = {\ frac {1} {2N}}, p_ {N} = {\ frac {2N-1} {2N}}.}

Además, deja

$$ PAG I=100 pag I. {\ Displaystyle P_ {i} = 100p_ {i}.}

La relación inversa está restringida a una región más estrecha:

$$pag= 1 norte ( X - 1 2 ),X∈(1,norte)∩ R. {\ Displaystyle p = {\ frac {1} {N}} \ left (x - {\ frac {1} {2}} \ right), x \ in (1, N) \ cap \ mathbb {R}. }

Ejemplo resuelto de la primera variante

Considere la lista ordenada {15, 20, 35, 40, 50}, que contiene cinco valores de datos. ¿Cuáles son los percentiles 5, 30, 40 y 95 de esta lista utilizando el método de interpolación lineal entre rangos más cercanos? Primero, calculamos el rango porcentual para cada valor de lista.

Valor de lista $$ v I {\ Displaystyle v_ {i}}	Posición de ese valor en la lista ordenada i	Número de valores N	Cálculo del rango porcentual	Rango de porcentaje, $$ PAG I {\ Displaystyle P_ {i}}
15	1	5	$$ 100 5 ( 1 - 1 2 )=10. {\ Displaystyle {\ frac {100} {5}} \ left (1 - {\ frac {1} {2}} \ right) = 10.}	10
20	2	5	$$ 100 5 ( 2 - 1 2 )=30. {\ Displaystyle {\ frac {100} {5}} \ left (2 - {\ frac {1} {2}} \ right) = 30.}	30
35	3	5	$$ 100 5 ( 3 - 1 2 )=50. {\ Displaystyle {\ frac {100} {5}} \ left (3 - {\ frac {1} {2}} \ right) = 50.}	50
40	4	5	$$ 100 5 ( 4 - 1 2 )=70. {\ Displaystyle {\ frac {100} {5}} \ left (4 - {\ frac {1} {2}} \ right) = 70.}	70
50	5	5	$$ 100 5 ( 5 - 1 2 )=90. {\ Displaystyle {\ frac {100} {5}} \ left (5 - {\ frac {1} {2}} \ right) = 90.}	90

Luego tomamos esos rangos porcentuales y calculamos los valores de los percentiles de la siguiente manera:

Rango de porcentaje P	Número de valores N	Es ? $$PAGlt; PAG 1 {\ Displaystyle P lt;P_ {1}}	Es ? $$PAGgt; PAG norte {\ Displaystyle Pgt; P_ {n}}	¿Existe un rango porcentual igual a P ?	¿Qué usamos para el valor percentil?	Valor percentil $$v(F(pag)) {\ Displaystyle v (f (p))}	Notas
5	5	sí	No	No	Vemos eso, que es menor que el primer rango porcentual, así que use el primer valor de la lista, que es 15 $$PAG=5 {\ Displaystyle P = 5}$$ pag 1=10 {\ Displaystyle p_ {1} = 10}$$ v 1 {\ Displaystyle v_ {1}}	15	15 es miembro de la lista ordenada
30	5	No	No	sí	Vemos que es lo mismo que el segundo rango porcentual, así que use el segundo valor de la lista, que es 20 $$PAG=30 {\ Displaystyle P = 30}$$ pag 2=30 {\ Displaystyle p_ {2} = 30}$$ v 2 {\ Displaystyle v_ {2}}	20	20 es miembro de la lista ordenada
40	5	No	No	No	Vemos que está entre el rango porcentual y, por lo que tomamos $$PAG=40 {\ Displaystyle P = 40}$$ pag 2=30 {\ Displaystyle p_ {2} = 30}$$ pag 3=50 {\ Displaystyle p_ {3} = 50} $$k=2,k+1=3,PAG=40, pag k= pag 2=30, v k= v 2=20, v k + 1= v 3=35,norte=5 {\ Displaystyle k = 2, k + 1 = 3, P = 40, p_ {k} = p_ {2} = 30, v_ {k} = v_ {2} = 20, v_ {k + 1} = v_ { 3} = 35, N = 5}. Dados esos valores, podemos calcular v de la siguiente manera: $$v=20+5× 40 - 30 100(35-20)=27,5 {\ Displaystyle v = 20 + 5 \ times {\ frac {40-30} {100}} (35-20) = 27,5}	27,5	27.5 no es miembro de la lista ordenada
95	5	No	sí	No	Vemos eso, que es mayor que el último rango porcentual, así que use el último valor de la lista, que es 50 $$PAG=95 {\ Displaystyle P = 95}$$ pag norte=90 {\ Displaystyle p_ {N} = 90}	50	50 es miembro de la lista ordenada

Entonces, los percentiles 5, 30, 40 y 95 de la lista ordenada {15, 20, 35, 40, 50} que utilizan el método de interpolación lineal entre rangos más cercanos son {15, 20, 27.5, 50}

Segunda variante, C = 1

(Fuente: algunos paquetes de software, incluidos NumPy y Microsoft Excel (hasta la versión 2013 inclusive mediante la función PERCENTILE.INC). Anotado como alternativa por NIST )

$$X=F(pag,norte)=pag(norte-1)+1 , pag∈[0,1] {\ Displaystyle x = f (p, N) = p (N-1) +1 {\ text {,}} p \ in [0,1]}

$$∴pag= X - 1 norte - 1 , X∈[1,norte]. {\ Displaystyle \ por lo tanto p = {\ frac {x-1} {N-1}} {\ text {,}} x \ in [1, N].}

Tenga en cuenta que la relación es uno a uno para, la única de las tres variantes con esta propiedad; de ahí el sufijo "INC", por inclusivo, en la función de Excel. $$

X↔pag {\ displaystyle x \ leftrightarrow p}$$pag∈[0,1] {\ Displaystyle p \ in [0,1]}

Ejemplos resueltos de la segunda variante.

Ejemplo 1

Considere la lista ordenada {15, 20, 35, 40, 50}, que contiene cinco valores de datos. ¿Cuál es el percentil 40 de esta lista usando este método variante?

Primero calculamos el rango del percentil 40:

$$X= 40 100(5-1)+1=2.6 {\ Displaystyle x = {\ frac {40} {100}} (5-1) + 1 = 2.6}

Entonces, x = 2.6, lo que nos da y. Entonces, el valor del percentil 40 es $$

⌊X⌋=2 {\ Displaystyle \ lfloor x \ rfloor = 2}$$X modificación 1=0,6 {\ displaystyle x {\ bmod {1}} = 0,6}

$$v(2.6)= v 2+0,6( v 3- v 2)=20+0,6(35-20)=29. {\ Displaystyle v (2.6) = v_ {2} +0.6 (v_ {3} -v_ {2}) = 20 + 0.6 (35-20) = 29.}

Ejemplo 2

Considere la lista ordenada {1,2,3,4} que contiene cuatro valores de datos. ¿Cuál es el percentil 75 de esta lista utilizando el método de Microsoft Excel?

Primero calculamos el rango del percentil 75 de la siguiente manera:

$$X= 75 100(4-1)+1=3,25 {\ Displaystyle x = {\ frac {75} {100}} (4-1) + 1 = 3,25}

Entonces, x = 3.25, lo que nos da una parte integral de 3 y una parte fraccionaria de 0.25. Entonces, el valor del percentil 75 es

$$v(3,25)= v 3+0,25( v 4- v 3)=3+0,25(4-3)=3.25. {\ Displaystyle v (3,25) = v_ {3} +0,25 (v_ {4} -v_ {3}) = 3 + 0,25 (4-3) = 3,25.}

Tercera variante, C = 0

(La variante principal recomendada por NIST. Adoptada por Microsoft Excel desde 2010 mediante la función PERCENTIL.EXC. Sin embargo, como indica el sufijo "EXC", la versión de Excel excluye ambos extremos del rango de p, es decir, mientras que el " La versión INC ", la segunda variante, no lo hace; de ​​hecho, cualquier número menor que también se excluye y causaría un error). $$

pag∈(0,1) {\ Displaystyle p \ in (0,1)}$$ 1 norte + 1 {\ Displaystyle {\ frac {1} {N + 1}}}

$$X=F(pag,norte)= { 1 ,  pag ∈ [ 0 , 1 norte + 1 ] pag ( norte + 1 ) ,  pag ∈ ( 1 norte + 1 , norte norte + 1 ) norte ,  pag ∈ [ norte norte + 1 , 1 ]. {\ Displaystyle x = f (p, N) = {\ begin {cases} 1 {\ text {,}} p \ in \ left [0, {\ frac {1} {N + 1}} \ right] \ \ p (N + 1) {\ text {,}} p \ in \ left ({\ frac {1} {N + 1}}, {\ frac {N} {N + 1}} \ right) \\ N {\ text {,}} p \ in \ left [{\ frac {N} {N + 1}}, 1 \ right] \ end {cases}}.}

La inversa está restringida a una región más estrecha:

$$pag= X norte + 1 , X∈(0,norte). {\ Displaystyle p = {\ frac {x} {N + 1}} {\ text {,}} x \ in (0, N).}

Ejemplo resuelto de la tercera variante

Considere la lista ordenada {15, 20, 35, 40, 50}, que contiene cinco valores de datos. ¿Cuál es el percentil 40 de esta lista utilizando el método NIST?

Primero calculamos el rango del percentil 40 de la siguiente manera:

$$X= 40 100(5+1)=2.4 {\ Displaystyle x = {\ frac {40} {100}} (5 + 1) = 2,4}

Entonces x = 2.4, lo que nos da y. Entonces, el valor del percentil 40 se calcula como: $$

⌊X⌋=2 {\ Displaystyle \ lfloor x \ rfloor = 2}$$X modificación 1=0.4 {\ displaystyle x {\ bmod {1}} = 0,4}

$$v(2.4)= v 2+0.4( v 3- v 2)=20+0.4(35-20)=26 {\ Displaystyle v (2,4) = v_ {2} +0,4 (v_ {3} -v_ {2}) = 20 + 0,4 (35-20) = 26}

Entonces, el valor del percentil 40 de la lista ordenada {15, 20, 35, 40, 50} usando este método variante es 26.

El método de percentil ponderado

Ver también: mediana ponderada

Además de la función de percentil, también hay un percentil ponderado, donde se cuenta el porcentaje en el peso total en lugar del número total. No existe una función estándar para un percentil ponderado. Un método amplía el enfoque anterior de forma natural.

Suponga que tenemos pesos positivos asociados, respectivamente, con nuestros N valores de muestra ordenados. Dejar $$

w 1, w 2, w 3,..., w norte {\ Displaystyle w_ {1}, w_ {2}, w_ {3}, \ dots, w_ {N}}

$$ S norte= ∑ k = 1 norte w k, {\ Displaystyle S_ {N} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} w_ {k},}

la suma de los pesos. Entonces las fórmulas anteriores se generalizan tomando

$$ pag norte= 1 S norte ( S norte - w norte 2 ) {\ Displaystyle p_ {n} = {\ frac {1} {S_ {N}}} \ left (S_ {n} - {\ frac {w_ {n}} {2}} \ right)}cuando,$$C=1 /2 {\ Displaystyle C = 1/2}

o

$$ pag norte= S norte - C w norte S norte + ( 1 - 2 C ) w norte {\ Displaystyle p_ {n} = {\ frac {S_ {n} -Cw_ {n}} {S_ {N} + (1-2C) w_ {n}}}}para general,$$C {\ Displaystyle C}

y

$$v= v k+ PAG - pag k pag k + 1 - pag k( v k + 1- v k). {\ Displaystyle v = v_ {k} + {\ frac {P-p_ {k}} {p_ {k + 1} -p_ {k}}} (v_ {k + 1} -v_ {k}).}

El percentil ponderado del 50% se conoce como mediana ponderada.

Ver también

• Portal de matemáticas

• Cuantil
• Décimo
• Resumen estadístico
• Rango percentil

Referencias