Fasor

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Para otros usos, consulte Phasor (desambiguación). No confundir con phaser. La "amplitud compleja" vuelve a dirigir aquí. Para conocer el concepto de mecánica cuántica, consulte Amplitud de probabilidad compleja.

Un ejemplo de circuito RLC en serie y diagrama fasorial respectivo para un ω específico. Las flechas en el diagrama superior son fasores, dibujados en un diagrama fasorial (plano complejo sin eje mostrado), que no deben confundirse con las flechas en el diagrama inferior, que son la polaridad de referencia para los voltajes y la dirección de referencia para la corriente.

En física e ingeniería, un fasor (un acrónimo de vector de fase) es un número complejo que representa una función sinusoidal cuya amplitud ( A), frecuencia angular ( ω) y fase inicial ( θ) son invariantes en el tiempo. Está relacionado con un concepto más general llamado representación analítica, que descompone una sinusoide en el producto de una constante compleja y un factor que depende del tiempo y la frecuencia. La constante compleja, que depende de la amplitud y la fase, se conoce como fasor o amplitud compleja y (en textos más antiguos) sinor o incluso complexor.

Una situación común en las redes eléctricas es la existencia de múltiples sinusoides, todas con la misma frecuencia, pero diferentes amplitudes y fases. La única diferencia en sus representaciones analíticas es la amplitud compleja (fasor). Una combinación lineal de tales funciones se puede factorizar en el producto de una combinación lineal de fasores (conocida como aritmética fasorial) y el factor dependiente del tiempo / frecuencia que todos tienen en común.

El origen del término fasor sugiere con razón que un cálculo (diagramático) algo similar al posible para los vectores también es posible para los fasores. Una característica adicional importante de la transformada fasorial es que la diferenciación e integración de señales sinusoidales (que tienen amplitud, período y fase constantes) corresponde a operaciones algebraicas simples en los fasores; la transformada fasorial permite así el análisis (cálculo) del estado estable de CA de los circuitos RLC resolviendo ecuaciones algebraicas simples (aunque con coeficientes complejos) en el dominio fasorial en lugar de resolver ecuaciones diferenciales (con coeficientes reales) en el dominio del tiempo. El creador de la transformada fasorial fue Charles Proteus Steinmetz, que trabajaba en General Electric a finales del siglo XIX.

Pasando por alto algunos detalles matemáticos, la transformada fasorial también puede verse como un caso particular de la transformada de Laplace, que además se puede usar para derivar (simultáneamente) la respuesta transitoria de un circuito RLC. Sin embargo, la transformada de Laplace es matemáticamente más difícil de aplicar y el esfuerzo puede no estar justificado si solo se requiere un análisis de estado estacionario.

Fig 2. Cuando la función se representa en el plano complejo, el vector formado por sus partes imaginaria y real gira alrededor del origen. Su magnitud es A y completa un ciclo cada 2 π / ω segundos. θ es el ángulo que forma con el eje real en t = n • 2 π / ω, para valores enteros de n.

\scriptstyle A\cdot e^{i(\omega t+\theta)}

A⋅ mi I ( ω t + θ )

{\ Displaystyle \ scriptstyle A \ cdot e ^ {i (\ omega t + \ theta)}}

\ scriptstyle A \ cdot e ^ {i (\ omega t + \ theta)}

Contenido

1 notación
2 Definición
3 Aritmética
- 3.1 Multiplicación por una constante (escalar)
- 3.2 Adición
- 3.3 Diferenciación e integración
4 aplicaciones
- 4.1 Leyes de circuito
- 4.2 Ingeniería energética
- 4.3 Telecomunicaciones: modulaciones analógicas
5 Véase también
6 notas al pie
7 referencias
8 Lecturas adicionales
9 Enlaces externos

Notación

Ver también: notación vectorial

La notación fasorial (también conocida como notación de ángulo) es una notación matemática utilizada en ingeniería electrónica e ingeniería eléctrica. puede representar el vector o el número complejo, con, los cuales tienen magnitudes de 1. Se escribe un vector cuyas coordenadas polares son magnitud y ángulo $1\angle \theta$

1∠θ

{\ Displaystyle 1 \ angle \ theta}

{\ Displaystyle 1 \ angle \ theta}

(\cos \theta,\sin \theta)

(porque⁡θ,pecado⁡θ)

{\ Displaystyle (\ cos \ theta, \ sin \ theta)}

(\ cos \ theta, \ sin \ theta)

\cos \theta +j\sin \theta =e^{j\theta }

porque⁡θ+jpecado⁡θ= mi j θ

{\ Displaystyle \ cos \ theta + j \ sin \ theta = e ^ {j \ theta}}

\ cos \ theta + j \ sin \ theta = e ^ {j \ theta}

j^{2}=-1

j 2=-1

{\ Displaystyle j ^ {2} = - 1}

j ^ {2} = - 1

{\ Displaystyle A}

A

\theta

{\ Displaystyle \ theta}

\ theta

A\angle \theta.

A∠θ.

{\ Displaystyle A \ ángulo \ theta.}

{\ Displaystyle A \ ángulo \ theta.}

El ángulo puede expresarse en grados con una conversión implícita de grados a radianes. Por ejemplo, se supondría que es el vector o el número $1\angle 90$

1∠90

{\ Displaystyle 1 \ angle 90}

{\ Displaystyle 1 \ angle 90}

1\angle 90^{\circ },

1∠ 90 ∘,

{\ Displaystyle 1 \ angle 90 ^ {\ circ},}

{\ Displaystyle 1 \ angle 90 ^ {\ circ},}

(0,1)

(0,1)

{\ Displaystyle (0,1)}

(0,1)

e^{j\pi /2}.

mi j π / 2.

{\ Displaystyle e ^ {j \ pi / 2}.}

{\ Displaystyle e ^ {j \ pi / 2}.}

Definición

La fórmula de Euler indica que las sinusoides se pueden representar matemáticamente como la suma de dos funciones de valor complejo :

A\cos(\omega t+\theta)=A\cdot {\frac {e^{i(\omega t+\theta)}+e^{-i(\omega t+\theta)}}{2}},

Aporque⁡(ωt+θ)=A⋅ mi I ( ω t + θ ) + mi - I ( ω t + θ ) 2,

{\ Displaystyle A \ cos (\ omega t + \ theta) = A \ cdot {\ frac {e ^ {i (\ omega t + \ theta)} + e ^ {- i (\ omega t + \ theta)}} {2 }},}

{\ Displaystyle A \ cos (\ omega t + \ theta) = A \ cdot {\ frac {e ^ {i (\ omega t + \ theta)} + e ^ {- i (\ omega t + \ theta)}} {2 }},}

o como parte real de una de las funciones:

A\cos(\omega t+\theta)=\operatorname {Re} \{Ae^{i(\omega t+\theta)}\}=\operatorname {Re} \{Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t}\}.

Aporque⁡(ωt+θ)=Re⁡{A mi I ( ω t + θ )}=Re⁡{A mi I θ⋅ mi I ω t}.

{\ Displaystyle A \ cos (\ omega t + \ theta) = \ operatorname {Re} \ {Ae ^ {i (\ omega t + \ theta)} \} = \ operatorname {Re} \ {Ae ^ {i \ theta} \ cdot e ^ {i \ omega t} \}.}

{\ Displaystyle A \ cos (\ omega t + \ theta) = \ operatorname {Re} \ {Ae ^ {i (\ omega t + \ theta)} \} = \ operatorname {Re} \ {Ae ^ {i \ theta} \ cdot e ^ {i \ omega t} \}.}

La función se llama representación analítica de. La Figura 2 lo representa como un vector giratorio en un plano complejo. A veces es conveniente referirse a la función completa como un fasor, como lo hacemos en la siguiente sección. Pero el término fasor generalmente implica solo el número complejo estático. $Ae^{i(\omega t+\theta)}$

A mi I ( ω t + θ )

{\ Displaystyle Ae ^ {i (\ omega t + \ theta)}}

{\ Displaystyle Ae ^ {i (\ omega t + \ theta)}}

A\cos(\omega t+\theta)

Aporque⁡(ωt+θ)

{\ Displaystyle A \ cos (\ omega t + \ theta)}

{\ Displaystyle A \ cos (\ omega t + \ theta)}

Ae^{i\theta }

A mi I θ

{\ Displaystyle Ae ^ {i \ theta}}

{\ Displaystyle Ae ^ {i \ theta}}

Aritmética

Ver también: Número complejo § Relaciones y operaciones

Multiplicación por una constante (escalar)

La multiplicación del fasor por una constante compleja produce otro fasor. Eso significa que su único efecto es cambiar la amplitud y la fase de la sinusoide subyacente: $Ae^{i\theta }e^{i\omega t}$

A mi I θ mi I ω t

{\ Displaystyle Ae ^ {i \ theta} e ^ {i \ omega t}}

{\ Displaystyle Ae ^ {i \ theta} e ^ {i \ omega t}}

Be^{i\phi }

B mi I ϕ

{\ Displaystyle Be ^ {i \ phi}}

{\ Displaystyle Be ^ {i \ phi}}

{\begin{aligned}\operatorname {Re} \left\{\left(Ae^{i\theta }\cdot Be^{i\phi }\right)\cdot e^{i\omega t}\right\}amp;=\operatorname {Re} \left\{\left(ABe^{i(\theta +\phi)}\right)\cdot e^{i\omega t}\right\}\\amp;=AB\cos(\omega t+(\theta +\phi))\end{aligned}}

Re ⁡ { ( A mi I θ ⋅ B mi I ϕ ) ⋅ mi I ω t } = Re ⁡ { ( A B mi I ( θ + ϕ ) ) ⋅ mi I ω t } = A B porque ⁡ ( ω t + ( θ + ϕ ) )

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ operatorname {Re} \ left \ {\ left (Ae ^ {i \ theta} \ cdot Be ^ {i \ phi} \ right) \ cdot e ^ {i \ omega t} \ right \} amp; = \ operatorname {Re} \ left \ {\ left (ABe ^ {i (\ theta + \ phi)} \ right) \ cdot e ^ {i \ omega t} \ right \} \\ amp; = AB \ cos (\ omega t + (\ theta + \ phi)) \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ operatorname {Re} \ left \ {\ left (Ae ^ {i \ theta} \ cdot Be ^ {i \ phi} \ right) \ cdot e ^ {i \ omega t} \ right \} amp; = \ operatorname {Re} \ left \ {\ left (ABe ^ {i (\ theta + \ phi)} \ right) \ cdot e ^ {i \ omega t} \ right \} \\ amp; = AB \ cos (\ omega t + (\ theta + \ phi)) \ end {alineado}}}

En electrónica, representaría una impedancia, que es independiente del tiempo. En particular, es que no la notación abreviada para otro fasor. Multiplicar una corriente fasorial por una impedancia produce un voltaje fasorial. Pero el producto de dos fasores (o cuadrar un fasor) representaría el producto de dos sinusoides, que es una operación no lineal que produce nuevos componentes de frecuencia. La notación fasorial solo puede representar sistemas con una frecuencia, como un sistema lineal estimulado por una sinusoide. $Be^{i\phi }$

B mi I ϕ

{\ Displaystyle Be ^ {i \ phi}}

{\ Displaystyle Be ^ {i \ phi}}

Adición

La suma de fasores como suma de vectores rotativos

La suma de múltiples fasores produce otro fasor. Eso se debe a que la suma de las sinusoides con la misma frecuencia también es una sinusoide con esa frecuencia:

{\begin{aligned}A_{1}\cos(\omega t+\theta _{1})+A_{2}\cos(\omega t+\theta _{2})amp;=\operatorname {Re} \left\{A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}\right\}+\operatorname {Re} \left\{A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\right\}\\[8pt]amp;=\operatorname {Re} \left\{A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}+A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\right\}\\[8pt]amp;=\operatorname {Re} \left\{\left(A_{1}e^{i\theta _{1}}+A_{2}e^{i\theta _{2}}\right)e^{i\omega t}\right\}\\[8pt]amp;=\operatorname {Re} \left\{\left(A_{3}e^{i\theta _{3}}\right)e^{i\omega t}\right\}\\[8pt]amp;=A_{3}\cos(\omega t+\theta _{3}),\end{aligned}}

A 1 porque ⁡ ( ω t + θ 1 ) + A 2 porque ⁡ ( ω t + θ 2 ) = Re ⁡ { A 1 mi I θ 1 mi I ω t } + Re ⁡ { A 2 mi I θ 2 mi I ω t } = Re ⁡ { A 1 mi I θ 1 mi I ω t + A 2 mi I θ 2 mi I ω t } = Re ⁡ { ( A 1 mi I θ 1 + A 2 mi I θ 2 ) mi I ω t } = Re ⁡ { ( A 3 mi I θ 3 ) mi I ω t } = A 3 porque ⁡ ( ω t + θ 3 ) ,

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} A_ {1} \ cos (\ omega t + \ theta _ {1}) + A_ {2} \ cos (\ omega t + \ theta _ {2}) amp; = \ operatorname {Re } \ left \ {A_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}} e ^ {i \ omega t} \ right \} + \ operatorname {Re} \ left \ {A_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}} e ^ {i \ omega t} \ right \} \\ [8pt] amp; = \ operatorname {Re} \ left \ {A_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}} e ^ {i \ omega t} + A_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}} e ^ {i \ omega t} \ right \} \\ [8pt] amp; = \ operatorname {Re} \ left \ {\ left (A_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}} + A_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}} \ right) e ^ {i \ omega t} \ right \ } \\ [8pt] amp; = \ operatorname {Re} \ left \ {\ left (A_ {3} e ^ {i \ theta _ {3}} \ right) e ^ {i \ omega t} \ right \} \\ [8pt] amp; = A_ {3} \ cos (\ omega t + \ theta _ {3}), \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} A_ {1} \ cos (\ omega t + \ theta _ {1}) + A_ {2} \ cos (\ omega t + \ theta _ {2}) amp; = \ operatorname {Re } \ left \ {A_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}} e ^ {i \ omega t} \ right \} + \ operatorname {Re} \ left \ {A_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}} e ^ {i \ omega t} \ right \} \\ [8pt] amp; = \ operatorname {Re} \ left \ {A_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}} e ^ {i \ omega t} + A_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}} e ^ {i \ omega t} \ right \} \\ [8pt] amp; = \ operatorname {Re} \ left \ {\ left (A_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}} + A_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}} \ right) e ^ {i \ omega t} \ right \ } \\ [8pt] amp; = \ operatorname {Re} \ left \ {\ left (A_ {3} e ^ {i \ theta _ {3}} \ right) e ^ {i \ omega t} \ right \} \\ [8pt] amp; = A_ {3} \ cos (\ omega t + \ theta _ {3}), \ end {alineado}}}

dónde

A_{3}^{2}=(A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2})^{2},

A 3 2=( A 1porque⁡ θ 1+ A 2porque⁡ θ 2 ) 2+( A 1pecado⁡ θ 1+ A 2pecado⁡ θ 2 ) 2,

{\ Displaystyle A_ {3} ^ {2} = (A_ {1} \ cos \ theta _ {1} + A_ {2} \ cos \ theta _ {2}) ^ {2} + (A_ {1} \ sin \ theta _ {1} + A_ {2} \ sin \ theta _ {2}) ^ {2},}

{\ Displaystyle A_ {3} ^ {2} = (A_ {1} \ cos \ theta _ {1} + A_ {2} \ cos \ theta _ {2}) ^ {2} + (A_ {1} \ sin \ theta _ {1} + A_ {2} \ sin \ theta _ {2}) ^ {2},}

y, si tomamos, entonces:

\theta _{3}\in [-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {3\pi }{2}}]

θ 3∈[-

π 2

; 3 π 2

] {\ Displaystyle \ theta _ {3} \ in [- {\ tfrac {\ pi} {2}}; {\ tfrac {3 \ pi} {2}}]}

{\ Displaystyle \ theta _ {3} \ in [- {\ tfrac {\ pi} {2}}; {\ tfrac {3 \ pi} {2}}]}

si, entonces, con la función signum ; $A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}=0$ A 1porque⁡ θ 1+ A 2porque⁡ θ 2=0

{\ Displaystyle A_ {1} \ cos \ theta _ {1} + A_ {2} \ cos \ theta _ {2} = 0} ${\ Displaystyle A_ {1} \ cos \ theta _ {1} + A_ {2} \ cos \ theta _ {2} = 0}$ $\theta _{3}=\operatorname {sgn}(A_{1}\sin(\theta _{1})+A_{2}\sin(\theta _{2}))*{\frac {\pi }{2}}$ θ 3=sgn⁡( A 1pecado⁡( θ 1)+ A 2pecado⁡( θ 2))∗ π 2

{\displaystyle \theta _{3}=\operatorname {sgn}(A_{1}\sin(\theta _{1})+A_{2}\sin(\theta _{2}))*{\frac {\pi }{2}}} ${\ Displaystyle \ theta _ {3} = \ operatorname {sgn} (A_ {1} \ sin (\ theta _ {1}) + A_ {2} \ sin (\ theta _ {2})) * {\ frac {\ pi} {2}}}$ $\operatorname {sgn}$ sgn

{\ Displaystyle \ operatorname {sgn}} $\ operatorname {sgn}$
si, entonces ; $A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}gt;0$ A 1porque⁡ θ 1+ A 2porque⁡ θ 2gt;0

{\ Displaystyle A_ {1} \ cos \ theta _ {1} + A_ {2} \ cos \ theta _ {2}gt; 0} ${\ Displaystyle A_ {1} \ cos \ theta _ {1} + A_ {2} \ cos \ theta _ {2}gt; 0}$ $\theta _{3}=\arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right)$ θ 3=arctan⁡ ( A 1 pecado ⁡ θ 1 + A 2 pecado ⁡ θ 2 A 1 porque ⁡ θ 1 + A 2 porque ⁡ θ 2 )

{\ Displaystyle \ theta _ {3} = \ arctan \ left ({\ frac {A_ {1} \ sin \ theta _ {1} + A_ {2} \ sin \ theta _ {2}} {A_ {1} \ cos \ theta _ {1} + A_ {2} \ cos \ theta _ {2}}} \ right)} $\ theta _ {3} = \ arctan \ left ({\ frac {A_ {1} \ sin \ theta _ {1} + A_ {2} \ sin \ theta _ {2}} {A_ {1} \ cos \ theta _ {1} + A_ {2} \ cos \ theta _ {2}}} \ right)$
si, entonces. $A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}lt;0$ A 1porque⁡ θ 1+ A 2porque⁡ θ 2lt;0

{\ Displaystyle A_ {1} \ cos \ theta _ {1} + A_ {2} \ cos \ theta _ {2} lt;0} ${\ Displaystyle A_ {1} \ cos \ theta _ {1} + A_ {2} \ cos \ theta _ {2} lt;0}$ $\theta _{3}=\pi +\arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right)$ θ 3=π+arctan⁡ ( A 1 pecado ⁡ θ 1 + A 2 pecado ⁡ θ 2 A 1 porque ⁡ θ 1 + A 2 porque ⁡ θ 2 )

{\ Displaystyle \ theta _ {3} = \ pi + \ arctan \ left ({\ frac {A_ {1} \ sin \ theta _ {1} + A_ {2} \ sin \ theta _ {2}} {A_ {1} \ cos \ theta _ {1} + A_ {2} \ cos \ theta _ {2}}} \ right)} ${\ Displaystyle \ theta _ {3} = \ pi + \ arctan \ left ({\ frac {A_ {1} \ sin \ theta _ {1} + A_ {2} \ sin \ theta _ {2}} {A_ {1} \ cos \ theta _ {1} + A_ {2} \ cos \ theta _ {2}}} \ right)}$

o, a través de la ley de los cosenos en el plano complejo (o la identidad trigonométrica para las diferencias de ángulos ):

A_{3}^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2A_{1}A_{2}\cos(180^{\circ }-\Delta \theta)=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\Delta \theta),

A 3 2= A 1 2+ A 2 2-2 A 1 A 2porque⁡( 180 ∘-Δθ)= A 1 2+ A 2 2+2 A 1 A 2porque⁡(Δθ),

{\ Displaystyle A_ {3} ^ {2} = A_ {1} ^ {2} + A_ {2} ^ {2} -2A_ {1} A_ {2} \ cos (180 ^ {\ circ} - \ Delta \ theta) = A_ {1} ^ {2} + A_ {2} ^ {2} + 2A_ {1} A_ {2} \ cos (\ Delta \ theta),}

{\ Displaystyle A_ {3} ^ {2} = A_ {1} ^ {2} + A_ {2} ^ {2} -2A_ {1} A_ {2} \ cos (180 ^ {\ circ} - \ Delta \ theta) = A_ {1} ^ {2} + A_ {2} ^ {2} + 2A_ {1} A_ {2} \ cos (\ Delta \ theta),}

donde. $\Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{2}$

Δθ= θ 1- θ 2

{\ Displaystyle \ Delta \ theta = \ theta _ {1} - \ theta _ {2}}

\ Delta \ theta = \ theta _ {1} - \ theta _ {2}

Un punto clave es que A 3 y θ 3 no dependen de ω o t, que es lo que hace posible la notación fasorial. La dependencia del tiempo y la frecuencia puede suprimirse y reinsertarse en el resultado siempre que las únicas operaciones que se utilicen en el medio sean las que produzcan otro fasor. En notación de ángulos, la operación que se muestra arriba se escribe

A_{1}\angle \theta _{1}+A_{2}\angle \theta _{2}=A_{3}\angle \theta _{3}.

A 1∠ θ 1+ A 2∠ θ 2= A 3∠ θ 3.

{\ Displaystyle A_ {1} \ angle \ theta _ {1} + A_ {2} \ angle \ theta _ {2} = A_ {3} \ angle \ theta _ {3}.}

{\ Displaystyle A_ {1} \ angle \ theta _ {1} + A_ {2} \ angle \ theta _ {2} = A_ {3} \ angle \ theta _ {3}.}

Otra forma de ver la suma es que dos vectores con coordenadas [ A 1 cos ( ωt + θ 1), A 1 sin ( ωt + θ 1)] y [ A 2 cos ( ωt + θ 2), A 2 sin ( ωt + θ 2)] se suman vectorialmente para producir un vector resultante con coordenadas [ A 3 cos ( ωt + θ 3), A 3 sin ( ωt + θ 3)]. (ver animación)

Diagrama fasorial de tres ondas en perfecta interferencia destructiva

En física, este tipo de adición ocurre cuando los sinusoides interfieren entre sí, de manera constructiva o destructiva. El concepto de vector estático proporciona información útil sobre preguntas como esta: " ¿Qué diferencia de fase se requeriría entre tres sinusoides idénticos para una cancelación perfecta? " En este caso, simplemente imagina tomar tres vectores de igual longitud y colocarlos de manera que el último la cabeza coincide con la primera cola. Claramente, la forma que satisface estas condiciones es un triángulo equilátero, por lo que el ángulo entre cada fasor y el siguiente es de 120 ° ( 2 π ⁄ 3 radianes), o un tercio de una longitud de onda λ ⁄ 3. Entonces, la diferencia de fase entre cada onda también debe ser de 120 °, como es el caso de la energía trifásica.

En otras palabras, lo que esto muestra es que

\cos(\omega t)+\cos(\omega t+2\pi /3)+\cos(\omega t-2\pi /3)=0.

porque⁡(ωt)+porque⁡(ωt+2π /3)+porque⁡(ωt-2π /3)=0.

{\ Displaystyle \ cos (\ omega t) + \ cos (\ omega t + 2 \ pi / 3) + \ cos (\ omega t-2 \ pi / 3) = 0.}

{\ Displaystyle \ cos (\ omega t) + \ cos (\ omega t + 2 \ pi / 3) + \ cos (\ omega t-2 \ pi / 3) = 0.}

En el ejemplo de tres ondas, la diferencia de fase entre la primera y la última onda fue de 240 °, mientras que para dos ondas la interferencia destructiva ocurre a 180 °. En el límite de muchas ondas, los fasores deben formar un círculo para la interferencia destructiva, de modo que el primer fasor sea casi paralelo al último. Esto significa que para muchas fuentes, la interferencia destructiva ocurre cuando la primera y la última onda difieren en 360 grados, una longitud de onda completa. Esta es la razón por la que en la difracción de una sola rendija, los mínimos ocurren cuando la luz del borde lejano viaja una longitud de onda completa más lejos que la luz del borde cercano. $\lambda$

{\ Displaystyle \ lambda}

\ lambda

A medida que el vector gira en sentido contrario a las agujas del reloj, su punta en el punto A girará una revolución completa de 360 ° o 2 π radianes que representan un ciclo completo. Si la longitud de su punta móvil se transfiere a diferentes intervalos angulares en el tiempo a un gráfico como se muestra arriba, se dibujaría una forma de onda sinusoidal comenzando por la izquierda con tiempo cero. Cada posición a lo largo del eje horizontal indica el tiempo que ha transcurrido desde el tiempo cero, t = 0. Cuando el vector es horizontal, la punta del vector representa los ángulos en 0 °, 180 ° y 360 °.

Asimismo, cuando la punta del vector es vertical, representa el valor pico positivo, (+ A max) a 90 ° o π ⁄ 2 y el valor pico negativo, (- A max) a 270 ° o 3 π ⁄ 2. Entonces, el eje de tiempo de la forma de onda representa el ángulo en grados o radianes a través del cual se ha movido el fasor. Entonces podemos decir que un fasor representa un voltaje escalado o un valor de corriente de un vector giratorio que está "congelado" en algún momento, ( t) y en nuestro ejemplo anterior, esto está en un ángulo de 30 °.

A veces, cuando analizamos formas de onda alternas, es posible que necesitemos conocer la posición del fasor, que representa la cantidad alterna en algún momento particular en el tiempo, especialmente cuando queremos comparar dos formas de onda diferentes en el mismo eje. Por ejemplo, voltaje y corriente. Hemos asumido en la forma de onda anterior que la forma de onda comienza en el tiempo t = 0 con un ángulo de fase correspondiente en grados o radianes.

Pero si una segunda forma de onda comienza a la izquierda oa la derecha de este punto cero, o si queremos representar en notación fasorial la relación entre las dos formas de onda, entonces tendremos que tener en cuenta esta diferencia de fase, Φ de la forma de onda.. Considere el diagrama a continuación del tutorial de Diferencia de fase anterior.

Diferenciación e integración

La derivada o integral del tiempo de un fasor produce otro fasor. Por ejemplo:

{\begin{aligned}\operatorname {Re} \left\{{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t}\right)\right\}amp;=\operatorname {Re} \left\{Ae^{i\theta }\cdot i\omega e^{i\omega t}\right\}\\amp;=\operatorname {Re} \left\{Ae^{i\theta }\cdot e^{i\pi /2}\omega e^{i\omega t}\right\}\\amp;=\operatorname {Re} \left\{\omega Ae^{i(\theta +\pi /2)}\cdot e^{i\omega t}\right\}\\amp;=\omega A\cdot \cos(\omega t+\theta +\pi /2)\end{aligned}}

Re ⁡ { D D t ( A mi I θ ⋅ mi I ω t ) } = Re ⁡ { A mi I θ ⋅ I ω mi I ω t } = Re ⁡ { A mi I θ ⋅ mi I π / 2 ω mi I ω t } = Re ⁡ { ω A mi I ( θ + π / 2 ) ⋅ mi I ω t } = ω A ⋅ porque ⁡ ( ω t + θ + π / 2 )

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ operatorname {Re} \ left \ {{\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left (Ae ^ {i \ theta} \ cdot e ^ {i \ omega t} \ right) \ right \} amp; = \ operatorname {Re} \ left \ {Ae ^ {i \ theta} \ cdot i \ omega e ^ {i \ omega t} \ right \} \ \ amp; = \ operatorname {Re} \ left \ {Ae ^ {i \ theta} \ cdot e ^ {i \ pi / 2} \ omega e ^ {i \ omega t} \ right \} \\ amp; = \ operatorname {Re} \ left \ {\ omega Ae ^ {i (\ theta + \ pi / 2)} \ cdot e ^ {i \ omega t} \ right \} \\ amp; = \ omega A \ cdot \ cos (\ omega t + \ theta + \ pi / 2) \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ operatorname {Re} \ left \ {{\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left (Ae ^ {i \ theta} \ cdot e ^ {i \ omega t} \ right) \ right \} amp; = \ operatorname {Re} \ left \ {Ae ^ {i \ theta} \ cdot i \ omega e ^ {i \ omega t} \ right \} \ \ amp; = \ operatorname {Re} \ left \ {Ae ^ {i \ theta} \ cdot e ^ {i \ pi / 2} \ omega e ^ {i \ omega t} \ right \} \\ amp; = \ operatorname {Re} \ left \ {\ omega Ae ^ {i (\ theta + \ pi / 2)} \ cdot e ^ {i \ omega t} \ right \} \\ amp; = \ omega A \ cdot \ cos (\ omega t + \ theta + \ pi / 2) \ end {alineado}}}

Por lo tanto, en la representación fasorial, la derivada en el tiempo de una sinusoide se convierte en una simple multiplicación por la constante. $i\omega =(e^{i\pi /2}\cdot \omega)$

Iω=( mi I π / 2⋅ω)

{\ Displaystyle i \ omega = (e ^ {i \ pi / 2} \ cdot \ omega)}

{\ Displaystyle i \ omega = (e ^ {i \ pi / 2} \ cdot \ omega)}

De manera similar, la integración de un fasor corresponde a la multiplicación por. El factor dependiente del tiempo`` no se ve afectado. ${\textstyle {\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}}$

1 I ω= mi - I π / 2 ω

{\ textstyle {\ frac {1} {i \ omega}} = {\ frac {e ^ {- i \ pi / 2}} {\ omega}}}

{\ textstyle {\ frac {1} {i \ omega}} = {\ frac {e ^ {- i \ pi / 2}} {\ omega}}}

e^{i\omega t}

mi I ω t

{\ Displaystyle e ^ {i \ omega t}}

e ^ {i \ omega t}

Cuando resolvemos una ecuación diferencial lineal con aritmética fasorial, simplemente estamos factorizando todos los términos de la ecuación y reinsertándolos en la respuesta. Por ejemplo, considere la siguiente ecuación diferencial para el voltaje a través del capacitor en un circuito RC : $e^{i\omega t}$

mi I ω t

{\ Displaystyle e ^ {i \ omega t}}

e ^ {i \ omega t}

{\frac {\mathrm {d} \,v_{C}(t)}{\mathrm {d} t}}+{\frac {1}{RC}}v_{C}(t)={\frac {1}{RC}}v_{S}(t)

D v C ( t ) D t+ 1 R C v C(t)= 1 R C v S(t)

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \, v_ {C} (t)} {\ mathrm {d} t}} + {\ frac {1} {RC}} v_ {C} (t) = {\ frac {1} {RC}} v_ {S} (t)}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \, v_ {C} (t)} {\ mathrm {d} t}} + {\ frac {1} {RC}} v_ {C} (t) = {\ frac {1} {RC}} v_ {S} (t)}

Cuando la fuente de voltaje en este circuito es sinusoidal:

v_{S}(t)=V_{P}\cdot \cos(\omega t+\theta),

v S(t)= V PAG⋅porque⁡(ωt+θ),

{\ Displaystyle v_ {S} (t) = V_ {P} \ cdot \ cos (\ omega t + \ theta),}

{\ Displaystyle v_ {S} (t) = V_ {P} \ cdot \ cos (\ omega t + \ theta),}

podemos sustituir $v_{S}(t)=\operatorname {Re} \left\{V_{s}\cdot e^{i\omega t}\right\}$

v S(t)=Re⁡ { V s ⋅ mi I ω t }

{\ Displaystyle v_ {S} (t) = \ operatorname {Re} \ left \ {V_ {s} \ cdot e ^ {i \ omega t} \ right \}}

{\ Displaystyle v_ {S} (t) = \ operatorname {Re} \ left \ {V_ {s} \ cdot e ^ {i \ omega t} \ right \}}

v_{C}(t)=\operatorname {Re} \left\{V_{c}\cdot e^{i\omega t}\right\},

v C(t)=Re⁡ { V C ⋅ mi I ω t },

{\ Displaystyle v_ {C} (t) = \ operatorname {Re} \ left \ {V_ {c} \ cdot e ^ {i \ omega t} \ right \},}

{\ Displaystyle v_ {C} (t) = \ operatorname {Re} \ left \ {V_ {c} \ cdot e ^ {i \ omega t} \ right \},}

donde fasor y fasor es la cantidad desconocida por determinar. $V_{s}=V_{P}e^{i\theta }$

V s= V PAG mi I θ

{\ Displaystyle V_ {s} = V_ {P} e ^ {i \ theta}}

{\ Displaystyle V_ {s} = V_ {P} e ^ {i \ theta}}

V_{c}

V C

{\ Displaystyle V_ {c}}

V_ {c}

En la notación fasorial taquigráfica, la ecuación diferencial se reduce a

i\omega V_{c}+{\frac {1}{RC}}V_{c}={\frac {1}{RC}}V_{s}

Iω V C+ 1 R C V C= 1 R C V s

{\ Displaystyle i \ omega V_ {c} + {\ frac {1} {RC}} V_ {c} = {\ frac {1} {RC}} V_ {s}}

i \ omega V_ {c} + {\ frac {1} {RC}} V_ {c} = {\ frac {1} {RC}} V_ {s}

Resolviendo para el voltaje del capacitor fasorial se obtiene

V_{c}={\frac {1}{1+i\omega RC}}\cdot (V_{s})={\frac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}\cdot \left(V_{P}e^{i\theta }\right)

V C= 1 1 + I ω R C⋅( V s)= 1 - I ω R C 1 + ( ω R C ) 2⋅ ( V PAG mi I θ )

{\ Displaystyle V_ {c} = {\ frac {1} {1 + i \ omega RC}} \ cdot (V_ {s}) = {\ frac {1-i \ omega RC} {1 + (\ omega RC) ^ {2}}} \ cdot \ left (V_ {P} e ^ {i \ theta} \ right)}

{\ Displaystyle V_ {c} = {\ frac {1} {1 + i \ omega RC}} \ cdot (V_ {s}) = {\ frac {1-i \ omega RC} {1 + (\ omega RC) ^ {2}}} \ cdot \ left (V_ {P} e ^ {i \ theta} \ right)}

Como hemos visto, la multiplicación del factor representa diferencias de la amplitud y fase de relación con y. $V_{s}$

V s

{\ Displaystyle V_ {s}}

V_s

v_{C}(t)

v C(t)

{\ Displaystyle v_ {C} (t)}

{\ Displaystyle v_ {C} (t)}

V_{P}

V PAG

{\ Displaystyle V_ {P}}

V_P

\theta

{\ Displaystyle \ theta}

\ theta

En forma de coordenadas polares, es

{\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot e^{-i\phi (\omega)},{\text{ where }}\phi (\omega)=\arctan(\omega RC).

1 1 + ( ω R C ) 2⋅ mi - I ϕ ( ω ), dónde ϕ(ω)=arctan⁡(ωRC).

{\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1 + (\ omega RC) ^ {2}}}} \ cdot e ^ {- i \ phi (\ omega)}, {\ text {donde}} \ phi (\ omega) = \ arctan (\ omega RC).}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1 + (\ omega RC) ^ {2}}}} \ cdot e ^ {- i \ phi (\ omega)}, {\ text {donde}} \ phi (\ omega) = \ arctan (\ omega RC).}

Por lo tanto

v_{C}(t)={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot V_{P}\cos(\omega t+\theta -\phi (\omega))

v C(t)= 1 1 + ( ω R C ) 2⋅ V PAGporque⁡(ωt+θ-ϕ(ω))

{\ Displaystyle v_ {C} (t) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 + (\ omega RC) ^ {2}}}} \ cdot V_ {P} \ cos (\ omega t + \ theta - \ phi (\ omega))}

v_ {C} (t) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 + (\ omega RC) ^ {2}}}} \ cdot V_ {P} \ cos (\ omega t + \ theta - \ phi ( \ omega))

Aplicaciones

Leyes de circuito

Con fasores, las técnicas para resolver circuitos de CC se pueden aplicar para resolver circuitos de CA lineales. A continuación se proporciona una lista de las leyes básicas.

Ley de Ohm para resistencias: una resistencia no tiene retardos de tiempo y, por lo tanto, no cambia la fase de una señal, por lo que V = IR sigue siendo válida.
Ley de Ohm para resistencias, inductores y condensadores: V = IZ donde Z es la impedancia compleja.
En un circuito de CA tenemos potencia real ( P) que es una representación de la potencia promedio en el circuito y la potencia reactiva ( Q) que indica que la potencia fluye hacia adelante y hacia atrás. También podemos definir la potencia compleja S = P + jQ y la potencia aparente que es la magnitud de S. La ley de potencia para un circuito de CA expresada en fasores es entonces S = VI ^* (donde I ^* es el conjugado complejo de I, y las magnitudes de los fasores de voltaje y corriente V e I son los valores RMS del voltaje y la corriente, respectivamente).
Las leyes de circuito de Kirchhoff funcionan con fasores en forma compleja

Dado esto, podemos aplicar las técnicas de análisis de circuitos resistivos con fasores para analizar circuitos de CA lineales de frecuencia única que contienen resistencias, condensadores e inductores. Los circuitos de CA lineales de frecuencia múltiple y los circuitos de CA con diferentes formas de onda se pueden analizar para encontrar voltajes y corrientes transformando todas las formas de onda en componentes de onda sinusoidal (usando la serie de Fourier ) con magnitud y fase y luego analizando cada frecuencia por separado, según lo permitido por el teorema de superposición. Este método de solución se aplica solo a entradas que son sinusoidales y para soluciones que están en estado estable, es decir, después de que todos los transitorios se hayan extinguido.

El concepto suele estar involucrado en la representación de una impedancia eléctrica. En este caso, el ángulo de fase es la diferencia de fase entre la tensión aplicada a la impedancia y la corriente impulsada a través de ella.

Ingeniería de la Energía

En el análisis de sistemas de energía de CA trifásicos, generalmente un conjunto de fasores se define como las tres raíces cúbicas complejas de la unidad, representadas gráficamente como magnitudes unitarias en ángulos de 0, 120 y 240 grados. Al tratar las cantidades de circuitos de CA polifásicos como fasores, los circuitos balanceados pueden simplificarse y los circuitos no balanceados pueden tratarse como una combinación algebraica de componentes simétricos. Este enfoque simplifica enormemente el trabajo requerido en los cálculos eléctricos de caída de voltaje, flujo de energía y corrientes de cortocircuito. En el contexto del análisis de sistemas de potencia, el ángulo de fase a menudo se da en grados y la magnitud en valor rms en lugar de la amplitud máxima de la sinusoide.

La técnica de los sincrofasores utiliza instrumentos digitales para medir los fasores que representan los voltajes del sistema de transmisión en puntos extensos de una red de transmisión. Las diferencias entre los fasores indican el flujo de potencia y la estabilidad del sistema.

Telecomunicaciones: modulaciones analógicas

La imagen de cuadro giratorio que usa fasores puede ser una herramienta poderosa para comprender las modulaciones analógicas, como la modulación de amplitud (y sus variantes) y la modulación de frecuencia.

$x(t)=\Re e\left\{Ae^{j\theta }.e^{j2\pi f_{0}t}\right\}$

X(t)=ℜmi { A mi j θ . mi j 2 π F 0 t }

{\ Displaystyle x (t) = \ Re e \ left \ {Ae ^ {j \ theta}.e ^ {j2 \ pi f_ {0} t} \ right \}}

{\ Displaystyle x (t) = \ Re e \ left \ {Ae ^ {j \ theta}.e ^ {j2 \ pi f_ {0} t} \ right \}}

, donde el término entre paréntesis se ve como un vector giratorio en el plano complejo.

El fasor tiene longitud, gira en sentido antihorario a una velocidad de revoluciones por segundo y, en el momento, forma un ángulo de con respecto al eje real positivo.

{\ Displaystyle A}

A

f_{0}

F 0

{\ Displaystyle f_ {0}}

f_ {0}

t=0

t=0

{\ Displaystyle t = 0}

t = 0

\theta

{\ Displaystyle \ theta}

\ theta

La forma de onda puede verse entonces como una proyección de este vector sobre el eje real. $x(t)$

X(t)

{\ Displaystyle x (t)}

x (t)

Modulación AM: diagrama fasorial de un solo tono de frecuencia $f_{m}$ F metro

{\ Displaystyle f_ {m}} $f_ {m}$
Modulación FM: diagrama fasorial de un solo tono de frecuencia $f_{m}$ F metro

{\ Displaystyle f_ {m}} $f_ {m}$

Ver también

Componentes en fase y en cuadratura
Señal analítica, una generalización de fasores para amplitud, fase y frecuencia variables en el tiempo.
- Envolvente compleja
Factor de fase, un fasor de unidad de magnitud

Notas al pie

Referencias

Otras lecturas

Douglas C. Giancoli (1989). Física para científicos e ingenieros. Prentice Hall. ISBN 0-13-666322-2.
Dorf, Richard C.; Tallarida, Ronald J. (15 de julio de 1993). Libro de bolsillo de fórmulas de ingeniería eléctrica (1 ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. págs. 152-155. ISBN 0849344735.

enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con fasores.

Wikiversity tiene una lección sobre álgebra fasorial