Poder de dos

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Para otros usos, consulte Poder de dos (desambiguación).

Visualización de potencias de dos de 1 a 1024 (2 ⁰ a 2 ¹⁰)

Una potencia de dos es un número de la forma 2 ⁿ donde n es un número entero, es decir, el resultado de la exponenciación con el número dos como base y el número entero n como exponente.

En un contexto donde solo se consideran números enteros, n está restringido a valores no negativos, por lo que tenemos 1, 2 y 2 multiplicados por sí mismo una cierta cantidad de veces.

Debido a que dos es la base del sistema numérico binario, las potencias de dos son comunes en la informática. Escrito en binario, una potencia de dos siempre tiene la forma 100... 000 o 0,00... 001, al igual que una potencia de 10 en el sistema decimal.

Contenido

1 Ciencias de la computación
2 primos de Mersenne y Fermat
3 Elementos de Euclides, Libro IX
4 Tabla de valores
5 potencias de 1024
6 Potencias de dos cuyos exponentes son potencias de dos
7 potencias seleccionadas de dos
8 Otras propiedades
9 Véase también
10 referencias

Ciencias de la Computación

Dos elevado a la potencia de n, escrito como 2 ⁿ, es el número de formas en que se pueden organizar los bits de una palabra binaria de longitud n. Una palabra, interpretada como un entero sin signo, puede representar valores de 0 ( 000... 000 2) a 2 ⁿ - 1 ( 111... 111 2) inclusive. Correspondiente firmados valores enteros puede ser positiva, negativa y cero; ver representaciones numéricas firmadas. De cualquier manera, uno menos que una potencia de dos es a menudo el límite superior de un número entero en las computadoras binarias. Como consecuencia, los números de este formulario aparecen con frecuencia en los programas informáticos. Por ejemplo, un videojuego que se ejecuta en un sistema de 8 bits puede limitar la puntuación o la cantidad de elementos que el jugador puede contener a 255, el resultado de usar un byte, que tiene 8 bits de longitud, para almacenar el número, dando un valor máximo de 2 ⁸ - 1 = 255. Por ejemplo, en el Legend of Zelda original, el personaje principal estaba limitado a llevar 255 rupias (la moneda del juego) en un momento dado, y el videojuego Pac-Man tiene una pantalla de muerte en el nivel 256.

Las potencias de dos se utilizan a menudo para medir la memoria de la computadora. Un byte ahora se considera ocho bits (un octeto ), lo que da como resultado la posibilidad de 256 valores (2 ⁸). (El término byte una vez significó (y en algunos casos, todavía significa) una colección de bits, típicamente de 5 a 32 bits, en lugar de solo una unidad de 8 bits.) El prefijo kilo, junto con byte, puede ser, y se ha utilizado tradicionalmente para significar 1.024 (2 ¹⁰). Sin embargo, en general, el término kilo se ha utilizado en el Sistema Internacional de Unidades para significar 1.000 (10 ³). Los prefijos binarios se han estandarizado, como kibi (Ki) que significa 1.024. Casi todos los registros de procesador tienen tamaños que son potencias de dos, siendo muy común 32 o 64.

Los poderes de dos también ocurren en una variedad de otros lugares. Para muchas unidades de disco, al menos uno del tamaño del sector, el número de sectores por pista y el número de pistas por superficie es una potencia de dos. El tamaño del bloque lógico es casi siempre una potencia de dos.

Los números que no son potencias de dos ocurren en varias situaciones, como las resoluciones de video, pero a menudo son la suma o el producto de solo dos o tres potencias de dos, o potencias de dos menos uno. Por ejemplo, 640 = 32 × 20 y 480 = 32 × 15. Dicho de otra manera, tienen patrones de bits bastante regulares.

Primos de Mersenne y Fermat

Un número primo que es uno menos que una potencia de dos se llama primo de Mersenne. Por ejemplo, el número primo 31 es un primo de Mersenne porque es 1 menos que 32 (2 ⁵). De manera similar, un número primo (como 257 ) que es uno más que una potencia positiva de dos se llama primo de Fermat ; el exponente en sí es una potencia de dos. Una fracción que tiene una potencia de dos como denominador se llama racional diádica. Los números que se pueden representar como sumas de enteros positivos consecutivos se denominan números corteses ; son exactamente los números que no son potencias de dos.

Elementos de Euclides, Libro IX

La progresión geométrica 1, 2, 4, 8, 16, 32,... (o, en el sistema numérico binario, 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000,...) es importante en la teoría de números. El Libro IX, Proposición 36 de Elementos demuestra que si la suma de los primeros n términos de esta progresión es un número primo (y por lo tanto es un número primo de Mersenne como se mencionó anteriormente), entonces esta suma multiplicada por el n- ésimo término es un número perfecto. Por ejemplo, la suma de los primeros 5 términos de la serie 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, que es un número primo. La suma 31 multiplicada por 16 (el quinto término de la serie) es igual a 496, que es un número perfecto.

El libro IX, Proposición 35, demuestra que en una serie geométrica si el primer término se resta del segundo y último término de la secuencia, así como el exceso del segundo es para el primero, así es el exceso del último para todos aquellos. antes de eso. (Esta es una reformulación de nuestra fórmula para series geométricas de arriba.) Aplicando esto a la progresión geométrica 31, 62, 124, 248, 496 (que resulta de 1, 2, 4, 8, 16 al multiplicar todos los términos por 31), vemos que 62 menos 31 es 31 como 496 menos 31 es la suma de 31, 62, 124, 248. Por lo tanto, los números 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 y 248 suman a 496 y más, estos son todos los números que dividen a 496. Supongamos que p divide a 496 y no está entre estos números. Suponga que p q es igual a 16 × 31, o 31 es a q como p es a 16. Ahora p no puede dividir 16 o estaría entre los números 1, 2, 4, 8 o 16. Por lo tanto, 31 no puede dividir q. Y desde el 31 no divide q y q medidas 496, el teorema fundamental de la aritmética implica que q debe dividir 16 y estar entre los números 1, 2, 4, 8 o 16. Sea Q sea 4, entonces p debe ser 124, que es imposible ya que por hipótesis p no está entre los números 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 o 248.

Tabla de valores

(secuencia A000079 en la OEIS )

2 ⁰

2 ¹⁶

65,536

2 ³²

4.294.967.296

2 ⁴⁸

281,474,976,710,656

2 ⁶⁴

18,446,744,073,709,551,616

2 ⁸⁰

1.208.925.819.614.629.174.706.176

2 ¹

2 ¹⁷

131.072

2 ³³

8.589.934.592

2 ⁴⁹

562,949,953,421,312

2 ⁶⁵

36,893,488,147,419,103,232

2 ⁸¹

2,417,851,639,229,258,349,412,352

2 ²

2 ¹⁸

262,144

2 ³⁴

17.179.869.184

2 ⁵⁰

1.125.899.906.842.624

2 ⁶⁶

73,786,976,294,838,206,464

2 ⁸²

4.835.703.278.458.516.698.824.704

2 ³

2 ¹⁹

524,288

2 ³⁵

34,359,738,368

2 ⁵¹

2,251,799,813,685,248

2 ⁶⁷

147,573,952,589,676,412,928

2 ⁸³

9,671,406,556,917,033,397,649,408

2 ⁴

dieciséis

2 ²⁰

1.048.576

2 ³⁶

68,719,476,736

2 ⁵²

4.503.599.627.370.496

2 ⁶⁸

295,147,905,179,352,825,856

2 ⁸⁴

19,342,813,113,834,066,795,298,816

2 ⁵

2 ²¹

2,097,152

2 ³⁷

137,438,953,472

2 ⁵³

9,007,199,254,740,992

2 ⁶⁹

590,295,810,358,705,651,712

2 ⁸⁵

38,685,626,227,668,133,590,597,632

2 ⁶

2 ²²

4.194.304

2 ³⁸

274,877,906,944

2 ⁵⁴

18,014,398,509,481,984

2 ⁷⁰

1,180,591,620,717,411,303,424

2 ⁸⁶

77,371,252,455,336,267,181,195,264

2 ⁷

128

2 ²³

8.388.608

2 ³⁹

549,755,813,888

2 ⁵⁵

36,028,797,018,963,968

2 ⁷¹

2,361,183,241,434,822,606,848

2 ⁸⁷

154,742,504,910,672,534,362,390,528

2 ⁸

256

2 ²⁴

16.777.216

2 ⁴⁰

1.099.511.627.776

2 ⁵⁶

72,057,594,037,927,936

2 ⁷²

4.722.366.482.869.645.213.696

2 ⁸⁸

309,485,009,821,345,068,724,781,056

2 ⁹

512

2 ²⁵

33,554,432

2 ⁴¹

2,199,023,255,552

2 ⁵⁷

144,115,188,075,855,872

2 ⁷³

9.444.732.965.739.290.427.392

2 ⁸⁹

618,970,019,642,690,137,449,562,112

2 ¹⁰

1.024

2 ²⁶

67,108,864

2 ⁴²

4.398.046.511.104

2 ⁵⁸

288,230,376,151,711,744

2 ⁷⁴

18,889,465,931,478,580,854,784

2 ⁹⁰

1,237,940,039,285,380,274,899,124,224

2 ¹¹

2.048

2 ²⁷

134,217,728

2 ⁴³

8.796.093.022.208

2 ⁵⁹

576,460,752,303,423,488

2 ⁷⁵

37,778,931,862,957,161,709,568

2 ⁹¹

2,475,880,078,570,760,549,798,248,448

2 ¹²

4.096

2 ²⁸

268,435,456

2 ⁴⁴

17,592,186,044,416

2 ⁶⁰

1,152,921,504,606,846,976

2 ⁷⁶

75,557,863,725,914,323,419,136

2 ⁹²

4.951.760.157.141.521.099.596.496.896

2 ¹³

8.192

2 ²⁹

536,870,912

2 ⁴⁵

35,184,372,088,832

2 ⁶¹

2.305.843.009.213.693.952

2 ⁷⁷

151,115,727,451,828,646,838,272

2 ⁹³

9,903,520,314,283,042,199,192,993,792

2 ¹⁴

16,384

2 ³⁰

1.073.741.824

2 ⁴⁶

70,368,744,177,664

2 ⁶²

4.611.686.018.427.387.904

2 ⁷⁸

302,231,454,903,657,293,676,544

2 ⁹⁴

19.807.040.628.566.084.398.385.987.584

2 ¹⁵

32,768

2 ³¹

2,147,483,648

2 ⁴⁷

140,737,488,355,328

2 ⁶³

9.223.372.036.854.775.808

2 ⁷⁹

604,462,909,807,314,587,353,088

2 ⁹⁵

39,614,081,257,132,168,796,771,975,168

Comenzando con 2, el último dígito es periódico con el período 4, con el ciclo 2–4–8–6–, y comenzando con 4, los dos últimos dígitos son periódicos con el período 20. Estos patrones son generalmente verdaderos para cualquier potencia, con respecto a cualquier base. El patrón continúa donde cada patrón tiene un punto de partida 2 ^k, y el período es el orden multiplicativo de 2 módulo 5 ^k, que es φ (5 ^k) = 4 × 5 ^{k −1} (ver Grupo multiplicativo de números enteros módulo n ).

Potencias de 1024

(secuencia A140300 en la OEIS )

Las primeras potencias de 2 ¹⁰ son ligeramente mayores que las mismas potencias de 1000 (10 ³):

2 ⁰	=	1	= 1000 ⁰	(0% de desviación)
2 ¹⁰	=	1024	≈ 1000 ¹	(Desviación del 2,4%)
2 ²⁰	=	1 048 576	≈ 1000 ²	(Desviación del 4,9%)
2 ³⁰	=	1 073 741 824	≈ 1000 ³	(7,4% de desviación)
2 ⁴⁰	=	1099 511 627 776	≈ 1000 ⁴	(Desviación del 10,0%)
2 ⁵⁰	=	1 125 899 906 842 624	≈ 1000 ⁵	(Desviación del 12,6%)
2 ⁶⁰	=	1152 921 504 606 846 976	≈ 1000 ⁶	(15,3% de desviación)
2 ⁷⁰	=	1180591620717411303424	≈ 1000 ⁷	(Desviación del 18,1%)
2 ⁸⁰	=	1208925819614629174706176	≈ 1000 ⁸	(Desviación del 20,9%)
2 ⁹⁰	=	1237940039285380274899124224	≈ 1000 ⁹	(23,8% de desviación)
2 ¹⁰⁰	=	1267650600228229401496703205376	≈ 1000 ¹⁰	(26,8% de desviación)
2 ¹¹⁰	=	129074214 633706907132624082305024	≈ 1000 ¹¹	(Desviación del 29,8%)
2 ¹²⁰	=	1329227995784915872903807060280344576	≈ 1000 ¹²	(32,9% de desviación)
2 ¹³⁰	=	1361129467683753853853498429727072845824	≈ 1000 ¹³	(Desviación del 36,1%)
2 ¹⁴⁰	=	13393 796 574 908 163 946 345 982 392040 522594 123 776	≈ 1000 ¹⁴	(Desviación del 39,4%)
2 ¹⁵⁰	=	14272476927059598810582859694494951336382746624	≈ 1000 ¹⁵	(42,7% de desviación)

Consulte también: prefijos binarios e IEEE 1541-2002

Potencias de dos cuyos exponentes son potencias de dos

Debido a que los datos (específicamente los números enteros) y las direcciones de los datos se almacenan usando el mismo hardware, y los datos se almacenan en uno o más octetos ( 2 ³), son comunes las exponenciales dobles de dos. Por ejemplo,

norte	2 ⁿ	2 ^{2 ⁿ} (secuencia A001146 en la OEIS )
0	1	2
1	2	4
2	4	dieciséis
3	8	256
4	dieciséis	65,536
5	32	4.294.967.296
6	64	18, 446, 744, 073, 709, 551, 616 (20 dígitos)
7	128	340, 282, 366, 920, 938, 463, 463, 374, 607, 431, 768, 211, 456 (39 dígitos)
8	256	115, 792, 089, 237, 316, 195, 423, 570, 985, 008, 687, 907, 853, 269, 984, 665, 640, 564, 039, 457, 584, 007, 913, 129, 639, 936 (78 dígitos)
9	512	13, 407, 807, 929, 942, 597, 099, 574, 024, 998, 205, 846, 127, 479, 365, 820, 592, 393, 377, 723, 561, 443, 721, 764, 030, 073, 546, 976, 801, 874, 298, 166, 903, 427, 690, 031, 858, 186, 486, 050, 853, 753, 882, 811, 946, 569, 946, 433, 649, 006, 084, 096 (155 dígitos)
10	1.024	179, 769, 313, 486, 231, 590, 772, 930,..., 304, 835, 356, 329, 624, 224, 137, 216 (309 dígitos)
11	2.048	32, 317, 006, 071, 311, 007, 300, 714, 8..., 193, 555, 853, 611, 059, 596, 230, 656 (617 dígitos)
12	4.096	1, 044, 388, 881, 413, 152, 506, 691, 75..., 243, 804, 708, 340, 403, 154, 190, 336 (1234 dígitos)
13	8.192	1, 090, 748, 135, 619, 415, 929, 462, 98..., 997, 186, 505, 665, 475, 715, 792, 896 (2.467 dígitos)
14	16,384	1, 189, 731, 495, 357, 231, 765, 085, 75..., 460, 447, 027, 290, 669, 964, 066, 816 (4.933 dígitos)
15	32,768	1, 415, 461, 031, 044, 954, 789, 001, 55..., 541, 122, 668, 104, 633, 712, 377, 856 (9865 dígitos)
dieciséis	65,536	2, 003, 529, 930, 406, 846, 464, 979, 07..., 339, 445, 587, 895, 905, 719, 156, 736 (19.729 dígitos)
17	131.072	4, 014, 132, 182, 036, 063, 039, 166, 06..., 850, 665, 812, 318, 570, 934, 173, 696 (39.457 dígitos)
18	262,144	16, 113, 257, 174, 857, 604, 736, 195, 7..., 753, 862, 605, 349, 934, 298, 300, 416 (78,914 dígitos)

Varios de estos números representan el número de valores representables utilizando tipos de datos informáticos comunes. Por ejemplo, una palabra de 32 bits que consta de 4 bytes puede representar 2 ³² valores distintos, que pueden considerarse meros patrones de bits, o se interpretan más comúnmente como números sin signo de 0 a 2 ³² - 1, o como el gama de números con signo entre -2 ³¹ y 2 ³¹ - 1. Ver también tetración e hiperoperaciones inferiores. Para obtener más información sobre la representación de números con signo, consulte el complemento a dos.

En relación con los nimbers, estos números a menudo se denominan Fermat 2-potencias.

Los números forman una secuencia de irracionalidad : para cada secuencia de enteros positivos, la serie $2^{2^{n}}$

2 2 norte

{\ Displaystyle 2 ^ {2 ^ {n}}}

2 ^ {2 ^ {n}}

x_{i}

X I

{\ Displaystyle x_ {i}}

x_ {i}

\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{i}}x_{i}}}={\frac {1}{2x_{0}}}+{\frac {1}{4x_{1}}}+{\frac {1}{16x_{2}}}+\cdots

∑ I = 0 ∞ 1 2 2 I X I= 1 2 X 0+ 1 4 X 1+ 1 dieciséis X 2+⋯

{\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {2 ^ {i}} x_ {i}}} = {\ frac {1} {2x_ {0} }} + {\ frac {1} {4x_ {1}}} + {\ frac {1} {16x_ {2}}} + \ cdots}

\ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {2 ^ {2 ^ i} x_i} = \ frac {1} {2x_0} + \ frac {1} {4x_1} + \ frac {1 } {16x_2} + \ cdots

converge en un número irracional. A pesar del rápido crecimiento de esta secuencia, es la secuencia de irracionalidad de crecimiento más lento conocida.

Poderes seleccionados de dos

2 ⁸ = 256: El número de valores representados por los 8 bits en un byte, más específicamente denominado octeto. (El término byte a menudo se define como una colección de bits en lugar de la definición estricta de una cantidad de 8 bits, como lo demuestra el término kilobyte ).
2 ¹⁰ = 1.024: Aproximación binaria del multiplicador de kilo o 1000, que provoca un cambio de prefijo. Por ejemplo: 1024 bytes = 1 kilobyte (o kibibyte ).
2 ¹² = 4.096: El tamaño de página de hardware de un procesador compatible con Intel x86.
2 ¹⁵ = 32,768: El número de valores no negativos para una firma entero de 16 bits.
2 ¹⁶ = 65,536: El número de valores distintos representables en una sola palabra en un procesador de 16 bits, como los procesadores x86 originales.; El rango máximo de una variable entera corta en los lenguajes de programación C # y Java. El rango máximo de una variable de Word o Smallint en el lenguaje de programación Pascal.; El número de relaciones binarias en un conjunto de 4 elementos.
2 ²⁰ = 1.048.576: La aproximación binaria del multiplicador mega, o 1.000.000, que provoca un cambio de prefijo. Por ejemplo: 1.048.576 bytes = 1 megabyte (o mebibyte ).
2 ²⁴ = 16.777.216: La cantidad de colores únicos que se pueden mostrar en truecolor, que utilizan los monitores de computadora comunes.; Este número es el resultado de utilizar el sistema RGB de tres canales, con 8 bits para cada canal, o 24 bits en total.; El tamaño del entero o dirección sin signo más grande en computadoras con registros o buses de datos de 24 bits.
2 ²⁹ = 536,870,912: La mayor potencia de dos con dígitos distintos en base diez.
2 ³⁰ = 1.073.741.824: La aproximación binaria del multiplicador giga-, o 1.000.000.000, que provoca un cambio de prefijo. Por ejemplo, 1.073.741.824 bytes = 1 gigabyte (o gibibyte ).
2 ³¹ = 2,147,483,648: El número de valores no negativos para una firma entero de 32 bits. Dado que el tiempo de Unix se mide en segundos desde el 1 de enero de 1970, se agotará en 2,147,483,647 segundos o 03:14:07 UTC el martes 19 de enero de 2038 en computadoras de 32 bits que ejecutan Unix, un problema conocido como el problema del año 2038.
2 ³² = 4.294.967.296: El número de valores distintos representables en una sola palabra en un procesador de 32 bits. O el número de valores representables en una palabra doble en un procesador de 16 bits, como los procesadores x86 originales.; El rango de una int variable en los lenguajes de programación Java y C #.; El rango de una variable Cardinalo Integeren el lenguaje de programación Pascal.; El rango mínimo de una variable de entero largo en los lenguajes de programación C y C ++.; El número total de direcciones IP bajo IPv4. Aunque este es un número aparentemente grande, el agotamiento de la dirección IPv4 es inminente.; El número de operaciones binarias con dominio igual a cualquier conjunto de 4 elementos, como GF (4).
2 ⁴⁰ = 1,099,511,627,776: La aproximación binaria del multiplicador tera-, o 1.000.000.000.000, que provoca un cambio de prefijo. Por ejemplo, 1.099.511.627.776 bytes = 1 terabyte (o tebibyte ).
2 ⁵⁰ = 1,125,899,906,842,624: La aproximación binaria del multiplicador peta-, o 1,000,000,000,000,000. 1.125.899.906.842.624 bytes = 1 petabyte (o pebibyte ).
2 ⁵³ = 9,007,199,254,740,992: El número hasta el cual todos los valores enteros se pueden representar exactamente en formato de punto flotante de precisión doble IEEE. También la primera potencia de 2 para comenzar con el dígito 9 en decimal.
2 ⁵⁶ = 72,057,594,037,927,936: El número de claves posibles diferentes en el cifrado simétrico DES de 56 bits obsoleto.
2 ⁶⁰ = 1,152,921,504,606,846,976: La aproximación binaria del multiplicador exa-, o 1,000,000,000,000,000,000. 1,152,921,504,606,846,976 bytes = 1 exabyte (o exbibyte ).
2 ⁶³ = 9.223.372.036.854.775.808: El número de valores no negativos para una firma entero de 64 bits.
2 ⁶⁴ = 18,446,744,073,709,551,616: El número de valores distintos representables en una sola palabra en un procesador de 64 bits. O el número de valores representables en una palabra doble en un procesador de 32 bits. O el número de valores representables en una palabra cuádruple en un procesador de 16 bits, como los procesadores x86 originales.; El rango de una variable larga en los lenguajes de programación Java y C #.; El rango de una variable Int64 o QWord en el lenguaje de programación Pascal.; El número total de direcciones IPv6 que generalmente se asignan a una sola LAN o subred.; Uno más que el número de granos de arroz en un tablero de ajedrez, según la vieja historia, donde el primer cuadro contiene un grano de arroz y cada cuadro sucesivo el doble que el cuadro anterior. Por esta razón, el número 2 ⁶⁴ - 1 se conoce como el "número de ajedrez".; 2 ⁶⁴ - 1 es también el número de movimientos necesarios para completar la legendaria versión de 64 discos de la Torre de Hanoi.
2 ⁶⁸ = 295,147,905,179,352,825,856: La primera potencia de 2 que contiene todos los dígitos decimales. (secuencia A137214 en la OEIS )
2 ⁷⁰ = 1,180,591,620,717,411,303,424: La aproximación binaria del multiplicador zetta-, o 1,000,000,000,000,000,000,000. 1,180,591,620,717,411,303,424 bytes = 1 zettabyte (o zebibyte ).
2 ⁸⁰ = 1,208,925,819,614,629,174,706,176: La aproximación binaria del multiplicador yotta-, o 1,000,000,000,000,000,000,000,000. 1.208.925.819.614.629.174.706.176 bytes = 1 yottabyte (o yobibyte ).
2 ⁸⁶ = 77,371,252,455,336,267,181,195,264: Se conjetura que 2 ⁸⁶ es la mayor potencia de dos que no contiene un cero en decimal.
2 ⁹⁶ = 79,228,162,514,264,337,593,543,950,336: La cantidad total de direcciones IPv6 que generalmente se dan a un registro de Internet local. En la notación CIDR, los ISP reciben un / 32, lo que significa que 128-32 = 96 bits están disponibles para direcciones (a diferencia de la designación de red). Por lo tanto, 2 ⁹⁶ direcciones.
2 ¹⁰⁸ = 324,518,553,658,426,726,783,156,020,576,256: La mayor potencia conocida de 2 que no contiene un 9 en decimal. (secuencia A035064 en la OEIS )
2 ¹²⁶ = 85,070,591,730,234,615,865,843,651,857,942,052,864: La mayor potencia conocida de 2 que no contiene un par de dígitos iguales consecutivos. (secuencia A050723 en la OEIS )
2 ¹²⁸ = 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,456: El número total de direcciones IP disponibles en IPv6. También el número de identificadores únicos universalmente distintos (UUID).
2 ¹⁶⁸ = 374,144,419,156,711,147,060,143,317,175,368,453,031,918,731,001,856: La mayor potencia conocida de 2 que no contiene todos los dígitos decimales (falta el dígito 2 en este caso). (secuencia A137214 en la OEIS )
2 ¹⁹² = 6,277,101,735,386,680,763,835,789,423,207,666,416,102,355,444,464,034,512,896: El número total de diferentes claves posibles en el espacio de claves AES de 192 bits (cifrado simétrico).
2 ²²⁹ = 862,718,293,348,820,473,429,344,482,784,628,181,556,388,621,521,298,319,395,315,527,974,912: 2 ²²⁹ es el más grande de energía conocida de dos que contiene el menor número de ceros en relación con su poder. Metin Sariyar conjetura que cada dígito del 0 al 9 tiende a aparecer un número igual de veces en la expansión decimal de la potencia de dos a medida que aumenta la potencia. (secuencia A330024 en la OEIS )
2 ²⁵⁶ = 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,936: El número total de diferentes claves posibles en el espacio de claves AES de 256 bits (cifrado simétrico).
2 ³³³ = 17,498,005,798,264,095,394,980,017,816,940,970,922,825,355,447,145,699,491,406,164,851,279,623,993,595,007,385,788,105,416,184,430,592: La potencia más pequeña de 2 mayor que un googol (10 ¹⁰⁰).
2 ¹⁰²⁴ = 179,769,313,486,231,590,772,931,..., 304,835,356,329,624,224,137,216: El número máximo que puede caber en un formato de punto flotante de doble precisión IEEE y, por lo tanto, el número máximo que pueden representar muchos programas, por ejemplo, Microsoft Excel.
2 ^82,589,933 = 148,894,445,742,041,..., 210,325,217,902,592: Uno más que el número primo más grande conocido a diciembre de 2018. Tiene más de 24 millones de dígitos.

Otras propiedades

Como cada aumento en la dimensión duplica el número de formas, la suma de los coeficientes en cada fila del triángulo de Pascal es una potencia de dos.

La suma de potencias de dos desde cero hasta una potencia dada, inclusive, es 1 menos que la siguiente potencia de dos, mientras que la suma de potencias de dos desde menos-infinito hasta una potencia dada, inclusive, es igual a la siguiente potencia de dos

La suma de todos los coeficientes binomiales de elección n es igual a 2 ⁿ. Considere el conjunto de todos los enteros binarios de n dígitos. Su cardinalidad es 2 ⁿ. También son las sumas de las cardinalidades de ciertos subconjuntos: el subconjunto de enteros sin 1 (que consta de un solo número, escrito como n 0), el subconjunto con un solo 1, el subconjunto con dos 1, y así sucesivamente hasta el subconjunto con n 1s (que consiste en el número escrito como n 1s). Cada uno de estos es a su vez igual al coeficiente binomial indexado por ny el número de 1 que se está considerando (por ejemplo, hay 10 números binarios para elegir 3 con diez dígitos que incluyen exactamente tres 1).

Actualmente, las potencias de dos son los únicos números casi perfectos conocidos.

El número de vértices de un hipercubo n- dimensional es 2 ⁿ. De manera similar, el número de ( n - 1) caras de un politopo cruzado de n dimensiones también es 2 ⁿ y la fórmula para el número de caras x que tiene un politopo cruzado de n dimensiones es $2^{x}{\tbinom {n}{x}}.$

2 X

( norte X )

. {\ Displaystyle 2 ^ {x} {\ tbinom {n} {x}}.}

{\ Displaystyle 2 ^ {x} {\ tbinom {n} {x}}.}

La suma de los recíprocos de las potencias de dos es 1. La suma de los recíprocos de las potencias al cuadrado de dos es 1/3.

La potencia natural más pequeña de dos cuya representación decimal comienza con 7 es

2^{46}=70\ 368\ 744\ 177\ 664.

2 46=70 368 744 177 664.

{\ Displaystyle 2 ^ {46} = 70 \ 368 \ 744 \ 177 \ 664.}

{\ Displaystyle 2 ^ {46} = 70 \ 368 \ 744 \ 177 \ 664.}

Cada potencia de 2 (excluyendo 1) se puede escribir como la suma de cuatro números cuadrados de 24 formas. Las potencias de 2 son los números naturales mayores que 1 que se pueden escribir como la suma de cuatro números cuadrados de la menor cantidad posible.