Esfera unitaria

Algunas 1-esferas. es la norma para el espacio euclidiano que se analiza en la primera sección a continuación.$$‖ X ‖ 2 {\ Displaystyle \ | {\ boldsymbol {x}} \ | _ {2}}

En matemáticas, una esfera unitaria es simplemente una esfera de radio uno alrededor de un centro dado. De manera más general, es el conjunto de puntos de distancia 1 desde un punto central fijo, donde se pueden usar diferentes normas como nociones generales de "distancia". Una bola unitaria es el conjunto cerrado de puntos de distancia menor o igual a 1 desde un punto central fijo. Por lo general, el centro está en el origen del espacio, por lo que se habla de "la bola unitaria" o "la esfera unitaria". Los casos especiales son el círculo unitario y el disco unitario.

La importancia de la esfera unitaria es que cualquier esfera se puede transformar en una esfera unitaria mediante una combinación de traslación y escala. De esta forma las propiedades de las esferas en general se pueden reducir al estudio de la esfera unitaria.

• 1 Unidad de esferas y bolas en el espacio euclidiano
  • 1.1 Fórmulas generales de área y volumen
    • 1.1.1 Recurrencia
    • 1.1.2 Dimensiones fraccionales
    • 1.1.3 Otros radios
• 2 bolas unitarias en espacios vectoriales normativos
• 3 Generalizaciones
  • 3.1 Espacios métricos
  • 3.2 Formas cuadráticas
• 4 Ver también
• 5 Notas y referencias
• 6 enlaces externos

Esferas unitarias y bolas en el espacio euclidiano

En el espacio euclidiano de n dimensiones, la esfera unitaria ( n −1) -dimensional es el conjunto de todos los puntos que satisfacen la ecuación $$

( X 1,..., X norte) {\ Displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}

$$ X 1 2+ X 2 2+⋯+ X norte 2=1. {\ Displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} = 1.}

La bola unitaria abierta n- dimensional es el conjunto de todos los puntos que satisfacen la desigualdad

$$ X 1 2+ X 2 2+⋯+ X norte 2lt;1, {\ Displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} lt;1,}

y la bola unitaria cerrada n- dimensional es el conjunto de todos los puntos que satisfacen la desigualdad

$$ X 1 2+ X 2 2+⋯+ X norte 2≤1. {\ Displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} \ leq 1.}

Fórmulas generales de área y volumen

La ecuación clásica de una esfera unitaria es la del elipsoide con un radio de 1 y sin alteraciones en los ejes x, y o z:

$$F(X,y,z)= X 2+ y 2+ z 2=1 {\ Displaystyle f (x, y, z) = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1}

El volumen de la bola unitaria en el espacio euclidiano n- dimensional y el área de la superficie de la esfera unitaria aparecen en muchas fórmulas de análisis importantes. El volumen de la bola unitaria en n dimensiones, que denotamos V n, se puede expresar haciendo uso de la función gamma. Está

$$ V norte= π norte / 2 Γ ( 1 + norte / 2 )= { π norte / 2 / ( norte / 2 ) ! I F   norte ≥ 0   I s   mi v mi norte ,   π ⌊ norte / 2 ⌋ 2 ⌈ norte / 2 ⌉ / norte ! ! I F   norte ≥ 0   I s   o D D , {\ Displaystyle V_ {n} = {\ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma (1 + n / 2)}} = {\ begin {cases} {\ pi ^ {n / 2}} / {(n / 2)!} amp; \ mathrm {if ~} n \ geq 0 \ mathrm {~ es ~ par,} \\ ~ \\ {\ pi ^ {\ lfloor n / 2 \ rfloor} 2 ^ { \ lceil n / 2 \ rceil}} / {n !!} amp; \ mathrm {if ~} n \ geq 0 \ mathrm {~ es ~ impar,} \ end {cases}}}

donde n !! es el factorial doble.

El hipervolumen de la esfera unitaria ( n −1) -dimensional ( es decir, el "área" del límite de la esfera unitaria n- dimensional), que denotamos A n, se puede expresar como

$$ A norte=norte V norte= norte π norte / 2 Γ ( 1 + norte / 2 )= 2 π norte / 2 Γ ( norte / 2 ), {\ Displaystyle A_ {n} = nV_ {n} = {\ frac {n \ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma (1 + n / 2)}} = {\ frac {2 \ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma (n / 2)}} \,,}

donde la última igualdad es válida solo para n gt; 0. Por ejemplo, es el "área" del límite de la bola unitaria, que simplemente cuenta los dos puntos. Entonces es el "área" del límite del disco unitario, que es la circunferencia del círculo unitario. es el "área" del límite de la bola unitaria, que es el área de la superficie de la esfera unitaria. $$

A 1=2 {\ Displaystyle A_ {1} = 2}$$[-1,1]⊂ R {\ Displaystyle [-1,1] \ subconjunto \ mathbb {R}}$$ A 2=2π {\ Displaystyle A_ {2} = 2 \ pi}$$ A 3=4π {\ Displaystyle A_ {3} = 4 \ pi}$${X∈ R 3: X 1 2+ X 2 2+ X 3 2≤1} {\ Displaystyle \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {3}: x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} \ leq 1 \}}$${X∈ R 3: X 1 2+ X 2 2+ X 3 2=1} {\ Displaystyle \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {3}: x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = 1 \}}

Las superficies y los volúmenes para algunos valores de son los siguientes: $$

norte {\ Displaystyle n}

$$norte {\ Displaystyle n}	$$ A norte {\ Displaystyle A_ {n}} (área de superficie)		$$ V norte {\ Displaystyle V_ {n}} (volumen)
0	$$0(1 /0!) π 0 {\ displaystyle 0 (1/0!) \ pi ^ {0}}	0	$$(1 /0!) π 0 {\ displaystyle (1/0!) \ pi ^ {0}}	1
1	$$1( 2 1 /1!!) π 0 {\ displaystyle 1 (2 ^ {1} / 1 !!) \ pi ^ {0}}	2	$$( 2 1 /1!!) π 0 {\ displaystyle (2 ^ {1} / 1 !!) \ pi ^ {0}}	2
2	$$2(1 /1!) π 1=2π {\ displaystyle 2 (¡1/1!) \ pi ^ {1} = 2 \ pi}	6.283	$$(1 /1!) π 1=π {\ displaystyle (1/1!) \ pi ^ {1} = \ pi}	3.141
3	$$3( 2 2 /3!!) π 1=4π {\ displaystyle 3 (2 ^ {2} / 3 !!) \ pi ^ {1} = 4 \ pi}	12.57	$$( 2 2 /3!!) π 1=(4 /3)π {\ displaystyle (2 ^ {2} / 3 !!) \ pi ^ {1} = (4/3) \ pi}	4.189
4	$$4(1 /2!) π 2=2 π 2 {\ displaystyle 4 (1/2!) \ pi ^ {2} = 2 \ pi ^ {2}}	19,74	$$(1 /2!) π 2=(1 /2) π 2 {\ Displaystyle (1/2!) \ pi ^ {2} = (1/2) \ pi ^ {2}}	4.935
5	$$5( 2 3 /5!!) π 2=(8 /3) π 2 {\ displaystyle 5 (2 ^ {3} / 5 !!) \ pi ^ {2} = (8/3) \ pi ^ {2}}	26,32	$$( 2 3 /5!!) π 2=(8 /15) π 2 {\ displaystyle (2 ^ {3} / 5 !!) \ pi ^ {2} = (15/8) \ pi ^ {2}}	5.264
6	$$6(1 /3!) π 3= π 3 {\ Displaystyle 6 (¡1/3!) \ pi ^ {3} = \ pi ^ {3}}	31.01	$$(1 /3!) π 3=(1 /6) π 3 {\ Displaystyle (¡1/3!) \ pi ^ {3} = (1/6) \ pi ^ {3}}	5.168
7	$$7( 2 4 /7!!) π 3=(dieciséis /15) π 3 {\ displaystyle 7 (2 ^ {4} / 7 !!) \ pi ^ {3} = (16/15) \ pi ^ {3}}	33.07	$$( 2 4 /7!!) π 3=(dieciséis /105) π 3 {\ displaystyle (2 ^ {4} / 7 !!) \ pi ^ {3} = (16/105) \ pi ^ {3}}	4.725
8	$$8(1 /4!) π 4=(1 /3) π 4 {\ Displaystyle 8 (1/4!) \ pi ^ {4} = (1/3) \ pi ^ {4}}	32,47	$$(1 /4!) π 4=(1 /24) π 4 {\ displaystyle (1/4!) \ pi ^ {4} = (1/24) \ pi ^ {4}}	4.059
9	$$9( 2 5 /9!!) π 4=(32 /105) π 4 {\ displaystyle 9 (2 ^ {5} / 9 !!) \ pi ^ {4} = (32/105) \ pi ^ {4}}	29,69	$$( 2 5 /9!!) π 4=(32 /945) π 4 {\ displaystyle (2 ^ {5} / 9 !!) \ pi ^ {4} = (32/945) \ pi ^ {4}}	3.299
10	$$10(1 /5!) π 5=(1 /12) π 5 {\ displaystyle 10 (¡1/5!) \ pi ^ {5} = (1/12) \ pi ^ {5}}	25,50	$$(1 /5!) π 5=(1 /120) π 5 {\ displaystyle (1/5!) \ pi ^ {5} = (1/120) \ pi ^ {5}}	2.550

donde los valores decimales expandidos para n  ≥ 2 se redondean a la precisión mostrada.

Recursividad

Los valores de A n satisfacen la recursividad:

$$ A 0=0 {\ Displaystyle A_ {0} = 0}

$$ A 1=2 {\ Displaystyle A_ {1} = 2}

$$ A 2=2π {\ Displaystyle A_ {2} = 2 \ pi}

$$ A norte= 2 π norte - 2 A norte - 2 {\ Displaystyle A_ {n} = {\ frac {2 \ pi} {n-2}} A_ {n-2}}para.$$nortegt;2 {\ Displaystyle ngt; 2}

Los valores de V n satisfacen la recursividad:

$$ V 0=1 {\ Displaystyle V_ {0} = 1}

$$ V 1=2 {\ Displaystyle V_ {1} = 2}

$$ V norte= 2 π norte V norte - 2 {\ Displaystyle V_ {n} = {\ frac {2 \ pi} {n}} V_ {n-2}}para.$$nortegt;1 {\ Displaystyle ngt; 1}

Dimensiones fraccionales

Artículo principal: medida de Hausdorff

Las fórmulas para A n y V n se pueden calcular para cualquier número real n  ≥ 0, y hay circunstancias en las que es apropiado buscar el área de la esfera o el volumen de la bola cuando n no es un número entero no negativo.

Esto muestra el hipervolumen de una esfera ( x –1) -dimensional ( es decir, el "área" de la superficie de la bola de la unidad x -dimensional) como una función continua de  x. Esto muestra el volumen de una pelota en x dimensiones como una función continua de  x.

Otros radios

Artículo principal: Esfera

El área de la superficie de una esfera ( n –1) -dimensional con radio r es A n  r ^{n −1} y el volumen de una bola n- dimensional con radio r es V n  r ⁿ. Por ejemplo, el área es A = 4 π  r ² para la superficie de la bola tridimensional de radio r. El volumen es V = 4 π  r ³ /3 para la bola tridimensional de radio  r.

Bolas unitarias en espacios vectoriales normativos

Más precisamente, la bola unitaria abierta en un espacio vectorial normado, con la norma, es $$

V {\ Displaystyle V} $$‖⋅‖ {\ Displaystyle \ | \ cdot \ |}

$${X∈V:‖X‖lt;1} {\ Displaystyle \ {x \ en V: \ | x \ | lt;1 \}}

Es el interior de la bola unitaria cerrada de ( V, || ||):

$${X∈V:‖X‖≤1} {\ Displaystyle \ {x \ en V: \ | x \ | \ leq 1 \}}

El último es la unión disjunta del primero y su frontera común, la esfera unitaria de ( V, || ||):

$${X∈V:‖X‖=1} {\ Displaystyle \ {x \ en V: \ | x \ | = 1 \}}

La "forma" de la bola unitaria depende completamente de la norma elegida; bien puede tener 'esquinas', y por ejemplo puede verse como [−1,1] ⁿ, en el caso de la norma máxima en R ⁿ. Se obtiene una bola naturalmente redonda como bola unitaria perteneciente a la norma espacial habitual de Hilbert, basada en el caso de dimensión finita en la distancia euclidiana ; su límite es lo que normalmente se entiende por esfera unitaria.

Deje Definir la costumbre -norma para p ≥ 1 como: $$

X=( X 1,... X norte)∈ R norte. {\ Displaystyle x = (x_ {1},... x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}.}$$ ℓ pag {\ Displaystyle \ ell _ {p}}

$$‖X ‖ pag=( ∑ k = 1 norte | X k | pag ) 1 / pag {\ Displaystyle \ | x \ | _ {p} = (\ sum _ {k = 1} ^ {n} | x_ {k} | ^ {p}) ^ {1 / p}}

Entonces es la norma espacial habitual de Hilbert. se llama la norma de Hamming, o -norm. La condición p ≥ 1 es necesaria en la definición de la norma, ya que la bola unitaria en cualquier espacio normado debe ser convexa como consecuencia de la desigualdad del triángulo. Dejar que denotan el max-norma o -norma de x. $$

‖X ‖ 2 {\ Displaystyle \ | x \ | _ {2}} $$‖X ‖ 1 {\ Displaystyle \ | x \ | _ {1}}$$ ℓ 1 {\ Displaystyle \ ell _ {1}}$$ ℓ pag {\ Displaystyle \ ell _ {p}} $$‖X ‖ ∞ {\ Displaystyle \ | x \ | _ {\ infty}}$$ ℓ ∞ {\ Displaystyle \ ell _ {\ infty}}

Tenga en cuenta que para las circunferencias de las bolas unitarias bidimensionales (n = 2), tenemos: $$

C pag {\ Displaystyle C_ {p}}

$$ C 1=4 2 {\ Displaystyle C_ {1} = 4 {\ sqrt {2}}} es el valor mínimo.

$$ C 2=2π. {\ Displaystyle C_ {2} = 2 \ pi \,.}

$$ C ∞=8 {\ Displaystyle C _ {\ infty} = 8} es el valor máximo.

Generalizaciones

Espacios métricos

Las tres definiciones anteriores se pueden generalizar directamente a un espacio métrico, con respecto a un origen elegido. Sin embargo, las consideraciones topológicas (interior, cierre, borde) no necesitan aplicarse de la misma manera (por ejemplo, en espacios ultramétricos, los tres son conjuntos abiertos y cerrados simultáneamente), y la esfera unitaria puede incluso estar vacía en algunos espacios métricos.

Formas cuadráticas

Si V es un espacio lineal con una verdadera forma cuadrática F: V → R, entonces {p ∈ V  : F (p) = 1} puede ser llamado la esfera unidad o unidad cuasi-esfera de V. Por ejemplo, la forma cuadrática, cuando se establece igual a uno, produce la hipérbola unitaria que desempeña el papel del "círculo unitario" en el plano de los números complejos divididos. De manera similar, la forma cuadrática x ² produce un par de líneas para la esfera unitaria en el plano numérico dual. $$

X 2- y 2 {\ Displaystyle x ^ {2} -y ^ {2}}

Ver también

• bola
• hiperesfera
• esfera
• superelipse
• circulo unitario
• unidad de disco
• paquete de esfera unitaria
• unidad cuadrada

notas y referencias

• Mahlon M. Day (1958) Normed Linear Spaces, página 24, Springer-Verlag.
• Deza, E.; Deza, M. (2006), Diccionario de distancias, Elsevier, ISBN   0-444-52087-2. Revisado en Newsletter of the European Mathematical Society 64 (junio de 2007), p. 57. Este libro está organizado como una lista de distancias de muchos tipos, cada una con una breve descripción.

enlaces externos

Busque la esfera de la unidad en Wikcionario, el diccionario libre.

• Weisstein, Eric W. "Unidad de esfera". MathWorld.