Volumen de una bola n

Gráficos de volúmenes  ( V) y áreas de superficie  ( S) de n bolas de radio 1. En el archivo SVG, coloque el cursor sobre un punto para resaltarlo y su valor.

En geometría, una bola es una región en el espacio que comprende todos los puntos dentro de una distancia fija desde un punto dado; es decir, es la región encerrada por una esfera o hiperesfera. Una bola n es una bola en el espacio euclidiano n- dimensional. El volumen de una unidad n -ball es una expresión importante que aparece en las fórmulas a lo largo de las matemáticas; generaliza la noción de volumen encerrado por una esfera en un espacio tridimensional.

• 1 fórmulas
  • 1.1 El volumen
  • 1.2 Formas alternativas
  • 1.3 Relaciones de recurrencia
  • 1.4 Dimensiones reducidas
  • 1.5 Altas dimensiones
  • 1.6 Relación con la superficie
  • 1.7 Dimensión que maximiza el volumen de una bola de radio fijo
• 2 pruebas
  • 2.1 El volumen es proporcional a la n- ésima potencia del radio
  • 2.2 La fórmula de recursividad de dos dimensiones
  • 2.3 La fórmula de recursividad de una dimensión
  • 2.4 Integración directa en coordenadas esféricas
  • 2.5 integrales gaussianas
  • 2.6 Prueba geométrica
• 3 bolas en normas L ^p
  • 3.1 Relación con la superficie
  • 3.2 Generalizaciones
• 4 Dimensiones que no son números enteros no negativos
• 5 Véase también
• 6 referencias
• 7 Enlaces externos

Fórmulas

El volumen

El volumen n- dimensional de una bola euclidiana de radio R en el espacio euclidiano n- dimensional es:

$$ V norte(R)= π norte / 2 Γ ⁡ ( norte 2 + 1 ) R norte, {\ Displaystyle V_ {n} (R) = {\ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {n} {2}} + 1 \ right)} } R ^ {n},}

donde Γ es Euler 's función gamma. La función gamma extiende la función factorial a argumentos que no son enteros. ¡Satisface Γ ( n) = ( n - 1)! si n es un número entero positivo y Γ ( n + 1/2) = ( n -1/2) ( N -3/2) … 1/2 Π ^1/2 si n es un número entero no negativo.

Formas alternativas

El uso de fórmulas explícitas para valores particulares de la función gamma en los números enteros y medios enteros da fórmulas para el volumen de una bola euclidiana que no requieren una evaluación de la función gamma. En cambio, pueden expresarse en términos de factorial y doble factorial. El factorial doble se define como 0 !! = 1 y

$$norte!!= ∏ k = 0 ⌈ norte 2 ⌉ - 1(norte-2k)=norte(norte-2)(norte-4)⋯(2-(norte modificación 2)) {\ Displaystyle n !! = \ prod _ {k = 0} ^ {\ left \ lceil {\ frac {n} {2}} \ right \ rceil -1} (n-2k) = n (n-2) (n-4) \ cdots (2- (n {\ bmod {2}}))},

para enteros n gt; 0, donde el último factor`` es 2 si n es par y 1 si n es impar. $$

2-(norte modificación 2) {\ Displaystyle 2- (n {\ bmod {2}})}

Una fórmula para números pares no negativos n en términos del factorial es

$$ V 2 k(R)= π k k ! R 2 k {\ Displaystyle V_ {2k} (R) = {\ frac {\ pi ^ {k}} {k!}} R ^ {2k}}.

Una fórmula para todos los enteros no negativos n en términos del factorial doble es

$$ V norte(R)= ( π / 2 ) ⌊ norte 2 ⌋ norte ! !(2R ) norte {\ Displaystyle V_ {n} (R) = {\ frac {(\ pi / 2) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor}} {n !!}} ( 2R) ^ {n}}.

En lugar de expresar el volumen V de la pelota en términos de su radio R, las fórmulas se pueden invertir para expresar el radio en función del volumen:

$$ R norte ( V ) = Γ ⁡ ( norte 2 + 1 ) 1 / norte π V 1 / norte , R 2 k ( V ) = ( k ! V ) 1 / ( 2 k ) π , R norte ( V ) = ( norte ! ! V 2 norte ( π / 2 ) ⌊ norte / 2 ⌋ ) 1 / norte . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} R_ {n} (V) amp; = {\ frac {\ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {n} {2}} + 1 \ right) ^ {1 / n}} {\ sqrt {\ pi}}} V ^ {1 / n}, \\ R_ {2k} (V) amp; = {\ frac {(k! V) ^ {1 / (2k)}} { \ sqrt {\ pi}}}, \\ R_ {n} (V) amp; = \ left ({\ frac {n !! V} {2 ^ {n} (\ pi / 2) ^ {\ lfloor n / 2 \ rfloor}}} \ right) ^ {1 / n}. \ End {alineado}}}

Relaciones de recurrencia

El volumen V de una bola n de radio R se puede expresar de forma recursiva en términos del volumen de una bola ( n - 2), mediante la relación de recurrencia de dos términos:

$$ V 0 ( R ) = 1 V 1 ( R ) = 2 R V norte ( R ) = 2 π norte R 2 V norte - 2 ( R ) . {\ Displaystyle {\ begin {align} V_ {0} (R) amp; = 1 \\ [2mu] V_ {1} (R) amp; = 2R \\ V_ {n} (R) amp; = {\ frac {2 \ pi} {n}} R ^ {2} V_ {n-2} (R). \ end {alineado}}}

Esto también se puede reescribir como una relación de recurrencia de un término:

$$ V 0 ( R ) = 1 V norte ( R ) = Γ ( norte 2 + 1 2 ) π Γ ( norte 2 + 1 ) R V norte - 1 ( R ) . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} V_ {0} (R) amp; = 1 \\ V_ {n} (R) amp; = {\ frac {\ Gamma {\ bigl (} {\ tfrac {n} {2}) } + {\ frac {1} {2}} {\ bigr)} {\ sqrt {\ pi}}} {\ Gamma {\ bigl (} {\ frac {n} {2}} + 1 {\ bigr) }}} R \, V_ {n-1} (R). \ End {alineado}}}

Invirtiendo lo anterior, el radio de una n- bola de volumen V se puede expresar de forma recursiva en términos del radio de una ( n - 2) - o ( n - 1) - bola:

$$ R norte ( V ) = ( 1 2 norte ) 1 / norte ( Γ ( norte 2 ) V ) - 2 / ( norte ( norte - 2 ) ) R norte - 2 ( V ) , R norte ( V ) = Γ ( norte 2 + 1 ) 1 / norte Γ ( norte 2 + 1 2 ) 1 / ( norte - 1 ) V - 1 / ( norte ( norte - 1 ) ) R norte - 1 ( V ) . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} R_ {n} (V) amp; = {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}} n {\ bigr)} ^ {1 / n} \ left (\ Gamma {\ bigl (} {\ tfrac {n} {2}} {\ bigr)} V \ right) ^ {- 2 / (n (n-2))} R_ {n-2} (V), \\ R_ {n} (V) amp; = {\ frac {\ Gamma {\ bigl (} {\ frac {n} {2}} + 1 {\ bigr)} ^ {1 / n}} {\ Gamma {\ bigl (} {\ frac {n} {2}} + {\ frac {1} {2}} {\ bigr)} ^ {1 / (n-1)}}} V ^ {- 1 / (n (n -1))} R_ {n-1} (V). \ End {alineado}}}

Dimensiones reducidas

En dimensiones reducidas, estas fórmulas de volumen y radio se simplifican a lo siguiente.

Dimensión	Volumen de una bola de radio R	Radio de una bola de volumen V
0	$$1 {\ Displaystyle 1}	(todas las bolas 0 tienen volumen 1)
1	$$2R {\ Displaystyle 2R}	$$ V 2=0,5×V {\ Displaystyle {\ frac {V} {2}} = 0.5 \ times V}
2	$$π R 2≈3.142× R 2 {\ Displaystyle \ pi R ^ {2} \ aproximadamente 3.142 \ times R ^ {2}}	$$ V 1 / 2 π≈0.564× V 1 2 {\ Displaystyle {\ frac {V ^ {1/2}} {\ sqrt {\ pi}}} \ aproximadamente 0,564 \ times V ^ {\ frac {1} {2}}}
3	$$ 4 π 3 R 3≈4.189× R 3 {\ Displaystyle {\ frac {4 \ pi} {3}} R ^ {3} \ aproximadamente 4,189 \ veces R ^ {3}}	$$ ( 3 V 4 π ) 1 / 3≈0,620× V 1 / 3 {\ Displaystyle \ left ({\ frac {3V} {4 \ pi}} \ right) ^ {1/3} \ aproximadamente 0,620 \ times V ^ {1/3}}
4	$$ π 2 2 R 4≈4.935× R 4 {\ Displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {2}} R ^ {4} \ aproximadamente 4,935 \ veces R ^ {4}}	$$ ( 2 V ) 1 / 4 π≈0,671× V 1 / 4 {\ Displaystyle {\ frac {(2V) ^ {1/4}} {\ sqrt {\ pi}}} \ aproximadamente 0,671 \ times V ^ {1/4}}
5	$$ 8 π 2 15 R 5≈5.264× R 5 {\ Displaystyle {\ frac {8 \ pi ^ {2}} {15}} R ^ {5} \ aproximadamente 5,264 \ veces R ^ {5}}	$$ ( 15 V 8 π 2 ) 1 / 5≈0,717× V 1 / 5 {\ Displaystyle \ left ({\ frac {15V} {8 \ pi ^ {2}}} \ right) ^ {1/5} \ aproximadamente 0,717 \ times V ^ {1/5}}
6	$$ π 3 6 R 6≈5.168× R 6 {\ Displaystyle {\ frac {\ pi ^ {3}} {6}} R ^ {6} \ aproximadamente 5,168 \ veces R ^ {6}}	$$ ( 6 V ) 1 / 6 π≈0,761× V 1 / 6 {\ Displaystyle {\ frac {(6V) ^ {1/6}} {\ sqrt {\ pi}}} \ aproximadamente 0,761 \ times V ^ {1/6}}
7	$$ dieciséis π 3 105 R 7≈4.725× R 7 {\ Displaystyle {\ frac {16 \ pi ^ {3}} {105}} R ^ {7} \ aproximadamente 4,725 \ veces R ^ {7}}	$$ ( 105 V dieciséis π 3 ) 1 / 7≈0,801× V 1 / 7 {\ Displaystyle \ left ({\ frac {105V} {16 \ pi ^ {3}}} \ right) ^ {1/7} \ aproximadamente 0,801 \ times V ^ {1/7}}
8	$$ π 4 24 R 8≈4.059× R 8 {\ Displaystyle {\ frac {\ pi ^ {4}} {24}} R ^ {8} \ aproximadamente 4.059 \ times R ^ {8}}	$$ ( 24 V ) 1 / 8 π≈0,839× V 1 / 8 {\ Displaystyle {\ frac {(24V) ^ {1/8}} {\ sqrt {\ pi}}} \ aproximadamente 0,839 \ times V ^ {1/8}}
9	$$ 32 π 4 945 R 9≈3.299× R 9 {\ displaystyle {\ frac {32 \ pi ^ {4}} {945}} R ^ {9} \ aproximadamente 3,299 \ veces R ^ {9}}	$$ ( 945 V 32 π 4 ) 1 / 9≈0,876× V 1 / 9 {\ Displaystyle \ left ({\ frac {945V} {32 \ pi ^ {4}}} \ right) ^ {1/9} \ aproximadamente 0,876 \ times V ^ {1/9}}
10	$$ π 5 120 R 10≈2.550× R 10 {\ Displaystyle {\ frac {\ pi ^ {5}} {120}} R ^ {10} \ aproximadamente 2.550 \ times R ^ {10}}	$$ ( 120 V ) 1 / 10 π≈0,911× V 1 / 10 {\ Displaystyle {\ frac {(120V) ^ {1/10}} {\ sqrt {\ pi}}} \ aproximadamente 0.911 \ times V ^ {1/10}}
11	$$ 64 π 5 10395 R 11≈1.884× R 11 {\ displaystyle {\ frac {64 \ pi ^ {5}} {10395}} R ^ {11} \ aproximadamente 1,884 \ veces R ^ {11}}	$$ ( 10395 V 64 π 5 ) 1 / 11≈0,944× V 1 / 11 {\ Displaystyle \ left ({\ frac {10395V} {64 \ pi ^ {5}}} \ right) ^ {1/11} \ aproximadamente 0,944 \ times V ^ {1/11}}
12	$$ π 6 720 R 12≈1.335× R 12 {\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {6}} {720}} R ^ {12} \ aproximadamente 1,335 \ veces R ^ {12}}	$$ ( 720 V ) 1 / 12 π≈0,976× V 1 / 12 {\ Displaystyle {\ frac {(720V) ^ {1/12}} {\ sqrt {\ pi}}} \ aproximadamente 0.976 \ times V ^ {1/12}}
13	$$ 128 π 6 135135 R 13≈0,911× R 13 {\ displaystyle {\ frac {128 \ pi ^ {6}} {135135}} R ^ {13} \ aproximadamente 0,911 \ veces R ^ {13}}	$$ ( 135135 V 128 π 6 ) 1 / 13≈1.007× V 1 / 13 {\ Displaystyle \ left ({\ frac {135135V} {128 \ pi ^ {6}}} \ right) ^ {1/13} \ aproximadamente 1,007 \ times V ^ {1/13}}
14	$$ π 7 5040 R 14≈0.599× R 14 {\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {7}} {5040}} R ^ {14} \ aproximadamente 0,599 \ veces R ^ {14}}	$$ ( 5040 V ) 1 / 14 π≈1.037× V 1 / 14 {\ displaystyle {\ frac {(5040V) ^ {1/14}} {\ sqrt {\ pi}}} \ aproximadamente 1.037 \ times V ^ {1/14}}
15	$$ 256 π 7 2027025 R 15≈0.381× R 15 {\ displaystyle {\ frac {256 \ pi ^ {7}} {2027025}} R ^ {15} \ aproximadamente 0,381 \ veces R ^ {15}}	$$ ( 2027025 V 256 π 7 ) 1 / 15≈1.066× V 1 / 15 {\ Displaystyle \ left ({\ frac {2027025V} {256 \ pi ^ {7}}} \ right) ^ {1/15} \ aproximadamente 1.066 \ times V ^ {1/15}}
norte	V n ( R)	R n ( V)

Altas dimensiones

La fórmula de Stirling para la función gamma se puede utilizar para aproximar el volumen cuando el número de dimensiones es alto.

$$ V norte(R)∼ 1 norte π ( 2 π mi norte ) norte / 2 R norte. {\ Displaystyle V_ {n} (R) \ sim {\ frac {1} {\ sqrt {n \ pi}}} \ left ({\ frac {2 \ pi e} {n}} \ right) ^ {n / 2} R ^ {n}.}

$$ R norte(V)∼(πnorte ) 1 / ( 2 norte ) norte 2 π mi V 1 / norte. {\ Displaystyle R_ {n} (V) \ sim (\ pi n) ^ {1 / (2n)} {\ sqrt {\ frac {n} {2 \ pi e}}} V ^ {1 / n}. }

En particular, para cualquier valor fijo de R, el volumen tiende a un valor límite de 0 cuando n llega al infinito.

Relación con la superficie

Sea A n ( R) el área de la superficie de la n -esfera de radio R en el espacio euclidiano ( n + 1) dimensional. La n- esfera es el límite de la ( n + 1) -bola de radio R, y el área de la superficie y el volumen están relacionados por:

$$ A norte(R)= D D R V norte + 1(R)= norte + 1 R V norte + 1(R). {\ Displaystyle A_ {n} (R) = {\ frac {d} {dR}} V_ {n + 1} (R) = {\ frac {n + 1} {R}} V_ {n + 1} ( R).}

Por lo tanto, A n ( R) hereda fórmulas y relaciones de recursividad de V n + 1 ( R), como

$$ A norte(R)= 2 π ( norte + 1 ) / 2 Γ ( norte + 1 2 ) R norte. {\ Displaystyle A_ {n} (R) = {\ frac {2 \ pi ^ {(n + 1) / 2}} {\ Gamma {\ big (} {\ frac {n + 1} {2}} { \ big)}}} R ^ {n}.}

Trivialmente, también hay fórmulas en términos de factoriales y factoriales dobles.

Dimensión que maximiza el volumen de una bola de radio fijo

Aunque generalmente no tiene sentido comparar volúmenes de diferentes dimensiones, como una comparación de 3 pies cuadrados a 4 pies cúbicos, algunos harán tales comparaciones. Suponga que R es un número real positivo fijo y considere el volumen V n ( R) como una función de la dimensión entera positiva n. Mirando la relación

$$ V norte(R)= V norte - 1(R) Γ ( norte + 1 2 ) π Γ ( norte 2 + 1 )R {\ Displaystyle V_ {n} (R) = V_ {n-1} (R) {\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {n + 1} {2}} \ right) {\ sqrt {\ pi }}} {\ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} + 1 \ right)}} R}

vemos que V n ( R) ≥ V n - 1 ( R) si y solo si R ≥ r n donde hemos definido

$$ r norte= Γ ( norte 2 + 1 ) Γ ( norte + 1 2 ) π {\ Displaystyle r_ {n} = {\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} + 1 \ right)} {\ Gamma \ left ({\ frac {n + 1} {2} } \ right) {\ sqrt {\ pi}}}}}.

para enteros positivos  n. Debido a que r n aumenta a medida que n aumenta, se deduce que n será un número entero que maximiza V n ( R) para cualquier R ∈ [ r n, r n + 1 ] fijo.

Con r 0 = 0 y los primeros valores de r n, que son r 1 = 1/2 y r 2 = 2 / π, se pueden calcular valores adicionales a partir de la fórmula anterior o mediante la recursividad:

$$ r norte= norte norte - 1 r norte - 2 {\ Displaystyle r_ {n} = {\ frac {n} {n-1}} r_ {n-2}}.

Pruebas

Hay muchas pruebas de las fórmulas anteriores.

El volumen es proporcional a la n- ésima potencia del radio.

Un paso importante en varias demostraciones sobre los volúmenes de n bolas, y un hecho generalmente útil además, es que el volumen de la n bolas de radio R es proporcional a R ⁿ:

$$ V norte(R)∝ R norte. {\ Displaystyle V_ {n} (R) \ propto R ^ {n}.}

La constante de proporcionalidad es el volumen de la bola unitaria.

Este es un caso especial de un hecho general sobre los volúmenes en el espacio n -dimensional: si K es un cuerpo ( conjunto medible ) en ese espacio y RK es el cuerpo obtenido al estirar en todas las direcciones por el factor R, entonces el volumen de RK es igual a R ⁿ veces el volumen de K. Esta es una consecuencia directa de la fórmula de cambio de variables:

$$V(RK)= ∫ R KDX= ∫ K R norteDy= R norteV(K) {\ Displaystyle V (RK) = \ int _ {RK} dx = \ int _ {K} R ^ {n} \, dy = R ^ {n} V (K)}

donde dx = dx 1 … dx n y se hizo la sustitución x = Ry.

Otra prueba de la relación anterior, que evita la integración multidimensional, usa la inducción : el caso base es n = 0, donde la proporcionalidad es obvia. Para el paso inductivo, suponga que la proporcionalidad es verdadera en la dimensión n - 1. Tenga en cuenta que la intersección de una bola n con un hiperplano es una bola ( n - 1). Cuando el volumen de la n- bola se escribe como una integral de los volúmenes de ( n - 1) -bolas:

$$ V norte(R)= ∫ - R R V norte - 1 ( R 2 - X 2 )DX, {\ Displaystyle V_ {n} (R) = \ int _ {- R} ^ {R} V_ {n-1} \! \ left ({\ sqrt {R ^ {2} -x ^ {2}}} \ right) dx,}

Es posible, mediante la hipótesis inductiva, eliminar un factor de R del radio de la bola ( n - 1) para obtener:

$$ V norte(R)= R norte - 1 ∫ - R R V norte - 1 ( 1 - ( X R ) 2 )DX. {\ Displaystyle V_ {n} (R) = R ^ {n-1} \! \ int _ {- R} ^ {R} V_ {n-1} \! \ left ({\ sqrt {1- \ left ({\ frac {x} {R}} \ derecha) ^ {2}}} \ derecha) dx.}

Haciendo el cambio de variables t =X/R lleva a:

$$ V norte(R)= R norte ∫ - 1 1 V norte - 1 ( 1 - t 2 )Dt= R norte V norte(1), {\ Displaystyle V_ {n} (R) = R ^ {n} \! \ int _ {- 1} ^ {1} V_ {n-1} \! \ left ({\ sqrt {1-t ^ {2 }}} \ derecha) dt = R ^ {n} V_ {n} (1),}

lo que demuestra la relación de proporcionalidad en la dimensión n. Por inducción, la relación de proporcionalidad es verdadera en todas las dimensiones.

La fórmula de recursividad de dos dimensiones

Se puede dar una prueba de la fórmula de recursividad que relaciona el volumen de la bola n y una bola ( n - 2) usando la fórmula de proporcionalidad anterior y la integración en coordenadas cilíndricas. Fija un plano a través del centro de la bola. Sea r la distancia entre un punto en el plano y el centro de la esfera, y sea θ el acimut. La intersección de la bola n con el plano ( n - 2) dimensional definido al fijar un radio y un acimut da una bola ( n - 2) de radio √ R ² - r ². Por lo tanto, el volumen de la bola se puede escribir como una integral iterada de los volúmenes de las ( n - 2) bolas sobre los posibles radios y acimutes:

$$ V norte(R)= ∫ 0 2 π ∫ 0 R V norte - 2 ( R 2 - r 2 )rDrDθ, {\ Displaystyle V_ {n} (R) = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {R} V_ {n-2} \! \ left ({\ sqrt {R ^ {2} -r ^ {2}}} \ right) r \, dr \, d \ theta,}

La coordenada azimutal se puede integrar inmediatamente. La aplicación de la relación de proporcionalidad muestra que el volumen es igual a

$$ V norte(R)=2π V norte - 2(R) ∫ 0 R ( 1 - ( r R ) 2 ) ( norte - 2 ) / 2rDr. {\ Displaystyle V_ {n} (R) = 2 \ pi V_ {n-2} (R) \ int _ {0} ^ {R} \ left (1- \ left ({\ frac {r} {R}) } \ derecha) ^ {2} \ derecha) ^ {(n-2) / 2} \, r \, dr.}

La integral se puede evaluar haciendo la sustitución u = 1 - (r/R)² _Llegar

$$ V norte ( R ) = 2 π V norte - 2 ( R ) ⋅ [ - R 2 norte ( 1 - ( r R ) 2 ) norte / 2 ] r = 0 r = R = 2 π R 2 norte V norte - 2 ( R ) , {\ Displaystyle {\ begin {alineado} V_ {n} (R) amp; = 2 \ pi V_ {n-2} (R) \ cdot \ left [- {\ frac {R ^ {2}} {n}} \ left (1- \ left ({\ frac {r} {R}} \ right) ^ {2} \ right) ^ {n / 2} \ right] _ {r = 0} ^ {r = R} \ \ amp; = {\ frac {2 \ pi R ^ {2}} {n}} V_ {n-2} (R), \ end {alineado}}}

que es la fórmula de recursividad de dos dimensiones.

Se puede utilizar la misma técnica para dar una prueba inductiva de la fórmula de volumen. Los casos base de la inducción son la bola 0 y la bola 1, que se pueden verificar directamente usando los hechos Γ (1) = 1 y Γ (3/2) = 1/2 Γ (1/2) = √ π/2. El paso inductivo es similar al anterior, pero en lugar de aplicar proporcionalidad a los volúmenes de las ( n - 2) bolas, se aplica la hipótesis inductiva.

La fórmula de recursividad de una dimensión

La relación de proporcionalidad también se puede utilizar para probar la fórmula de recursividad que relaciona los volúmenes de una bola n y una bola ( n - 1). Como en la prueba de la fórmula de proporcionalidad, el volumen de una n- bola se puede escribir como una integral sobre los volúmenes de ( n - 1) -bolas. Sin embargo, en lugar de hacer una sustitución, la relación de proporcionalidad se puede aplicar a los volúmenes de las ( n - 1) bolas en el integrando :

$$ V norte(R)= V norte - 1(R) ∫ - R R ( 1 - ( X R ) 2 ) ( norte - 1 ) / 2DX. {\ Displaystyle V_ {n} (R) = V_ {n-1} (R) \ int _ {- R} ^ {R} \ left (1- \ left ({\ frac {x} {R}} \ derecha) ^ {2} \ right) ^ {(n-1) / 2} \, dx.}

El integrando es una función par, por lo que, por simetría, el intervalo de integración se puede restringir a [0, R ]. En el intervalo [0, R ], es posible aplicar la sustitución u = (X/R)² _{. Esto transforma la expresión en}

$$ V norte - 1(R)⋅R⋅ ∫ 0 1(1-tu ) ( norte - 1 ) / 2 tu - 1 2Dtu {\ Displaystyle V_ {n-1} (R) \ cdot R \ cdot \ int _ {0} ^ {1} (1-u) ^ {(n-1) / 2} u ^ {- {\ frac { 1} {2}}} \, du}

La integral es un valor de una función especial conocida llamada función beta Β ( x, y), y el volumen en términos de la función beta es

$$ V norte(R)= V norte - 1(R)⋅R⋅ B⁡ ( norte + 1 2 , 1 2 ) . {\ Displaystyle V_ {n} (R) = V_ {n-1} (R) \ cdot R \ cdot \ operatorname {\ mathrm {B}} \ left ({\ tfrac {n + 1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}} \ right).}

La función beta se puede expresar en términos de la función gamma de la misma manera que los factoriales se relacionan con los coeficientes binomiales. Aplicar esta relación da

$$ V norte(R)= V norte - 1(R)⋅R⋅ Γ ⁡ ( norte + 1 2 ) Γ ⁡ ( 1 2 ) Γ ⁡ ( norte 2 + 1 ). {\ Displaystyle V_ {n} (R) = V_ {n-1} (R) \ cdot R \ cdot {\ frac {\ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {n + 1} {2}} \ right) \ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)} {\ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {n} {2}} + 1 \ right)}}.}

Usando el valor Γ (1/2) = √ π da la fórmula de recursión de una dimensión:

$$ V norte(R)=R π Γ ⁡ ( norte + 1 2 ) Γ ⁡ ( norte 2 + 1 ) V norte - 1(R). {\ Displaystyle V_ {n} (R) = R {\ sqrt {\ pi}} {\ frac {\ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {n + 1} {2}} \ right)} { \ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {n} {2}} + 1 \ right)}} V_ {n-1} (R).}

Al igual que con la fórmula recursiva de dos dimensiones, se puede utilizar la misma técnica para dar una prueba inductiva de la fórmula de volumen.

Integración directa en coordenadas esféricas

El volumen de la bola n se puede calcular integrando el elemento de volumen en coordenadas esféricas. El sistema de coordenadas esféricas tiene una coordenada radial r y coordenadas angulares φ 1,…, φ n  - 1, donde el dominio de cada φ excepto φ n  - 1 es [0, π), y el dominio de φ n  - 1 es [ 0, 2 π). El elemento de volumen esférico es: $$

V norte(R) {\ Displaystyle V_ {n} (R)}

$$DV= r norte - 1 pecado norte - 2⁡( φ 1) pecado norte - 3⁡( φ 2)⋯pecado⁡( φ norte - 2)DrD φ 1D φ 2⋯D φ norte - 1, {\ Displaystyle dV = r ^ {n-1} \ sin ^ {n-2} (\ varphi _ {1}) \ sin ^ {n-3} (\ varphi _ {2}) \ cdots \ sin (\ varphi _ {n-2}) \, dr \, d \ varphi _ {1} \, d \ varphi _ {2} \ cdots d \ varphi _ {n-1},}

y el volumen es la integral de esta cantidad sobre r entre 0 y R y todos los ángulos posibles:

$$ V norte(R)= ∫ 0 R ∫ 0 π⋯ ∫ 0 2 π r norte - 1 pecado norte - 2⁡( φ 1)⋯pecado⁡( φ norte - 2)D φ norte - 1⋯D φ 1Dr. {\ Displaystyle V_ {n} (R) = \ int _ {0} ^ {R} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cdots \ int _ {0} ^ {2 \ pi} r ^ {n -1} \ sin ^ {n-2} (\ varphi _ {1}) \ cdots \ sin (\ varphi _ {n-2}) \, d \ varphi _ {n-1} \ cdots d \ varphi _ {1} \, dr.}

Cada uno de los factores en el integrando depende de una sola variable y, por lo tanto, la integral iterada se puede escribir como un producto de integrales:

$$ V norte(R)= ( ∫ 0 R r norte - 1 D r ) ( ∫ 0 π pecado norte - 2 ⁡ ( φ 1 ) D φ 1 )⋯ ( ∫ 0 2 π D φ norte - 1 ). {\ Displaystyle V_ {n} (R) = \ left (\ int _ {0} ^ {R} r ^ {n-1} \, dr \ right) \! \ left (\ int _ {0} ^ { \ pi} \ sin ^ {n-2} (\ varphi _ {1}) \, d \ varphi _ {1} \ right) \ cdots \ left (\ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ varphi _ {n-1} \ right).}

La integral sobre el radio es R ⁿ/norte. Los intervalos de integración en las coordenadas angulares pueden, por simetría, cambiarse a [0,π/2]:

$$ V norte(R)= R norte norte ( 2 ∫ 0 π / 2 pecado norte - 2 ⁡ ( φ 1 ) D φ 1 )⋯ ( 4 ∫ 0 π / 2 D φ norte - 1 ). {\ Displaystyle V_ {n} (R) = {\ frac {R ^ {n}} {n}} \ left (2 \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ sin ^ {n-2} (\ varphi _ {1}) \, d \ varphi _ {1} \ right) \ cdots \ left (4 \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} d \ varphi _ {n-1} \ right).}

Cada una de las integrales restantes es ahora un valor particular de la función beta:

$$ V norte(R)= R norte norte B⁡ ( norte - 1 2 , 1 2 ) B⁡ ( norte - 2 2 , 1 2 )⋯ B⁡ ( 1 , 1 2 )⋅2 B⁡ ( 1 2 , 1 2 ). {\ Displaystyle V_ {n} (R) = {\ frac {R ^ {n}} {n}} \ operatorname {\ mathrm {B}} \ left ({\ frac {n-1} {2}}, {\ frac {1} {2}} \ right) \ operatorname {\ mathrm {B}} \ left ({\ frac {n-2} {2}}, {\ frac {1} {2}} \ right) \ cdots \ operatorname {\ mathrm {B}} \ left (1, {\ frac {1} {2}} \ right) \ cdot 2 \ operatorname {\ mathrm {B}} \ left ({\ frac {1 } {2}}, {\ frac {1} {2}} \ derecha).}

Las funciones beta se pueden reescribir en términos de funciones gamma:

$$ V norte(R)= R norte norte⋅ Γ ⁡ ( norte - 1 2 ) Γ ⁡ ( 1 2 ) Γ ⁡ ( norte 2 )⋅ Γ ⁡ ( norte - 2 2 ) Γ ⁡ ( 1 2 ) Γ ⁡ ( norte - 1 2 )⋯ Γ ⁡ ( 1 ) Γ ⁡ ( 1 2 ) Γ ⁡ ( 3 2 )⋅2 Γ ⁡ ( 1 2 ) Γ ⁡ ( 1 2 ) Γ ⁡ ( 1 ). {\ Displaystyle V_ {n} (R) = {\ frac {R ^ {n}} {n}} \ cdot {\ frac {\ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {n-1} {2 }} \ right) \ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)} {\ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {n} {2}} \ right)}} \ cdot {\ frac {\ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {n-2} {2}} \ right) \ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {1} {2 }} \ right)} {\ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {n-1} {2}} \ right)}} \ cdots {\ frac {\ operatorname {\ Gamma} (1) \ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)} {\ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {3} {2}} \ right)}} \ cdot 2 { \ frac {\ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) \ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)} {\ nombre de operador {\ Gamma} (1)}}.}

Este producto telescopios. Combinando esto con los valores Γ (1/2) = √ π y Γ (1) = 1 y la ecuación funcional z Γ ( z) = Γ ( z + 1) conduce a

$$ V norte(R)= 2 π norte / 2 R norte norte Γ ⁡ ( norte 2 )= π norte / 2 R norte Γ ⁡ ( norte 2 + 1 ). {\ Displaystyle V_ {n} (R) = {\ frac {2 \ pi ^ {n / 2} R ^ {n}} {n \ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {n} {2} } \ right)}} = {\ frac {\ pi ^ {n / 2} R ^ {n}} {\ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {n} {2}} + 1 \ right) }}.}

Integrales gaussianas

La fórmula del volumen se puede probar directamente usando integrales gaussianas. Considere la función:

$$F( X 1,..., X norte)=Exp⁡ ( - 1 2 ∑ I = 1 norte X I 2 ) . {\ Displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ exp {\ biggl (} {- {\ tfrac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2}} {\ biggr)}.}

Esta función es invariante rotacionalmente y un producto de funciones de una variable cada una. Usando el hecho de que es un producto y la fórmula de la integral gaussiana da:

$$ ∫ R norteFDV= ∏ I = 1 norte ( ∫ - ∞ ∞ Exp ⁡ ( - 1 2 X I 2 ) D X I ) = ( 2 π ) norte / 2 , {\ Displaystyle \ int _ {\ mathbf {R} ^ {n}} f \, dV = \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ exp \ left (- {\ tfrac {1} {2}} x_ {i} ^ {2} \ right) \, dx_ {i} \ right) = (2 \ pi) ^ {n / 2},}

donde dV es el elemento de volumen n- dimensional. Usando invariancia rotacional, la misma integral se puede calcular en coordenadas esféricas:

$$ ∫ R norteFDV= ∫ 0 ∞ ∫ S norte - 1 ( r )Exp⁡ ( - 1 2 r 2 ) D A D r , {\ Displaystyle \ int _ {\ mathbf {R} ^ {n}} f \, dV = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ int _ {S ^ {n-1} (r)} \ exp \ left (- {\ tfrac {1} {2}} r ^ {2} \ right) \, dA \, dr,}

donde S ^{n - 1} ( r) es una ( n  - 1) -esfera de radio r y dA es el elemento de área (de manera equivalente, el elemento de volumen ( n  - 1) -dimensional). El área de la superficie de la esfera satisface una ecuación de proporcionalidad similar a la del volumen de una bola: Si A n - 1 ( r) es el área de la superficie de una ( n  - 1) -esfera de radio r, entonces:

$$ A norte - 1(r)= r norte - 1 A norte - 1(1). {\ Displaystyle A_ {n-1} (r) = r ^ {n-1} A_ {n-1} (1).}

Al aplicar esto a la integral anterior se obtiene la expresión

$$(2π ) norte / 2= ∫ 0 ∞ ∫ S norte - 1 ( r )Exp⁡ ( - 1 2 r 2 ) D A D r = A norte - 1 ( 1 ) ∫ 0 ∞ Exp ⁡ ( - 1 2 r 2 ) r norte - 1 D r . {\ Displaystyle (2 \ pi) ^ {n / 2} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ int _ {S ^ {n-1} (r)} \ exp \ left (- {\ tfrac {1} {2}} r ^ {2} \ right) \, dA \, dr = A_ {n-1} (1) \ int _ {0} ^ {\ infty} \ exp \ left (- {\ tfrac {1} {2}} r ^ {2} \ right) \, r ^ {n-1} \, dr.}

Sustituyendo t =r ²/2:

$$ ∫ 0 ∞Exp⁡ ( - 1 2 r 2 ) r norte - 1 D r = 2 ( norte - 2 ) / 2 ∫ 0 ∞ mi - t t ( norte - 2 ) / 2 D t . {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ exp \ left (- {\ tfrac {1} {2}} r ^ {2} \ right) \, r ^ {n-1} \, dr = 2 ^ {(n-2) / 2} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t} t ^ {(n-2) / 2} \, dt.}

La integral de la derecha es la función gamma evaluada en norte/2.

La combinación de los dos resultados muestra que

$$ A norte - 1(1)= 2 π norte / 2 Γ ⁡ ( norte 2 ). {\ Displaystyle A_ {n-1} (1) = {\ frac {2 \ pi ^ {n / 2}} {\ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {n} {2}} \ right) }}.}

Para derivar el volumen de una bola n de radio R a partir de esta fórmula, integre el área de la superficie de una esfera de radio r para 0 ≤ r ≤ R y aplique la ecuación funcional z Γ ( z) = Γ ( z + 1):

$$ V norte(R)= ∫ 0 R 2 π norte / 2 Γ ⁡ ( norte 2 ) r norte - 1Dr= 2 π norte / 2 norte Γ ⁡ ( norte 2 ) R norte= π norte / 2 Γ ⁡ ( norte 2 + 1 ) R norte. {\ Displaystyle V_ {n} (R) = \ int _ {0} ^ {R} {\ frac {2 \ pi ^ {n / 2}} {\ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {n } {2}} \ right)}} \, r ^ {n-1} \, dr = {\ frac {2 \ pi ^ {n / 2}} {n \ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {n} {2}} \ right)}} R ^ {n} = {\ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {n} {2 }} + 1 \ right)}} R ^ {n}.}

Prueba geométrica

Las relaciones y, por tanto, los volúmenes de n- bolas y áreas de n- esferas también pueden derivarse geométricamente. Como se señaló anteriormente, debido a que una bola de radio se obtiene de una bola unitaria al cambiar la escala en todas las direcciones en tiempos, es proporcional a, lo que implica. Además, debido a que una bola es una unión de esferas concéntricas y aumentar el radio en ε corresponde a una capa de espesor ε. Por lo tanto, ; lo que es equivalente,. $$

V norte + 1(R)= R norte + 1 A norte(R) {\ Displaystyle V_ {n + 1} (R) = {\ frac {R} {n + 1}} A_ {n} (R)}$$ A norte + 1(R)=(2πR) V norte(R) {\ Displaystyle A_ {n + 1} (R) = (2 \ pi R) V_ {n} (R)}$$R {\ Displaystyle R}$$ B norte {\ Displaystyle B_ {n}}$$R {\ Displaystyle R}$$ V norte(R) {\ Displaystyle V_ {n} (R)}$$ R norte {\ Displaystyle R ^ {n}}$$ D V norte ( R ) D R= norte R V norte(R) {\ Displaystyle {\ frac {dV_ {n} (R)} {dR}} = {\ frac {n} {R}} V_ {n} (R)}$$ A norte - 1(R)= D V norte ( R ) D R {\ Displaystyle A_ {n-1} (R) = {\ frac {dV_ {n} (R)} {dR}}}$$ V norte(R)= R norte A norte - 1(R) {\ Displaystyle V_ {n} (R) = {\ frac {R} {n}} A_ {n-1} (R)}$$ V norte + 1(R)= R norte + 1 A norte(R) {\ Displaystyle V_ {n + 1} (R) = {\ frac {R} {n + 1}} A_ {n} (R)}

$$

A norte + 1(R)=(2πR) V norte(R) {\ Displaystyle A_ {n + 1} (R) = (2 \ pi R) V_ {n} (R)}se deduce de la existencia de una biyección que conserva el volumen entre la esfera unitaria y: $$ S norte + 1 {\ Displaystyle S_ {n + 1}}$$ S 1× B norte {\ Displaystyle S_ {1} \ times B_ {n}}

$$(X,y, z →)↦ ( X X 2 + y 2 , y X 2 + y 2 , z → ) {\ Displaystyle (x, y, {\ vec {z}}) \ mapsto \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}, {\ frac { y} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}, {\ vec {z}} \ right)}

( es una n- tupla; ignoramos conjuntos de medida 0). El volumen se conserva porque en cada punto, la diferencia con la isometría es un estiramiento en el plano xy (en tiempos en la dirección de la constante) que coincide exactamente con la compresión en la dirección del gradiente de on (los ángulos relevantes son iguales). Porque, Arquímedes hizo originalmente un argumento similar en Sobre la esfera y el cilindro. $$

z → {\ Displaystyle {\ vec {z}}}$$ |(X,y, z →) |=1 {\ Displaystyle | (x, y, {\ vec {z}}) | = 1} $$1 / X 2 + y 2 {\ textstyle 1 / \! {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$$ X 2+ y 2 {\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}} $$ | z → | {\ Displaystyle | {\ vec {z}} |}$$ S norte {\ Displaystyle S_ {n}}$$ S 2 {\ Displaystyle S_ {2}}

Bolas en normas L ^p

También hay expresiones explícitas para los volúmenes de bolas en las normas L ^p. La norma L ^p del vector x = ( x 1,…, x n) en R ⁿ es

$$ ( ∑ I = 1 norte | X I | pag ) 1 / pag, {\ Displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | ^ {p} \ right) ^ {\! 1 / p},}

y una bola L ^p es el conjunto de todos los vectores cuya norma L ^p es menor o igual a un número fijo llamado radio de la bola. El caso p = 2 es la función de distancia euclidiana estándar, pero otros valores de p ocurren en diversos contextos, como la teoría de la información, la teoría de la codificación y la regularización dimensional.

El volumen de una bola L ^p de radio R es

$$ V norte pag(R)= ( 2 Γ ⁡ ( 1 pag + 1 ) R ) norte Γ ⁡ ( norte pag + 1 ). {\ Displaystyle V_ {n} ^ {p} (R) = {\ frac {\ left (2 \ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {1} {p}} + 1 \ right) R \ right) ^ {n}} {\ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {n} {p}} + 1 \ right)}}.}

Estos volúmenes satisfacen una relación de recurrencia similar a la recurrencia de una dimensión para p = 2:

$$ V norte pag(R)= ( 2 Γ ⁡ ( 1 pag + 1 ) R ) Γ ⁡ ( norte - 1 pag + 1 ) Γ ⁡ ( norte pag + 1 ) V norte - 1 pag ( R ) . {\ Displaystyle V_ {n} ^ {p} (R) = \ left (2 \ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ tfrac {1} {p}} + 1 \ right) R \ right) {\ frac {\ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {n-1} {p}} + 1 \ right)} {\ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {n} {p}} + 1 \ right)}} V_ {n-1} ^ {p} (R).}

Para p = 2, se recupera la recurrencia del volumen de una bola euclidiana porque 2Γ (3/2) = √ π.

Por ejemplo, en los casos p = 1 ( norma taxi ) y p = ∞ ( norma máxima ), los volúmenes son:

$$ V norte 1 ( R ) = 2 norte norte ! R norte , V norte ∞ ( R ) = ( 2 R ) norte . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} V_ {n} ^ {1} (R) amp; = {\ frac {2 ^ {n}} {n!}} R ^ {n}, \\ V_ {n} ^ {\ infty} (R) amp; = (2R) ^ {n}. \ end {alineado}}}

Estos concuerdan con los cálculos elementales de los volúmenes de politopos e hipercubos cruzados.

Relación con la superficie

Para la mayoría de los valores de p, el área de superficie de una esfera L ^p de radio R (el límite de una bola L ^p de radio R) no se puede calcular diferenciando el volumen de una bola L ^p con respecto a su radio. Mientras que el volumen se puede expresar como una integral sobre las áreas superficiales usando la fórmula de coarea, la fórmula de coarea contiene un factor de corrección que explica cómo varía la p -norm de un punto a otro. Para p = 2 y p = ∞, este factor es uno. Sin embargo, si p = 1, entonces el factor de corrección es √ n: el área de superficie de una esfera L ¹ de radio R en R ⁿ es √ n veces la derivada del volumen de una bola L ¹. Esto se puede ver más simplemente aplicando el teorema de divergencia al campo vectorial F (x) = x para obtener $$

A norte pag(R) {\ Displaystyle A_ {n} ^ {p} (R)}

$$norte V norte 1(R)= {\ Displaystyle nV_ {n} ^ {1} (R) =}$$ ∭ V ( ∇ ⋅ F )DV= {\ Displaystyle \ iiint _ {V} \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {F} \ right) \, dV =} $$S {\ Displaystyle \ scriptstyle S} $$( F⋅ norte)DS {\ Displaystyle (\ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {n}) \, dS} $$= {\ displaystyle =} $$S {\ Displaystyle \ scriptstyle S} $$ 1 norte( | X 1 |+⋯+ | X norte |)DS {\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {n}}} (| x_ {1} | + \ cdots + | x_ {n} |) \, dS} $$= R norte {\ Displaystyle = {\ frac {R} {\ sqrt {n}}}} $$S {\ Displaystyle \ scriptstyle S} $$DS {\ Displaystyle \, dS} $$= R norte A norte 1(R). {\ Displaystyle = {\ frac {R} {\ sqrt {n}}} A_ {n} ^ {1} (R).}

Para otros valores de p, la constante es una integral complicada.

Generalizaciones

La fórmula del volumen se puede generalizar aún más. Para números reales positivos p 1,…, p n, defina la unidad ( p 1,…, p n) bola que será

$$ B pag 1 , ... , pag norte= { X = ( X 1 , ... , X norte ) ∈ R norte : | X 1 | pag 1 + ⋯ + | X norte | pag norte ≤ 1 }. {\ Displaystyle B_ {p_ {1}, \ ldots, p_ {n}} = \ left \ {x = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbf {R} ^ {n}: \ vert x_ {1} \ vert ^ {p_ {1}} + \ cdots + \ vert x_ {n} \ vert ^ {p_ {n}} \ leq 1 \ right \}.}

El volumen de esta bola se conoce desde la época de Dirichlet:

$$V( B pag 1 , ... , pag norte)= 2 norte Γ ⁡ ( 1 + 1 pag 1 ) ⋯ Γ ⁡ ( 1 + 1 pag norte ) Γ ⁡ ( 1 + 1 pag 1 + ⋯ + 1 pag norte ). {\ Displaystyle V (B_ {p_ {1}, \ ldots, p_ {n}}) = 2 ^ {n} {\ frac {\ operatorname {\ Gamma} \ left (1 + {\ frac {1} {p_ {1}}} \ right) \ cdots \ operatorname {\ Gamma} \ left (1 + {\ frac {1} {p_ {n}}} \ right)} {\ operatorname {\ Gamma} \ left (1+ {\ frac {1} {p_ {1}}} + \ cdots + {\ frac {1} {p_ {n}}} \ right)}}.}

Dimensiones que no son números enteros no negativos

Cuando R gt; 0, la fórmula definitoria

$$ V norte(R)= π norte / 2 Γ ⁡ ( norte 2 + 1 ) R norte {\ Displaystyle V_ {n} (R) = {\ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {n} {2}} + 1 \ right)} } R ^ {n}}

se puede evaluar para cualquier número complejo n porque el recíproco de la función gamma es una función completa. Como tal, se puede usar esta fórmula para definir volúmenes y áreas de superficie para R gt; 0 cuando el número de dimensiones es cualquier número complejo n, y estos valores de V n ( R) heredarán relaciones de las propiedades de la función gamma.

En particular, V n ( R) = 0 cuando n es un número par negativo. Cuando n es un número impar negativo, la fórmula de reflexión de Euler

$$Γ(z)Γ(1-z)= π pecado ⁡ ( π z ) {\ Displaystyle \ Gamma (z) \ Gamma (1-z) = {\ frac {\ pi} {\ sin {(\ pi z)}}}}

para z = n / 2 + 1 da que

$$ V norte(R)=(-1 ) norte Γ⁡ ( - norte 2 ) π ( norte - 2 ) / 2 R norte=(-1 ) norte ( - norte 2 - 1 ) ( - norte 2 - 2 )⋯ ( 1 2 ) π ( norte - 1 ) / 2 R norte. {\ Displaystyle V_ {n} (R) = (- 1) ^ {n} \ operatorname {\ Gamma} \ left ({\ frac {-n} {2}} \ right) \ pi ^ {(n-2) / 2} R ^ {n} = (- 1) ^ {n} \! \ Left ({\ frac {-n} {2}} - 1 \ right) \! \ Left ({\ frac {-n } {2}} - 2 \ right) \ cdots \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) \ pi ^ {(n-1) / 2} R ^ {n} \,.}

Ver también

• n- esfera
• Embalaje de esfera
• Hamming obligado

Referencias

1. ^ Ecuación 5.19.4, Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST. http://dlmf.nist.gov/5.19#E4, versión 1.0.6 de 2013-05-06.
2. ^ Dirichlet, PG Lejeune (1839). "Sur une nouvelle méthode pour la détermination des intégrales multiples" [Sobre un método novedoso para determinar múltiples integrales]. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 4: 164-168.

enlaces externos

• Derivación en coordenadas hipersféricas (en francés)
• Hiperesfera en Wolfram MathWorld
• Volumen de la hiperesfera en la referencia matemática